2024-2025学年吉林省长春市德惠市八年级（上）期末数学模拟试卷

这是一份2024-2025学年吉林省长春市德惠市八年级（上）期末数学模拟试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2的平方根为（ ）
A．4B．±4C．D．±
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a5＝a10B．（a2）3＝a6
C．（3ab）2＝3a2b2D．a6÷a2＝a3
3．（3分）数学老师布置10道选择题作为课堂练习，学习委员将全班同学的答题情况绘制成条形图，据统计图可知，答对8道题的同学的频率是（ ）
A．0.38B．0.4C．0.16D．0.08
4．（3分）如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a，b，cB．∠B＝∠A+∠C
C．（b+a）（b﹣a）＝c2D．∠A：∠B：∠C＝5：3：2
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，给出四个结论：①DC＝DE；②BC＝BE；③△BDE≌△BDC；④AD＝DC．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（3分）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
8．（3分）如图，在圆柱的截面ABCD中，AB，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为（ ）
A．10B．12C．20D．14
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）的立方根是 ．
10．（3分）计算20242﹣2023×2025＝ ．
11．（3分）若a＝230，b＝320，c＝510，则a、b、c的大小关系是 .（用“＜”连接）
12．（3分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD＝ °．
13．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长为8尺，求绳索AC长为多少？设绳索AC长为x尺，根据题意，可列方程为 ．
14．（3分）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是 ．（请填写序号）
三、解答题（共78分）
15．（5分）计算[ab（3a2﹣12ab）﹣6ab3]÷3ab+4ab．
16．（5分）因式分解：m3﹣4mn2．
17．（6分）先化简，再求值：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝2024．
18．（7分）如图是6×8的长方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A和点B都在格点上．
（1）在图①中画出一个Rt△ABC，使点C在格点上；
（2）在图②中画出一个等腰△ABD，使点D在格点上；
（3）在图③中画出一个等腰直角△ABE，使点E在格点上．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，求∠D的度数．
20．（8分）如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC≌△DEC；
（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．
21．（8分）某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）；图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图．
该品牌月销售额统计表（单位：万元）
（1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用 统计图；
（2）该品牌5月份的销售额是 万元，手机部5月份的销售额是 万元；
（3）对于该品牌手机部6月份的进货，你有什么建议？
22．（9分）阅读下列解答过程：
若二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+a
则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，
∴∴
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
请依照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式及k的值；
（2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式是x+3，求另一个因式及k的值．
23．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）AC的长为 ；
（2）当点P在线段AC、CB上运动时，用t的代数式表示CP的长度；
（3）当点P恰好在∠BAC的角平分线上（点A除外），求t的值；
（4）点P运动的过程中，当△BPC为等腰三角形时，请直接写出t的值．
24．（12分） 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．
（1）通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．
①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为
②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、 ；
③你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为 ．
（2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ；
②已知a+b＝5，ab＝3，利用上面的规律求a3+b3的值．
2024-2025学年吉林省长春市德惠市八年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）2的平方根为（ ）
A．4B．±4C．D．±
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：2的平方根是，
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a5＝a10B．（a2）3＝a6
C．（3ab）2＝3a2b2D．a6÷a2＝a3
【分析】根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方的计算法则求解即可．
【解答】解：A、a2•a5＝a7，故选项计算错误，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故选项计算正确，符合题意；
C、（3ab）2＝9a2b2，故选项计算错误，不符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（3分）数学老师布置10道选择题作为课堂练习，学习委员将全班同学的答题情况绘制成条形图，据统计图可知，答对8道题的同学的频率是（ ）
