2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二上学期第二次月考数学学情调研试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省徐州市铜山区高二上学期第二次月考数学学情调研试卷（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若数列为等差数列，且，则等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【正确答案】D
【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：D
2．在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算可得解.
【详解】
如图所示，
在三棱柱中，，，
依题意，
故选：A.
3．已知直线l的方向向量，平面的一个法向量为，若直线l在平面内，则的值是（ ）
A．B．C．2D．16
【正确答案】A
【分析】根据法向量的定义，转化为两个向量垂直，即可列式求解.
【详解】由条件可知，，得.
故选：A
4．等比数列中，，则（ ）
A．4B．C．D．
【正确答案】B
【分析】根据等比数列通项公式求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，所以，
所以.
故选：B.
5．已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律可得答案.
【详解】∵与垂直，∴，
∴，
所以，因为，所以.
故选：D.
6．设数列的前项和为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解.
【详解】数列中，由，得，整理得，
则，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
于是，即，而满足上式，
因此，，，ABD错误，C正确.
故选：C
7．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．//
B．
C．//平面
D．平面
【正确答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.
【详解】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，是底面的中心，分别是的中点，
则，，，
对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确；
对于B，因，则，即，B正确；
对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确；
对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确.
故选：B
8．已知数列满足，记数列前项为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【分析】先求得，利用裂项求和法求得，根据单调性求得的取值范围.
【详解】依题意，数列满足，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
所以，
由于是单调递增数列，而对于任意，不等式恒成立，
所以实数的取值范围为
故选：C
二、多选题
9．设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．与均为的最大值D．为的最小值
【正确答案】AC
【分析】由已知可得公差，进而由与的关系可得，，根据等差数列的性质可得结论.
【详解】因为，所以，故A正确；
因为是等差数列且，所以公差，故B错误；
因为，所以，
又因为是等差数列且，所以与均为的最大值，故C正确，D错误.
故选：AC.
10．已知空间中三点，，，则下列结论错误的是（ ）
A．与是共线向量B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是
【正确答案】AC
【分析】A：利用共线向量定义进行判断；B：与同向的单位向量；C：利用向量夹角余弦公式判断；D：设平面的法向量为，则，由此能求出结果．
【详解】对于A：，
与不是共线向量，故A错误；
对于B：，则与同向的单位向量是，故B正确；
对于C：，
∴，故C错误；
对于D：，
设平面的法向量为，
则，取，得，故D正确．
故选：AC．
11．已知数列满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．数列的
C．数列 的前7项为负数
D．数列最大项的值为
【正确答案】ABD
【分析】利用等比数列的定义结合条件等式变形可判定A，从而求出通项公式判断BC，根据数列的单调性判断D.
【详解】根据，
可知是等比数列，首项为，公比为，故A正确；
则有，所以，故B正确，C错误；
不妨设最大项为，则，
即，
解之得，即最大项为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
12．已知，则 ．
【正确答案】
【分析】根据空间向量的坐标运算可得答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为.
13．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则 .
【正确答案】0
【分析】利用等比数列性质求得，然后由等差数列前项公式计算．
【详解】因为公差，且成等比数列，
所以，即，解得，
所以．
故0
14．已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解.
【详解】，，与夹角的余弦值为，
在上的投影向量为
.
故选：D．
四、解答题
15．已知正方体
（1）求出对角线AC1的一个方向向量．
（2）求出平面的一个法向量．
16．已知是等差数列的前n项和，且，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前100项和.
【正确答案】(1)
(2)200
【分析】（1）设出公差，根据题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）求出，利用分组求和公式得到答案.
【详解】（1）设公差为d，结合题设有，
解得，
则
故的通项公式为.
（2），
所以
.
17．已知数列满足：，.
(1)若，求证：为等差数列.
(2)求数列的前项和.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为，所以，
即，，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）可得，则，
所以，
所以
.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
(1)求证：平面PBC；
(2)求证：平面BDE．
【正确答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证；
（2）设平面BDE的法向量为，证明即得证.
【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
因为，所以，所以，
所以，，
所以，，即，，
又因为，平面PBC．
所以平面PBC．
（2）证明：由（1）可得，，．
设平面BDE的法向量为，
则，即令，得，，
则是平面BDE的一个法向量，
因为，所以，
因为平面BDE，所以平面BDE．
19．已知数列满足，对任意正整数、都有.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和；
(3)在（2）中的，设，求数列中最小项的值.
【正确答案】(1)
(2).
(3)
【分析】（1）直接给赋值得到一个等比数列的关系式，求出的通项；
（2）通过和前项和之间的关系求解通项即可；
（3）通过判断数列的单调性，确定最大值的位置，判断单调性只需要比较的大小即可.
【详解】（1）对任意正整数、都有成立，，
所以令，得，，
∴数列（）是首项和公比都为2的等比数列.
∴（）.
（2）由，得
，
故，
所以，
当时，，，
于是，，
当时，；
当时，
又时，，
综上，有，.
（3）因为，，
所以，
所以，
数列是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为.