2024-2025学年湖南省长沙市高三上学期第四次月考数学检测试题

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市高三上学期第四次月考数学检测试题，共5页。试卷主要包含了 若复数满足， 已知命题；命题是质数，则， 有一组数据，按从小到大排列为， 已知函数与，下列说法正确是， 已知三次函数，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足（为虚数单位），则的模（ ）
A. 1B. C. D.
2. 已知命题；命题是质数，则（ ）
A. 均是真命题B. 均是真命题
C. 均是真命题D. 均是真命题
3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 有一组数据，按从小到大排列为：，这组数据分位数等于他们的平均数，则为（ ）
A 10B. 12C. 14D. 16
5. 如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（ ）

A. 椭圆的长轴长等于2
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的标准方程可以是
D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为
6. 已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（ ）
A. B.
C D.
7. 已知三棱锥内接于直径为的球，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 关于的方程恰有两个根为，且分别满足和，则的值为（ ）
A. B. C. 57D. 77
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数与，下列说法正确是（ ）
A. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的，并向左平移个单位可以得到的图象
B. 与的图象存在相同的对称中心
C. 与在区间上单调性相同
D. 当时，与的图象有且仅有个交点
10. 已知三次函数，则（ ）
A. 当时，函数为单调递增函数
B. 当时，函数y=fx的图象关于对称
C. 存在，使得函数y=fx图象关于直线对称
D. 函数有三个零点的一个充分条件是
11. 已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，过轴左侧一点作抛物线的两条切线，切点为分别交轴于两点，设，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. 四点共圆
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则____________.
13. 若数列的前项和是首项为，公比为的等比数列，则的前项积为__________.
14. 现有质量分别为千克的六件货物，将它们随机打包装入三个不同的箱子，每个箱子装入两件货物，每件货物只能装入一个箱子.则第一､二个箱子的总质量均不小于第三个箱子的总质量的概率是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记锐角三角形的内角的对边分别为a,b,c，的面积为，已知.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
16. 已知函数.
（1）当时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）若函数和有相同的最大值，求的值.
17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，点分别是棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
18. 湖南某高中在校园艺术节举办形式多样的活动.
（1）抽奖活动规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，抽奖学生每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止.抽到卡片送精美校园明信片一张，抽到卡片送文学社设计的精美信封一个.甲同学想要明信片，请问甲同学取到写有卡片的概率.
（2）领福袋活动规则如下：每位同学都可以去文化长廊领取自己最喜欢福袋，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，长廊上一共悬挂个福袋（每个福袋的大小不同），福袋出现在各个位置上的概率相等，乙同学想要摘取最大的福袋，他准备采用如下策略：不摘前个福袋，自第个开始，只要发现比他前面见过的福袋都大时，就摘这个福袋，否则就摘最后一个.设，记乙同学摘到最大的福袋概率为.
①若，求；
②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）
19. 已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为.
（1）求点，的坐标；
（2）记，证明：数列为等比数列；
（3）为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值.