重难点04 圆周运动、万有引力- 2025年高考物理 热点 重点 难点 专练（西北四省专用）

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【情境解读】
【高分技巧】
一、匀速圆周运动
1．三种传动方式及各自的特点
2．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
3．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力。
二、竖直平面内的变速圆周运动
两种常见的模型
三、开普勒行星运动定律及万有引力定律
1．万有引力定律的适用条件：
公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球球心间的距离。
2．宇宙速度
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
3．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
4．物理量随轨道半径变化的规律
（建议用时：40分钟）
【考向一：圆周运动】
1．（2024·宁夏银川一中·三模）如图所示，O为半球形容器的球心，半球形容器绕通过O的竖直轴以角速度匀速转动，放在容器内的两个质量相等的小物块a和b相对容器静止，b与容器壁间恰好没有摩擦力。已知a和O、b和O的连线与竖直方向的夹角分别为60°和30°，则下列说法正确的是（ ）
A. 小物块a和b做圆周运动的向心力之比为
B. 小物块a和b对容器壁的压力之比为
C. 小物块a与容器壁之间无摩擦力
D. 容器壁对小物块a的摩擦力方向沿器壁切线向下
【答案】A
【解析】A．a、b角速度相等，向心力可表示为
所以a、b向心力之比为，A正确；
BCD．若无摩擦力a将移动到和b等高的位置，所以摩擦力沿切线方向向上。定量分析：对b分析可得
结合对b分析结果，对a分析
即支持力在指向转，轴方向的分力大于所需要的向心力，因此摩擦力有背离转轴方向的分力，即摩擦力沿切线方向向上；对b有
对a有
所
BCD错误。
故选A。
2．（2024·青海省西宁市·二模）图甲中的辘轳是古代民间提水设施，由辘轳头、支架、井绳、水桶等部分构成，图乙为提水设施工作原理简化图，辘轳绕绳轮轴半径r=0.1m，水桶的质量M=0.5kg，井足够深，忽略井绳质量和因绳子缠绕导致轮轴的半径变化。某次从井中汲取m=2kg的水，轮轴由静止开始绕中心轴转动从而竖直向上提水桶，其角速度随时间变化规律如图丙所示，取重力加速度g=10m/s2，则（ ）

A. 10s末水桶的速度大小为20m/sB. 水桶的速度大小随时间变化规律为v=2t
C. 0~10s内水桶上升的高度为20mD. 0~10s内井绳拉力所做的功为255J
【答案】D
【解析】AB．由图丙可知
所以水桶速度随时间变化规律为
则10s末水桶的速度大小为2m/s，故AB错误；
CD．水桶匀加速上升，加速度
由牛顿第二定律
所以井绳拉力大小为
水桶匀加速上升，0~10s内它上升的高度为
则0~10s内井绳拉力所做的功为
故C错误，D正确。
故选D。
3．（2024·山西省阳泉市·三模）如图，圆形水平餐桌面上有一个半径为，可绕中心轴转动的同心圆盘，在圆盘的边缘放置一质量为的小物块，物块与圆盘间的动摩擦因数为，物块与桌面间的动摩擦因数为。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，物块从圆盘上滑落后，最终恰好停在桌面边缘。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为，圆盘厚度及圆盘与餐桌面的间隙不计，物块可视为质点。求：
（1）物块随圆盘运动的过程中，圆盘对小物块做的功；
（2）餐桌面的半径R。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）物体在圆盘上滑下时有
