高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq \r(2)，则此球的体积为( )
A.eq \r(6)π B．4eq \r(3)π C．4eq \r(6)π D．6eq \r(3)π
2.三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则eq \f(V1,V2)＝( )
A. eq \f(1,4) B．eq \f(1,3) C．eq \r(6) D．eq \r(3)
3一个六棱锥的体积为2eq \r(3) ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为( )
A. 4 B．6 C．8 D．12
4.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为( )
A．12eq \r(3) B．18eq \r(3) C．24eq \r(3) D．54eq \r(3)
5.给出下列命题，其中正确的两个命题是( )
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；
③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；
④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等．
A．①与② B．②与③ C．③与④ D．②与④
6.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△BCM沿CM折起，使点A，B间的距离为eq \r(2)，则点M到平面ABC的距离为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \f(3,2)
7.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．其中正确的是( )
A.BC⊥PC； B.OM∥平面APC；
C.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．
二、填空题
8.在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则点P到BC的距离是________．
9.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．
10.如图，正方体的所有棱长都为1，则点A到平面的距离为_____，AD与平面所成的角正弦值为_______.

解答题
11.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝eq \r(3)，三棱锥PABD的体积V＝eq \f(\r(3),4)，求A到平面PBC的距离．
12.如图(1)，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图(2)所示)，连接AP，PF，其中PF＝2eq \r(5).
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
(3)求点A到平面PBE的距离．

答案解析
8.6第5课时点到面的距离，线到面的距离
一、选择题
1.【答案】 B
【解析】： 设球的半径为R，由球的截面性质得R＝eq \r(\r(2)2＋12)＝eq \r(3)，所以球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝4eq \r(3)π.
2.【答案】A
【解析】：如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝eq \f(1,3)Sh，V1＝VE－ADB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)S×eq \f(1,2)h＝eq \f(1,12)Sh，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(1,4).
3.【答案】 D
【解析】：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则eq \f(1,3)×6×eq \f(\r(3),4)×22×h＝2eq \r(3)，解得h＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为eq \r(3)，故侧面等腰三角形底边上的高为eq \r(\r(3)2＋1)＝2，故该六棱锥的侧面积为eq \f(1,2)×12×2＝12.
4.【答案】B
【解析】： 由等边△ABC的面积为9eq \r(3)，可得eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝eq \f(\r(3),3)AB＝2eq \r(3).设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(16－12)＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).
5.【答案】D
【解析】 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题．
6.【答案】：A
【解析】 在平面图形中，由已知得AB＝2，AM＝BM＝MC＝1，BC＝eq \r(3)，∴△AMC为等边三角形，取CM的中点D，连接AD，则AD⊥CM，设AD的延长线交BC于E，
则AD＝eq \f(\r(3),2)，DE＝eq \f(\r(3),6)，CE＝eq \f(\r(3),3).根据题意知，折起后的图形如图所示，由BC2＝AC2＋AB2，知∠BAC＝90°，又cs∠ECA＝eq \f(\r(3),3)，连接AE，则AE2＝CA2＋CE2－2CA·CEcs∠ECA＝eq \f(2,3)，
于是AC2＝AE2＋CE2，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AD2＝AE2＋ED2，
∴AE⊥DE，又BC，DE⊂平面BCM，BC∩DE＝E，∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱锥A－BCM的高，设点M到平面ABC的距离为h，∵S△BCM＝eq \f(\r(3),4)，AE＝eq \f(\r(6),3)，∴由VA－BCM＝VM－ABC，可得eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)×1×h，∴h＝eq \f(1,2)，故选A.
7.【答案】 ABC
【解析】 对于A，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.对于B，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC.对于C，由A知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故ABC都正确．
二、填空题
8.【答案】 4eq \r(5)
【解析】：如图所示，作PD⊥BC于点D，连接AD.
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又PD∩PA＝P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.在△ACD中，AC＝5，CD＝3，所以AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，所以PD＝eq \r(82＋42)＝4eq \r(5).
【答案】
【解析】过点P作PO⊥平面ABC交平面ABC于点O，过点P作PD⊥AC交AC于点D，作PE⊥BC交BC于点E，联结OD，OC，OE，则所以又,故四边形为矩形.有所做辅助线可知，所以，所以矩形为边长是1的正方形，则.在中，，所以.即为点P到平面ABC的距离，即所求距离为.
10.【答案】
【解析】由题意可得，三棱锥的体积，
且是边长为的等边三角形，其面积，
设点A到平面的距离为，利用等体积法可得：，则.
即点A到平面的距离为.连接AC1，交平面于点O，则为AD与平面所成的角，AO=，得。
三.解答题
11.【解析】 (1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点．
又点E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.
(2)V＝eq \f(1,6)AP·AB·AD＝eq \f(\r(3),6)AB.由V＝eq \f(\r(3),4)，可得AB＝eq \f(3,2).
作AH⊥PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．因为PB＝eq \r(AP2＋AB2)＝eq \f(\r(13),2)，所以AH＝eq \f(AP·AB,PB)＝eq \f(3\r(13),13)，
所以点A到平面PBC的距离为eq \f(3\r(13),13).
12.【解析】：(1)证明：连接EF，由题意知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，
所以PF⊥BF.易得EF＝eq \r(62＋（12－3－4）2)＝eq \r(61)，
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF.
又BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.
(2)存在，当Q为PA的三等分点(靠近P)时，FQ∥平面PBE.
理由如下：
因为AQ＝eq \f(2,3)AP，AF＝eq \f(2,3)AB，所以FQ∥BP，
又FQ⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以FQ∥平面PBE.
(3)由(1)知PF⊥平面ABED，连接AE，则PF为三棱锥PABE的高．
设点A到平面PBE的距离为h，由等体积法得VAPBE＝VPABE，
即eq \f(1,3)×S△PBE×h＝eq \f(1,3)×S△ABE×PF.又S△PBE＝eq \f(1,2)×6×9＝27，S△ABE＝eq \f(1,2)×12×6＝36，
所以h＝eq \f(S△ABE·PF,S△PBE)＝eq \f(36×2\r(5),27)＝eq \f(8\r(5),3)，即点A到平面PBE的距离为eq \f(8\r(5),3).