2023-2024学年甘肃省酒泉市敦煌二中九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年甘肃省酒泉市敦煌二中九年级（上）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则他的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）已知∠A是锐角，且，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）已知△ABC和△ADE相似，且相似比为，则△ABC和△ADE的面积比为（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．嘉嘉购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票中的两张送给好朋友淇淇．嘉嘉将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让淇淇从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的邮票中随机抽取一张，则淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣3）2＝14B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝14D．（x+3）2＝4
6．（2分）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（ ）
A．yB．yC．yD．y
7．（2分）如图，这是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF，DE＝12cm，EF＝20cm，BC＝25cm，则AB的长为（ ）
A．B．C．15cmD．20cm
8．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（ ）
A．B．C．4D．5
9．（2分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3与反比例函数y的图象位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④4a+2b+c＜0；⑤a+b≥m（ma+b）（m为任意实数），其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知，则的值是 ．
12．（3分）若关于x的方程（k﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 ．
14．（3分）若函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝0的解为 ．
15．（3分）在三角形ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对称点A′的坐标是 ．
16．（3分）将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线的解析式为 ．
17．（3分）反比例函数，当x＜0时 y随x的增大而增大，则m的值是 ．
18．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，csA，则BD的长度为 ．
三、计算题（本大题共2小题，共12分）
19．（6分）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣25＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
20．（6分）计算：（2）0tan60°．
四、解答题（本题共8小题，共64分）
21．（6分）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，乙的身高如图中线段FG所示，路灯M在线段DE上．
（1）请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯距离地面12m，乙的身高1.6m，乙与灯杆的距离6.5m，请求出乙影子的长度．
22．（8分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
23．（7分）某中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走8米到C处再测得B点的仰角为60°，已知O、A、C在同一条直线上．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求新教学楼OB的高度．（结果保留根号）．
24．（7分）“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．
（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？
（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？
25．（8分）如图，反比例函数0）的图象与一次函数y＝kx+6的图象交于点B（1，5），C（n，1）．
（1）求m和k的值；
（2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式kx+6（x＞0）的解集；
（3）连接OB，OC，求△BOC的面积．
26．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F，且DE＝DF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）求AE的长．
27．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝mAC，AD＝mAE（m＞1），∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点O．求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）∠BAC＝∠BOC．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA＝OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，若BD+CD的值最小，求点D的坐标；
（3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线AC上方的抛物线上运动时，△APC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年甘肃省酒泉市敦煌二中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分）
1．（2分）沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则他的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：D．
【点评】本题考查简单组几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法和形状是正确判断的前提．
2．（2分）已知∠A是锐角，且，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：∵∠A是锐角，且sinA，
∴∠A＝30°，
∴tanA的值＝tan30°，
故选：D．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
3．（2分）已知△ABC和△ADE相似，且相似比为，则△ABC和△ADE的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC和△ADE相似，且相似比为，