A．0.38B．0.4C．0.16D．0.08
【分析】根据条形统计图求出总共答对的人数，再求出答对8道题的同学人数，然后利用答对8道题的同学人数÷总共的人数，即可得出答案．
【解答】解：总共的人数有4+20+18+8＝50人，
答对8道题的同学有20人，
∴答对8道题以上的同学的频率是：20÷50＝0.4，
故选：B．
【点评】此题主要考查了条形统计图的应用，利用条形图得出总共答对的人数与答对8道题的同学人数是解题关键．
4．（3分）如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用勾股定理求得AC的长度，即AD的长度即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理知：AC，
所以AD＝AC．
所以点D表示的数为1．
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴，勾股定理，关键是求出AD的长度．
5．（3分）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a，b，cB．∠B＝∠A+∠C
C．（b+a）（b﹣a）＝c2D．∠A：∠B：∠C＝5：3：2
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解答】解：A、∵（）2+（）2≠（）2，故不能判定是直角三角形；
B、∵∠B＝∠A+∠C，∴∠B＝90°，故是直角三角形，正确；
C、∵（b+a）（b﹣a）＝c2，∴b2﹣a2＝c2，即a2+c2＝b2，故是直角三角形，正确；
D、∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，∴∠A＝180°90°，故是直角三角形，正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，给出四个结论：①DC＝DE；②BC＝BE；③△BDE≌△BDC；④AD＝DC．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】判定△BDE≌△BDC（AAS），推出DC＝DE，BC＝BE，由垂线段最短得到AD＞DE，因此AD＞CD．
【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠C＝90°，
∵BD＝BD，
∴△BDE≌△BDC（AAS），
∴DC＝DE，BC＝BE，
故①②③符合题意；
∵DE⊥AB，
∴AD＞DE，
∵CD＝DE，
∴AD＞CD，
故④不符合题意．
∴其中正确的有3个．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线定义，垂线段最短，关键是判定△BDE≌△BDC（AAS）．
7．（3分）如图，三个村庄A、B、C构成△ABC，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【分析】到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等．
【解答】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等，
∴广场应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
8．（3分）如图，在圆柱的截面ABCD中，AB，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为（ ）
A．10B．12C．20D．14
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．
【解答】解：如图所示，
∵在圆柱的截面ABCD中AB，BC＝12，
∴ABπ＝8，BSBC＝6，
∴AS10．
故选：A．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）的立方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵8，8的立方根是2，
∴的立方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
10．（3分）计算20242﹣2023×2025＝ 1 ．
【分析】将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1），然后再按平方差公式计算可得答案．
【解答】解：原式＝20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）
＝20242﹣20242+1
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查的是平方差公式，将原式变形为20242﹣（2024﹣1）×（2024+1）是解决此题的关键．
11．（3分）若a＝230，b＝320，c＝510，则a、b、c的大小关系是 c＜a＜b .（用“＜”连接）
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的计算方法得到a＝810，b＝910，c＝510即可．
【解答】解：∵a＝230＝（23）10＝810，b＝320＝（32）10＝910，c＝510，而5＜8＜9
∴510＜810＜910，
即c＜a＜b，
故答案为：c＜a＜b．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的关键．
12．（3分）把一张长方形纸片沿对角线折叠，使折叠后的图形如图所示．若∠BAC＝35°，则∠CBD＝ 20 °．
【分析】由折叠可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，由长方形形的性质可得FB∥AE，再利用平行线的性质可得∠FBA＝∠BAE，利用直角三角形两锐角互余可求出∠CBA的度数，进而求出∠CBD的度数．
【解答】解：如图，由折叠可知∠BAE＝∠BAC＝35°，∠C＝∠E＝90°，
∴∠CBA＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
又∵BF∥AE，
∴∠DBA＝∠BAE＝35°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠DBA＝55°﹣∠35°＝20°．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查的是折叠角的问题以及平行线的性质，解决此题的关键折叠时折痕是角平分线，同时正确利用平行线的性质．
13．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长为8尺，求绳索AC长为多少？设绳索AC长为x尺，根据题意，可列方程为 （x﹣3）2+82＝x2 ．
【分析】设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，由勾股定理得出方程（x﹣3）2+82＝x2．
【解答】解：设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣3）2+82＝x2，
