2024-2025学年山东市青岛市高三上学期12月阶段性检测数学试题

这是一份2024-2025学年山东市青岛市高三上学期12月阶段性检测数学试题，共5页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数，则z的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 在展开式中，系数为（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
4. 若函数偶函数，则（ ）
A. 0B. C. 1D. 2
5. 已知，则（ ）
A B. C. D.
6. 形如的函数，图象很像汉字中的“囧”字，被形象地称为“囧函数”．当时，该“囧函数”与函数的交点个数为（ ）
A 2个B. 4个C. 0个D. 3个
7. 一位教授去参加学术会议，他选择自驾、乘坐动车和飞机的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他选择自驾、乘坐动车和飞机迟到的概率分别为0.5，0.2，0.1，则这位教授迟到的概率为（ ）
A. 0.8B. 0.5C. 0.23D. 0.32
8. 已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元农户比例估计为6%
B. 估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
10. 已知正方体的棱长为1，为棱上一动点，平面，则（ ）
A. 异面直线和所成角是
B. 当点与点重合时，平面被正方体所截的截面形状都可能为正五边形
C. 当点与点重合时，四面体外接球的体积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，恰有三个单调区间
B. 当时，若在上有最大值，则
C. 当时，过作曲线切线有且只有一条
D. 当，且时，曲线与直线有2个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量与的夹角为为单位向量，，则_______．
13. 等比数列中，，则的值为_______．
14. 正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体．如图所示，正八面体，的棱长为2，若点P为棱AB上的动点，则的最小值为_______；若点O为四边形ABCD的中心，点Q为此正八面体表面上的动点，且，则动点的轨迹长度为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，.
（1）求证：平面；
（2）若与平面ABCD所成的角为，求平面与平面ABCD夹角的余弦值.
16. 记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求B；
（2）点D在AC上，BD平分，且，求b.
17. 为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布．
（1）已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次；
（2）在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望．
附：参考数据：
参考公式：若有，．
18. 已知函数且．
（1）求a；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
19. 已知数列是斐波那契数列，这一数列以如下递推的方法定义：．数列对于确定的正整数k，若存在正整数n使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”
（1）已知数列满足，判断是否对，总存在确定的正整数k，使得数列为“k阶可分拆数列”，并说明理由；
（2）设数列的前n项和为．
（ⅰ）若数列为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值；
（ⅱ）在（ⅰ）问的前提下，若数列满足，其前n项和为，求证：当且时，成立．