∴△ABC和△ADE的面积比为：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，理解相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解决问题的关键．
4．（2分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．嘉嘉购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票中的两张送给好朋友淇淇．嘉嘉将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让淇淇从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的邮票中随机抽取一张，则淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票分别记作A、B、C、D、E，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：将“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”五张邮票分别记作A、B、C、D、E，列表如下：
由表知，共有20种等可能结果，其中淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的有2种结果数，
所以淇淇抽到的两张邮票恰好是“惊蛰”和“谷雨”的概率是，
故选：B．
【点评】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，列出相应的表格．
5．（2分）一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣3）2＝14B．（x﹣3）2＝4C．（x+3）2＝14D．（x+3）2＝4
【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．
【解答】解：原方程配方得x2﹣6x+9＝﹣5+9，即（x﹣3）2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．
6．（2分）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（ ）
A．yB．yC．yD．y
【分析】根据等量关系“每只玩具熊猫的成本＝总成本÷数量”列出关系式即可．
【解答】解：由题意得：y与x之间满足的关系为y．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数在实际生活中的运用，重点是找出题中的等量关系．
7．（2分）如图，这是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF，DE＝12cm，EF＝20cm，BC＝25cm，则AB的长为（ ）
A．B．C．15cmD．20cm
【分析】由AD∥BE∥CF，得出△GAD∽△GBF∽△GCF，利用相似三角形性质，可求出AB的长．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵DE＝12cm，EF＝20cm，BC＝25cm，
即，
∴AB＝15cm，
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，正确记忆相关内容是解题的关键．
8．（2分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（ ）
A．B．C．4D．5
【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AH，即可得出AH的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴COAC＝6，BOBD＝8，AO⊥BO，
∴BC10，
∴S菱形ABCDAC•BD16×12＝96，
∵S菱形ABCD＝BC×AH，
∴BC×AH＝96，
∴AH
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
9．（2分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3与反比例函数y的图象位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：当k＞0时，有y＝kx+3过一、二、三象限，反比例函数y的过一、三象限，A正确；
由函数y＝kx+3过点（0，3），可排除B、C；
当k＜0时，y＝kx+3过一、二、四象限，反比例函数y的过﹣、三象限，排除D．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④4a+2b+c＜0；⑤a+b≥m（ma+b）（m为任意实数），其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于坐标轴，a＜0，c＞0，再由对称轴计算公式得到b＝﹣2a＞0，由此可判断①；根据抛物线与x轴有两个不相同的交点，可判断②；根据当x＝﹣1，y＜0，可判断③；根据当x＝2时，y＝c＞0，可判断④；根据当x＝1时，y最大＝a+b+c可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于坐标轴，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
由函数图象可知，当x＝﹣1，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故③正确；
由对称性可知当x＝2时，y＝c＞0，
∴4a+2b+c＞0，故④错误；
当x＝1时，y最大＝a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥m（ma+b），故⑤正确；
∴说法正确的有4个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）已知，则的值是 ．
【分析】根据，得ab，代入即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴ab，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
12．（3分）若关于x的方程（k﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根，则k的取值范围是 k ．
【分析】由于二次项系数不能确定，故应分k﹣6＝0与k﹣6≠0两种情况进行讨论，当k﹣6＝0时，可直接求出x的值；
当k﹣6≠0时，此函数是二次方程，根据方程有实数根可知△≥0，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程（k﹣6）x2﹣8x+9＝0有实数根，
∴①当k﹣6＝0，即k＝6时，x，符合题意；
②当k﹣6≠0时，Δ＝（﹣8）2﹣4×9×（k﹣6）≥0，解得k，
∴m的取值范围为：k．
故答案为：k．
【点评】本题考查的是根的判别式，解答此题时要注意分类讨论．
13．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 0.4m ．
【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得，将已知数据代入即可得．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则，
∵AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，
∴，
解得：CD＝0.4，
∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m．
故答案为：0.4．
【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
14．（3分）若函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝0的解为 x1＝5，x2＝﹣1 ．