故答案为：（x﹣3）2+82＝x2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14．（3分）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，则以下四个结论中：①△BDE是等边三角形；②AE∥BC；③△ADE的周长是9；④∠ADE＝∠BDC．其中正确的序号是 ①②③ ．（请填写序号）
【分析】根据等边三角形，全等三角形，旋转的性质进行判定．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
由旋转性质知：BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝60°，
∴△EBD是等边三角形．
∴①正确．
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴△BCD≌△BAE，
∴∠BAE＝BCD＝60°，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，
∴②正确．
∵△EBD是等边三角形，
∴BD＝ED＝4，
由旋转性质知：AE＝CD．
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE
＝AD+CD+DE
＝AC+DE
＝5+4
＝9．
∴③正确．
∵△EBD是等边三角形，
∴∠EDB＝60°，
如果∠ADE＝∠BDC，
∵∠ADE+∠BDC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ADE＝∠BDC＝60°，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＝∠ABD+∠BAD
＝∠ABD+60°＞60°，
∴④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查等边三角形，全等三角形及旋转的性质，充分利用性质是求解本题的关键．
三、解答题（共78分）
15．（5分）计算[ab（3a2﹣12ab）﹣6ab3]÷3ab+4ab．
【分析】先去中括号，再去小括号，再算除法，最后合并同类项即可．
【解答】解：[ab（3a2﹣12ab）﹣6ab3]÷3ab+4ab
＝（3a3b﹣12a2b2﹣6ab3）÷3ab+4ab
＝a2﹣4ab﹣2b2+4ab
＝a2﹣2b2．
【点评】本题考查了整式的除法，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．（5分）因式分解：m3﹣4mn2．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝m（m2﹣4n2）＝m（m+2n）（m﹣2n）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（6分）先化简，再求值：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝2024．
【分析】先利用整式的混合运算法则进行化简，再将值代入原式即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2+x﹣（x2﹣1）
＝x2+x﹣x2+1
＝x+1，
把x＝2024代入得：x+1＝2025．
【点评】本题考查了整式的化简求值．涉及到平方差公式的应用，正确使用公式，合并同类项是关键．
18．（7分）如图是6×8的长方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A和点B都在格点上．
（1）在图①中画出一个Rt△ABC，使点C在格点上；
（2）在图②中画出一个等腰△ABD，使点D在格点上；
（3）在图③中画出一个等腰直角△ABE，使点E在格点上．
【分析】（1）根据题意直接画图即可．
（2）由勾股定理得AB5，再根据等腰三角形的判定与性质画图即可．
（3）根据等腰直角三角形的判定画图即可．
【解答】解：（1）如图①，Rt△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图②，等腰△ABD即为所求（答案不唯一）．
（2）如图③，等腰直角△ABE即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，求∠D的度数．
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC2＝AB2+BC2＝202+152＝625，
∵CD＝7，AD＝24，
∴CD2+AD2＝72+242＝625＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠D＝90°．
【点评】本题考查的是勾股定理及其逆定理，先根据题意判断出△ACD是直角三角形是解题的关键．
20．（8分）如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC≌△DEC；
（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．
【分析】（1）利用SAS证明△ABC≌△DEC即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠CEB＝∠B＝75°，根据全等三角形的性质得出∠B＝∠DEC＝75°，根据平角的定义求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，
即∠DCE＝∠ACB，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）；
（2）解：∵EC＝BC，∠B＝75°，
∴∠CEB＝∠B＝75°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠B＝∠DEC＝75°，
∵∠3+∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠3＝30°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△DEC是解题的关键．
21．（8分）某电子品牌商下设台式电脑部、平板电脑部、手机部等．2022年的前五个月该品牌全部商品销售额共计600万元．下表表示该品牌商2022年前五个月的月销售额（统计信息不全）；图1表示该品牌手机部各月销售额占该品牌所有商品当月销售额的百分比情况统计图；图2表示5月份手机部各机型销售数量占5月份手机部销售总量的百分比统计图．
该品牌月销售额统计表（单位：万元）
（1）若要表示手机部A机型这5个月销售量的变化趋势，该采用 折线 统计图；
（2）该品牌5月份的销售额是 120 万元，手机部5月份的销售额是 36 万元；
（3）对于该品牌手机部6月份的进货，你有什么建议？
【分析】（1）根据折线统计图的特点即可得出答案；
（2）用五个月的全部商品销售额减去前四个月的销售额即可得到5月份的销售额，根据图1，手机占5月销售额的30%即可得出答案；
（3）根据5月份手机部各机型的销售数量，可以多进些B机型的手机，少进些D机型的手机．
【解答】解：（1）折线统计图可以显示销售量变化趋势，
故答案为：折线；
（2）600﹣180﹣90﹣115﹣95＝120（万元），
