高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第4课时课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第4课时课后测评，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为( )
A．60° B．45° C．30° D．90°
2.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5)D.eq \f(4,5)
3.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为（ ）
A．B．C．D．
4.一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：
①AF⊥GC； ②BD与GC是异面直线且夹角为60°；
③BD∥MN； ④BG与平面ABCD所成的角为45°.
其中正确的个数是( )
A．1 B.2 C．3D．4
5.正方体中，与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
6.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，∠PBA＝θ1，∠PBC＝θ2，∠ABC＝θ3.则下列关系一定成立的是( )
A．cs θ1cs θ2＝cs θ3 B．cs θ1cs θ3＝cs θ2
C．sin θ1sin θ2＝sin θ3 D．sin θ1sin θ3＝sin θ2
7.如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为MC的中点，则下列结论正确的是( )
A．平面BCE⊥平面ABN
B．MC⊥AN
C．平面CMN⊥平面AMN
D．平面BDE∥平面AMN
二、填空题
8.如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为______.
9.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________.
10.在正方体ABCDA1B1C1D1中，
(1)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；
(2)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．
三、解答题
11.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
12.如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．

（1）求和平面所成的角的大小．
（2）求二面角的正弦值．
答案解析
8.6第4课时 异面直线所成的角、 直线与平面所成的角、 二面角
一、选择题
1.【答案】 A
【解析】：.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面所成的角．又AB＝2BO，所以cs∠ABO＝eq \f(OB,AB)＝eq \f(1,2)，所以∠ABO＝60°.选A
2.【答案】D
[【解析】] 连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq \r(2)，A1B＝BC1＝eq \r(5)，故cs∠A1BC1＝eq \f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(4,5)，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为eq \f(4,5).
3.【答案】B
【解析】：如图，设C在平面α内的射影为点O，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．设AC＝BC＝1，则AB＝eq \r(2)，所以CM＝eq \f(\r(2),2)，CO＝eq \f(1,2)，所以sin∠CMO＝eq \f(CO,CM)＝eq \f(\r(2),2)，所以∠CMO＝45°.
4.【答案】B
【解析】： 将平面展开图还原成正方体(如图所示)．
对于①，由图形知AF与GC异面垂直，故①正确；
对于②，BD与GC显然是异面直线．如图，连接EB，ED，则EB∥GC，所以∠EBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角)．在等边△BDE中，∠EBD＝60°，所以异面直线BD与GC所成的角为60°，故②正确；
对于③，BD与MN为异面垂直，故③错误；
对于④，由题意得，GD⊥平面ABCD，所以∠GBD是BG与平面ABCD所成的角．但在Rt△BDG中，∠GBD不等于45°，故④错误．综上可得①②正确．选B
5.【答案】A
【解析】如图，连接交于点E，连接AE，
正方体中，证得：平面，所以与平面所成的角为，
设正方体的边长为，在中，求得：，，
,所以，故选：A
6.【答案】B
【解析】：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC))eq \a\vs4\al(⇒)eq \a\vs4\al(\b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A)))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，所以csθ1＝eq \f(AB,PB)，csθ2＝eq \f(BC,PB)，csθ3＝eq \f(BC,AB).则有csθ1cs θ3＝csθ2.选B.
7.【答案】ABD
【解析】：如图，分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP＝CQ＝1，
连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．∴BC⊥平面ABN，
又BC⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；
连接PB，则PB∥MC，显然，PB⊥AN，∴MC⊥AN，故B正确；
取MN的中点F，连接AF，CF，AC.
∵△AMN和△CMN都是边长为eq \r(2)的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN，
∴∠AFC为二面角A­MN­C的平面角，∵AF＝CF＝eq \f(\r(6),2)，AC＝eq \r(2)，
∴AF2＋CF2≠AC2，即∠AFC≠eq \f(π,2)，∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；
∵DE∥AN，MN∥BD，DE∩BD＝D，DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，MN∩AN＝N，MN⊂平面AMN，AN⊂平面AMN，∴平面BDE∥平面AMN，故D正确．故选ABD.
二、填空题
8.【答案】
【解析】取中点，连接，如下图所示：
正三棱柱，，则，因为平面，平面，所以，而，则平面，则即为与平面所成角.
因为，所以.
9.【答案】 eq \f(3,4)
【解析】 如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD，则BC⊥AD.
过点A作AG⊥SD于点G，连接GB.
∵SA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥SA，又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴AG⊥BC.又AG⊥SD，SD∩BC＝D，∴AG⊥平面SBC.∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.∵AB＝2，SA＝3，∴AD＝eq \r(3)，SD＝2eq \r(3).在Rt△SAD中，AG＝eq \f(SA·AD,SD)＝eq \f(3,2).∴sin∠ABG＝eq \f(AG,AB)＝eq \f(\f(3,2),2)＝eq \f(3,4).
10.【答案】：(1)30° (2) 90°
【解析】：(1)连接A1D，AD1，BC1，交点为O，则易证A1D⊥平面ABC1D1，所以A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，所以A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO，因为A1O＝eq \f(1,2)A1B，所以∠A1BO＝30°.
(2)因为A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，又因为AB1∩B1C1＝B1，所以A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角为90°.
三、解答题
11.【解析】 取AA1的中点M，连接EM，BM.
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.
又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝ eq \r(22＋22＋12)＝3.于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝eq \f(EM,BE)＝eq \f(2,3)，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为eq \f(2,3).
12.【解析】（1）在四棱锥中，∵平面，平面，
∴．又，，∴平面．
故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角．
在中，，故．
所以和平面所成的角的大小为．
（2）在四棱锥中，∵平面，平面，∴．
由条件，，∴平面．
又∵平面，∴．由，，可得．
∵是的中点，∴．又∵，∴平面．
过点作，垂足为，连接，如图所示．
∵平面，在平面内的射影是，
∴．∴是二面角的平面角．
由已知∵，∴设，则，，，．
中，．
在中，∵，∴，得．
在中，．所以二面角的正弦值为．