【分析】利用二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，求得b的值，将b值代入解一元二次方程即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴2．
∴b＝﹣4．
∴关于x的方程x2+bx﹣5＝0为：x2﹣4x﹣5＝0．
∴（x﹣2）2＝9．
∴x1＝5，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质，一元二次方程的解法，利用二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝1，求得b的值是解题的关键．
15．（3分）在三角形ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对称点A′的坐标是 （﹣2，1）或（2，﹣1） ．
【分析】利用位似变换的性质以及相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为 ，点A的坐标为（﹣6，3），
∴点A的对称点A'的坐标为 或 ，
即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【点评】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
16．（3分）将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线的解析式为 y＝2（x﹣2）2+3 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线的解析式是y＝2（x﹣2）2+3．
故答案为：y＝2（x﹣2）2+3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17．（3分）反比例函数，当x＜0时 y随x的增大而增大，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】根据反比例函数的定义可得m2﹣2m﹣4＝﹣1，根据x＜0时，y随x的增大而增大，可得m﹣1＜0，然后求解即可．
【解答】解：根据题意得，m2﹣2m﹣4＝﹣1且m﹣1＜0，
解得m1＝3，m2＝﹣1且m＜1，
所以m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的定义及反比例函数的性质，是基础知识．形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数；对于反比例函数y（k≠0），当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
18．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，csA，则BD的长度为 ．
【分析】在△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在△BCD中由锐角三角函数求得BD．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，csA，
∴AB＝5，
∴BC3，
∵∠DBC＝∠A．
∴cs∠DBC＝cs∠A，
∴BD＝3，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键．
三、计算题（本大题共2小题，共12分）
19．（6分）解方程：
（1）（x﹣1）2﹣25＝0；
（2）x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解此方程，即可求解；
（2）利用配方法解此方程，即可求解．
【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣25＝0，
（x﹣1）2＝25，
得x﹣1＝±5，
解得x1＝6，x2＝﹣4，
所以，原方程的解为x1＝6，x2＝﹣4；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
得x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，
得，
解得，，
所以，原方程的解为，．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．
20．（6分）计算：（2）0tan60°．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
四、解答题（本题共8小题，共64分）
21．（6分）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，乙的身高如图中线段FG所示，路灯M在线段DE上．
（1）请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段．
（2）如果灯距离地面12m，乙的身高1.6m，乙与灯杆的距离6.5m，请求出乙影子的长度．
【分析】（1）连接CB进而延长交DE于点M，再连接MG并延长交DF于点N，得出FN进而得出答案；
（2）证明△NGF∽△NMD，根据相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：由中心投影的知识知：路灯M，FN即为所求；
（2）∵FG∥DE，
∴△NGF∽△NMD，
∴，
∵灯距离地面12m，乙的身高1.6m，乙与灯杆的距离6.5m，
∴，
解得：FN＝1．
∴乙影子的长度为1m．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，中心投影，解题的关键是：解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22．（8分）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
（1）共有 120 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 99 度；
（2）补全调查结果条形统计图；
（3）小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%＝120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°99°，
故答案为：120，99；
（2）条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：12018（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120﹣30﹣33﹣18﹣15＝24（名），
补全条形统计图如下：
（3）把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（7分）某中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走8米到C处再测得B点的仰角为60°，已知O、A、C在同一条直线上．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求新教学楼OB的高度．（结果保留根号）．
【分析】（1）根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到OA＝OB，根据正切的定义列出方程，解方程求出OB．
【解答】解：（1）她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走8米到C处再测得B点的仰角为60°，
∴∠BCO＝60°，∠A＝45°，
∵∠BCO是△ABC的外角，
∴∠ABC＝∠BCO﹣∠A＝60°﹣45°＝15°；
（2）在Rt△AOB中，∠A＝45°，
则OA＝OB，
∵AC＝8米，
∴OC＝（OB﹣8）米，
在Rt△COB中，∠BCO＝60°，
∵，
∴，
∴OB＝（412）米，