120×30%＝36（万元），
故答案为：120，36；
（3）多进些B机型的手机，少进些D机型的手机．
【点评】本题考查了统计图的选择，统计表，掌握折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况，②显示数据变化趋势是解题的关键．
22．（9分）阅读下列解答过程：
若二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+a
则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，
∴∴
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
请依照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式及k的值；
（2）已知二次三项式2x2+5x+k有一个因式是x+3，求另一个因式及k的值．
【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案．
【解答】解：（1）设另一个因式为（x+m），由题意，得：
x2+3x﹣k＝（x﹣5）（x+m），
则x2+3x﹣k＝x2+（m﹣5）x﹣5m，
∴
∴，
∴另一个因式为x+8，k的值为40．
（2）设另一个因式为（x+m），由题意，得：
2x2+5x+k＝（x+3）（x+m），
则2x2+5x+k＝x2+（m+3）x+3m，
∴，
∴，
∴另一个因式为x+2，k的值为6．
【点评】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键．
23．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）AC的长为 8 ；
（2）当点P在线段AC、CB上运动时，用t的代数式表示CP的长度；
（3）当点P恰好在∠BAC的角平分线上（点A除外），求t的值；
（4）点P运动的过程中，当△BPC为等腰三角形时，请直接写出t的值．
【分析】（1）根据勾股定理，即可求解；
（2）根据题意分别列出代数式；
（3）点P作PE⊥AB于点E，根据角平分线的性质、勾股定理列方程进行解答即可；
（4）分两种情况讨论：当P在AC上时，△BCP为等腰三角形；当P在AB上时，△BCP为等腰三角形即①CP＝PB、②PB＝BC时、③PC＝BC，进行讨论易得t的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴，
故答案为：8；
（2）当点P在AC上运动时，CP＝AC﹣AP＝8﹣t；
当点P在CB上运动时，CP＝t﹣AC＝t﹣8；
（3）当点P在∠BAC的平分线上时，过点P作PE⊥AB于点E，
∵PC＝PE，AP＝AP，
∴Rt△ACP≌Rt△ACP，
∴AC＝AE＝8，
∴BP＝8+6﹣t＝（14﹣t），PE＝PC＝（t﹣8），BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2，
∵在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
∴（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，
∴；
（4）①当P在AC上时，AP＝t，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即8﹣t＝6，
∴t＝2．
②当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
Ⅰ．当CP＝PB时，点P在BC的垂直平分线上，过P作PE⊥BC于E，如图：
∴∠B＝∠PCB，，
∵∠B+∠A＝90°，∠PCB+∠PCA＝90°，
∴PA＝PC，
∴，即t﹣6﹣8＝5，
∴t＝19；
Ⅱ．PB＝BC，即t﹣6﹣8＝6，
∴t＝20；
Ⅲ．PC＝BC，过C作CF⊥AB于F，如图：
∴，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∴在Rt△BFC中，，
∴，
∴．
∴当t＝2秒或t＝19秒或t＝20秒或秒时，△BCP为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定和性质、三角形的面积、列方程并解方程等，难度适中．能利用分类讨论的思想是解题的关键．
24．（12分） 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．
（1）通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．
①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为 b﹣a
②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 c2﹣2ab 、 （b﹣a）2 ；
③你能得出的a，b，c之间的数量关系是 a2+b2＝c2 （等号两边需化为最简形式）；
④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为 17 ．
（2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2 ；
②已知a+b＝5，ab＝3，利用上面的规律求a3+b3的值．
【分析】（1）①根据直角三角形的两边长即可得到结论；
②求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
③根据②的结果，即可得出答案；
④代入求出即可；
（2）①求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；
②代入①中的等式求出即可．
【解答】解：（1）①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为b﹣a，
故答案为：b﹣a；
②图1中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，
故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
③由②知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
④∵a2+b2＝c2，a＝8，b＝15，
∴c＝17，
故答案为：17；
（2）①图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，
即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，
故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
②∵a+b＝5，ab＝3，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2＝a3+b3+3ab（a+b）
∴53＝a3+b3+3×3×5，
解得：a3+b3＝80．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
B
D
A
B
A
A
月份
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