根据动能定理，圆盘对小物块做的功
解得
（2）小物块从圆盘滑落后，沿切线方向划出，做匀减速直线运动，滑到桌面边缘时有
其中的
解得
4．（2024·陕西省榆林市·二模）滚筒洗衣机静止于水平地面上，已脱净水的衣物随滚筒一起在竖直平面内做匀速圆周运动，滚筒截面如图所示。若质量为m的衣物在最高点A对滚筒恰好无作用力，重力加速度大小为g，则衣物在最低点B对滚筒的压力大小为（ ）

A. mgB. 2mgC. 3mgD. 4mg
【答案】B
【解析】由于是衣物随滚筒一起在竖直平面内做匀速圆周运动，则衣物做圆周运动需要的向心力大小始终保持不变，在最高点A对滚筒恰好无作用力，说明此时重力mg恰好提供向心力
所以在B点时有
解得
衣物在B点受到的支持力为2mg，则衣物在最低点B对滚筒的压力大小为2mg。
故选B。
5．（2024·陕西省咸阳市·一模）如图所示，长为L的细绳上端固定在天花板上，下端拴一个可视为质点的小球，小球在水平面内做匀速圆周运动。细绳跟竖直方向的夹角为θ，小球做匀速圆周运动的角速度为ω。当小球以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，细绳与竖直方向的夹角θ随之变化，已知当地的重力加速度大小为g，下列关于θ与ω的关系图像可能正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由向心力公式可得
可得
即与成正比。
故选C。
6．（2024·山西省晋城市·一模）如图所示，在同一竖直平面内，光滑的长直斜面轨道AB固定，在B处通过一小段圆弧（长度可忽略不计）与水平轨道BCDE连接，水平轨道的BC、段粗糙，DE段光滑，C处固定一圆形光滑轨道。轻质弹簧的一端固定在E处的竖直墙面上，另一端与质量为3m的物块b刚好在D点接触（不拴接），弹簧处于水平自然长度。将质量为m的物块a从斜面轨道上的A点由静止释放，一段时间后，物块a从C点进入半径R=0.4m的圆形轨道，转一圈后又从（C、适当错开一点）点出来沿轨道运动，在D点与物块b发生弹性碰撞。已知A点距水平轨道的高度h=5m，B、间的距离s1=3.8m，、D间的距离为s2，物块a与BC、段水平轨道间的动摩擦因数均为，物块b与BC、段水平轨道间的动摩擦因数均为，取重力加速度大小g=10m/s2，物块a、b均可视为质点，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求物块a运动到C点时速度大小；
（2）改变物块a由静止释放的位置，为使物块a经过圆形轨道的最高点P，求释放物块a时的最小高度hmin；
（3）若物块a恰好能经过圆形轨道的最高点P，从圆形轨道出来后沿运动与b发生弹性碰撞，且只能碰撞一次，求s2的范围。
【答案】（1）9m/s；（2）1.95m；（3）
【解析】（1）物块a由A运动到C的过程中，根据动能定理有
解得
（2）物块a从A运动到P点，根据动能定理有
物块a恰好能通过P点，则有
解得
，
（3）设物块a运动到D点时的速度大小为v，物块a从P运动到D点过程，根据动能定理有
可得
物块a、b在D点发生弹性碰撞，根据动量守恒定律有
由机械能守恒定律有
解得碰后物块a、b的速度分别为
，
若，根据机械能守恒定律有
解得
所以物块a反向运动后不可能脱离圆轨道，讨论：
①要使a、b能够发生碰撞，a到达D处时速度大小
解得
②b压缩弹簧后又返回D点时速度大小不变，之后与弹簧分离。假设物块a滑上圆形轨道又返回，最终停在水平轨道上Q点，物块b在水平轨道上匀减速滑到Q点也恰好停止，设，则有
根据能量守恒定律，对物块a有
对物块b有
解得
，
所以有
7．（2024·陕西省商洛市·二模）天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂，点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为和的小球A、B。两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且两球始终在同一水平面内，则（ ）