答：新教学楼OB的高度约为（412）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（7分）“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．
（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？
（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？
【分析】（1）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额＝每箱盈利×日销售量，依题意得方程求解即可；
（2）设每箱应涨价x元，得出日销售量将减少2x箱，再由盈利额＝每箱盈利×日销售量，依题意得函数关系式，进而求出最值．
【解答】解：（1）设每箱应涨价x元，
则每天可售出（50﹣2x）箱，每箱盈利（10+x）元，
依题意得方程：（50﹣2x）（10+x）＝600，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10，
∵要使顾客得到实惠，∴应取x＝5，
答：每箱产品应涨价5元．
（2）设利润为y元，则y＝（50﹣2x）（10+x），
整理得：y＝﹣2x2+30x+500，
配方得：y＝﹣2（x﹣7.5）2+612.5，
当x＝7.5元，y可以取得最大值，
∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用，解答此题的关键是熟知等量关系是：盈利额＝每箱盈利×日销售量．
25．（8分）如图，反比例函数0）的图象与一次函数y＝kx+6的图象交于点B（1，5），C（n，1）．
（1）求m和k的值；
（2）求点C的坐标，并根据图象直接写出关于x的不等式kx+6（x＞0）的解集；
（3）连接OB，OC，求△BOC的面积．
【分析】（1）将B（1，5）代入反比例函数得，m＝5，将点B（1，5）代入y＝kx+5中，解方程即可得出k＝﹣1；
（2）根据点C在反比例函数图象上，可得C的坐标，根据图象可得解集；
（3）求得直线与x轴的交点D的坐标，然后根据S△BOC＝S△BOD﹣S△COD求得即可．
【解答】解：（1）∵点B（1，5）在反比例函数（x＞0）的图象上，
∴m＝1×5＝5，
∵点B（1，5）在一次函数y＝kx+6的图象上，
∴k+6＝5，
∴k＝﹣1；
（2）∵点C（n，1）在反比例函数y的图象上，
∴n5，
∴点C的坐标为（5，1），
观察图象，关于x的不等式kx+6（x＞0）的解集为1≤x≤5；
（3）设直线与x轴的交点为D，
令y＝0，则y＝﹣x+6得，﹣x+6＝0，解得x＝6，
∴D（6，0），
∴S△BOC＝S△BOD﹣S△COD6×56×1＝15﹣3＝12．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
26．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F，且DE＝DF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）求AE的长．
【分析】（1）证△DOF≌△BOE（AAS），得出DF＝BE，由DF∥BE，得四边形BEDF是平行四边形，进而得出结论；
（2）设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，在Rt△ADE中，根据AD2+AE2＝DE2，构建方程求出x即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
∵点O是对角线BD的中点，
∴OD＝OB，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DE＝DF，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得：
AD2+AE2＝DE2，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
解得x，
∴AE的长为．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
27．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝mAC，AD＝mAE（m＞1），∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点O．求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）∠BAC＝∠BOC．
【分析】（1）先证明∠BAD＝∠CAE，再根据AB＝mAC，AD＝mAE得，由此可得出结论；
（2）设AC与BD交于点F，根据△ABD和△ACE相似得∠ABD＝∠ACE，然后根据三角形内角和定理及对顶角相等可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝mAC，AD＝mAE，
∴m，m，
∴，
∴，
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）设AC与BD交于点F，如图所示：
∵△ABD∽△ACE；
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠AFB+∠BAC＝180°，∠ACE+∠CFO+∠BOC＝180°，
又∵∠AFB＝∠CFO，
∴∠BAC＝∠BOC．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，OA＝OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，若BD+CD的值最小，求点D的坐标；
（3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线AC上方的抛物线上运动时，△APC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小，进而求解；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，由题意可设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点H（x，x+3），由铅垂法可得△APC 面积，然后问题可求解．
【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3，则点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3），将A，C的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）点B关于抛物线的对称点为点A，则AC交抛物线对称轴于点D，则此时，BD+CD的值最小；
如图1，BD+CD＝AD+CD＝AC为最小；
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，将点A、C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AC的表达式为y＝x+3，抛物线的对称轴为直线，
当x＝﹣1时，y＝2，即点D的坐标为（﹣1，2）；
（3）△APC的面积存在最大值；理由如下：
过点P作PH∥y轴交AC于点H，如图2，
由（2）可得直线AC的表达式为y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），则点H（x，x+3），
∴PH＝﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3＝﹣x2﹣3x，△APC的水平宽为3，
∴△APC面积，
∴当时，△APC的面积最大，最大值为，
此时点．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，点的对称性、面积的计算等，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
D
B
B
C
C
B
A
C
A
B
C
D
E
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）