江西省萍乡市2024-2025学年届高三上学期月考数学检测试卷

这是一份江西省萍乡市2024-2025学年届高三上学期月考数学检测试卷，共7页。试卷主要包含了 函数的大致图象是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设复数，．那么如下说法中错误是（ ）
A. B. 在第二象限
C. 若，那么D.
2. 已知是椭圆两个焦点，点在上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
3. 如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（ ）

A. 3B. 6C. 9D. 12
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5. 我们称两个正整数和互素，当且仅当和的最大公因数是1，我们定义是小于的正整数中和互素的数的个数，例如．是因为小于6的数中只有1与5和6互素．那么以下说法错误的是（ ）
A. 有无限多个正整数使
B. 有无限多个正整数使
C. 的解只有1和2
D. 对于任意正整数，都有使得
6. 已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
7. 若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A. B. 0C. eD. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数和，有.
②等式条件：当且仅当时，等号成立.
例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A. B.
C. D. 的面积等于的面积
11. 四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2
B. 四面体ABCD的体积为
C. AC与BD的公垂线段的长为
D. 过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．
13. 已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是______．
14. 设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为________，使得取到最大值的数列的个数为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：
第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；
第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；
第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；
第四轮，“决赛区”两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.
已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.
（1）求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；
（2）若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概率；
（3）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：即四个队伍分成两组后，每组中两个队伍对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军.分别求在以上两种赛制下高二获得冠军的概率，并比较哪种赛制对高二夺冠有利？请说明理由.
16. 在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.

（1）求证：平面平面；
（2）设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
17. 新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：
（1）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：，（其中表示的次导数，），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式，当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式，比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式，，，，请利用上述公式和所学知识写出在处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）
（2）设为正整数，数列，，，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，，是一可分数列.请写出所有的，，使数列，，，是—可分数列.
18. 已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
（3）过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
19. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.
（1）讨论函数的凹凸性；
（2）在锐角中，求的最小值；
（3）若个正数满足，证明: