2024-2025学年山东省青岛市高三上学期12月月考数学调研检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省青岛市高三上学期12月月考数学调研检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，若双曲线满足，则的离心率为，设，则“”是“”的，已知向量，，，则四边形的面积为，已知x、y都是正数，则，已知函数等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】B
【难度】0.94
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合交集的基本运算即可得出结果.
【详解】由集合即可得.
故选：B
2．在复平面内，复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．
C．3D．
【正确答案】D
【难度】0.85
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】由 ，化简得到求解.
【详解】解：因为复数 满足 ，
所以，
所以的虚部为-3，
故选：D
3．若双曲线满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【难度】0.94
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据离心率公式计算可得答案.
【详解】由，得，
即.
故选：C.
4．已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（ ）
A．B．C．2D．3
【正确答案】C
【难度】0.85
【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则，
由为等差数列，则，，，
，解得或（舍去）.
故选：C.
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【正确答案】C
【难度】0.85
【知识点】充要条件的证明、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案.
【详解】是增函数，
又，
，
又是增函数，
则，故充分性成立；
是增函数，，
，
又是增函数，
，故必要性成立.
即“”是“”的充要条件.
故选.
6．已知四棱锥的体积为4，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【难度】0.85
【知识点】锥体体积的有关计算、求线面角
【分析】根据四棱锥的体积为4求出高h，再结合直线与平面所成角的正弦值为即可得答案.
【详解】四棱锥的体积，得，
直线与平面所成角的正弦值为，
故选：B.
7．设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为( ).
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【难度】0.85
【知识点】比较零点的大小关系
【分析】当时，f1=0，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可.
【详解】因为时，，又因为单调递增，所以；
若，则，所以时，，即；
若，则，所以时，，即.
综上所述，，
故选：D.
8．已知向量，，，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【难度】0.85
【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】由和及和的关系可知，四边形为直角梯形，由梯形面积计算即可.
【详解】因为，，所以四边形为直角梯形.
，，，则面积，
故选：B.
二、多选题
9．已知x、y都是正数，则（ ）
A．B．若，则的最大值为2
C．的最大值为D．
【正确答案】BC
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式求解判断ABC；举例说明判断D.
【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，当时，，D错误.
故选：BC
10．已知函数（，，）的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．将的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），最后将纵坐标变为原来的（横坐标不变）得到图象，则为正弦曲线
【正确答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项判断得解.
【详解】观察图象得，，由，得，又，且在的单调增区间内，
则，由，得，解得，
而的最小正周期满足，即，则，
解得，因此，，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，正弦函数在上单调递减，
因此在上单调递减，C正确；
对于D，将的图象向右平移个单位，得的图象，
因此图象对应的解析式为，为正弦曲线，D正确.
故选：BCD
11．已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．使为直角三角形的点有6个
C．的最大值为
D．若，则的最大、最小值分别为和
【正确答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆中焦点三角形的面积问题
【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD.
【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以，
所以的面积为，故A错误；
B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，
设椭圆的上下顶点分别为，，则,同理，
知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，
其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；
C选项：由于，
所以当最小即时，取得最大值，故C正确；
D选项：因为，
又，则的最大、最小值分别为和，
当点位于直线与椭圆的交点时取等号，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
12．已知，则 .
【正确答案】
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式
【分析】，代入数据计算得到答案.
【详解】
.
故选：D
13．已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为 .
【正确答案】
【难度】0.65
三棱锥，以为底，到平面的距离为高，得到三棱锥在两两垂直时体积最大，此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，从而求出其半径，得到球的体积.
【详解】三棱锥，以为底，到平面的距离为高，
则可知平面时，到平面的距离最大为，
底面为等腰三角形，
，
当时，的面积最大，即，
当两两垂直时，三棱锥体积最大，
此时三棱锥的外接球可以看作是以为棱长的正方体的外接球，
设球的半径为，
则，
解得，
所求球的体积为.
故选：A.
本题考查求三棱锥的体积，求三棱锥外接球的体积，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.
14．已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为 .
【正确答案】
【难度】0.65
【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】由直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使最大，结合圆的性质即可求解
【详解】解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，
所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为，
要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一点，使最大，
根据题意可知两圆的圆心距为，
所以的最大值为，
故
四、解答题
15．的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求的面积；
(2)若角为钝角，求的取值范围．
【正确答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得面积；
（2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，结合角B的范围运算求解.
【详解】（1）因为，由余弦定理可得，
由正弦定理得，
又因为，
则有，
因，，则，
且，故．
由余弦定理，，代入得，，
因，则有，即得，
故的面积．
（2）由正弦定理，可得，且，
代入化简得：．
因为钝角，故由，可得，
则，，即，
故的取值范围是
16．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【正确答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
17．如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，是弧上的点，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】证明线面平行、面面角的向量求法、求二面角
【分析】（1）取中点，连结，，根据条件，得到，利用线面平行的判断定理，即可证明结果；
（2）法一：过作于点，取中点，连结，，根据条件，利用几何关系可得为二面角的平面角，再利用余弦定理，即可求解；法二，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解；
【详解】（1）取中点，连结，
∵，，，，
∴，，∴为平行四边形，
∴，又面，面，
所以面.
（2）法一：过作于点，易知圆台底面，
∵，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为，
∴，，又，∴，，
又，则，所以，
又由，可得，，
取中点，连结，，所以，
则为二面角的平面角，
又易知，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为
法二：如图，以为坐标原点，和垂直的直线为轴，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，
由法一知，，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，，所以，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
若以，，为，，轴建立坐标系，
则，
所以，，，
同理可求得平面的法向量为；
平面的法向量为，
则.
18．已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.

(1)求的方程；
(2)证明：直线恒过定点；
(3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.
【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的直线过定点问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，由垂直得斜率关系，即可代入化简求解，
（3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解.
【详解】（1）右顶点
，解得
.

（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，可设直线.
联立，得
则，即.
.
以为直径的圆经过点
即
，化简得
当时，直线经过点，不符条件，舍去..
直线必过定点.
（3）由（2）知.
,为中点，，代入得.
由得.
方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
19．已知函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数．
(1)类比等式，请探究与，之间的等量关系，并给出证明过程；
(2)求函数的零点；
(3)解关于的不等式：
【正确答案】(1)；证明见解析
(2)，
(3)答案见解析
【难度】0.4
【知识点】解含有参数的一元二次不等式、求函数零点或方程根的个数、函数新定义
【分析】由条件类比得到，然后证明即可；
化简可得：，即，
解得或，然后回代求解即可；
原不等式可化为，对的范围讨论可求．
【详解】（1）由条件类比得到，
证明如下：因为，
，
所以；
（2）因为，
令，则，即，
即，解得或，
又，所以，于是，
整理得，
于是或，
解得或，
所以函数ℎx的零点为，；
（3）因为，
，
所以原不等式可化为，
于是，整理得，
也即
当时，原不等式的解集为；
当时，
令可得或，且，
原不等式的解集为；
当时，
令可得或，且，
原不等式的解集为
综上所述不等式的解集是：
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
求函数零点（方程有根）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数图象的交点；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.