A. 两球的向心加速度大小相等
B. 两球运动的角速度大小相等
C. A、B两球的质量之比等于
D. A、B两球的线速度大小之比等于
【答案】B
【解析】A．用β泛指一个角度，由
可知
因为，所以B球加速度大于A球加速度，故A错误；
B．由
可得
所以两球角速度相同，故B正确；
C．绳子上的拉力大小相等，有
可得A球的质量与B球的质量之比
故C错误；
D．由
可得
A、B两球线速度大小之比等于
故D错误。
故选B。
【考向二：万有引力作用下的匀速圆周运动】
1．（2024·宁夏中卫市·一模）（多选）如图所示，1、2轨道分别是天宫二号飞船在回程变轨前后的轨道，下列说法正确的是（ ）
A. 飞船在1轨道速度大于2轨道速度B. 飞船在1轨道的周期小于在2轨道的周期
C. 飞船从1轨道变到2轨道要减小速度D. 飞船在1轨道机械能大于2轨道机械能
【答案】CD
【解析】AB．根据
可得
飞船在轨道1的半径大于轨道2的半径，可知飞船在1轨道速度小于2轨道速度，飞船在1轨道的周期大于在2轨道的周期，选项AB错误；
C．飞船从1轨道变到2轨道要点火减速，做向心运动，选项C正确；
D．飞船在1轨道机械能大于2轨道机械能，选项D正确。
故选CD。
2．（2024·宁夏吴忠市·一模）（多选）2023年3月30日，我国在太原卫星发射中心使用“长征二号”丁运载火箭，成功将“宏图一号”01组卫星发射升空，卫星进入预定的极地轨道做匀速圆周运动。它是由“一颗主星十三颗辅星”构成的卫星组，犹如在太空中飞行的车轮。已知“宏图一号”卫星组的运行轨道距离地面的高度为，环绕周期为，地球可看作半径为的均质球体，下列说法正确的是（ ）
A. “宏图一号”卫星组的环绕速度为
B. “宏图一号”卫星组的环绕速度小于第一宇宙速度
C. “宏图一号”卫星组的向心加速度大小为
D. 地球的第一宇宙速度为
【答案】BD
【解析】A．由题可知“宏图一号”卫星组的环绕速度为
故A错误；
B．第一宇宙速度是最大的环绕速度，故“宏图一号”卫星组的环绕速度小于第一宇宙速度，故B正确；
C．“宏图一号”卫星组的向心加速度大小为
故C错误；
D．由题可知，“宏图一号”的万有引力提供向心力
解得
地球的第一宇宙速度为
故D正确。
故选BD。
3．（2024·山西省晋城市·三模）2023年11月18日，火星、太阳、地球三者之间形成一条直线，火星被太阳完全遮挡，受太阳电磁辐射影响，“祝融号”火星车“失联”一个多月。如图所示，地球与火星均绕太阳同方向公转，公转轨道为同心圆，两者的最远距离为最近距离的5倍。已知太阳到地球的距离约为太阳直径的100倍，结合天文常识可知，火星被太阳遮挡的时间约为（ ）
A. 2天B. 8天C. 15天D. 30天
【答案】A
【解析】设地球和火星的公转半径分别为、，则有
解得
设太阳的半径为r、质量为M，火星被太阳遮挡的时间为t，以地球为参考系，有
又
解得
天
故选A。
4．（2024·山西省名校联考·三模）P、Q是太阳系中的两个行星，P的半径是Q的2倍。在登陆两行星后，分别在行星表面以速度v竖直上抛小球，小球返回到抛出点的时间为t；改变抛出时的初速度，画出v与t的函数图像如图所示。将两行星视为均匀球体，忽略大气阻力和行星自转，下列判断正确的是（ ）
A. 行星P和Q表面的重力加速度之比为4：1
B. 行星P和Q的第一宇宙速度之比为4：1
C. 行星P的质量是Q质量的4倍
D. 行星P的密度与Q的密度相等
【答案】D
【解析】A．根据
则v-t图像的斜率行星P和Q表面的重力加速度之比为
选项A错误；
BD．根据
可得
，
可得行星P和Q的第一宇宙速度之比为2：1，行星P的质量是Q质量的8倍，选项BC错误；
D．行星密度
可得行星P的密度与Q的密度相等，选项D正确。
故选D。
5．（2024·山西省名校联考·一模） 2023年，神舟家族太空接力，“奋斗者”号极限深潜，真正实现了“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”！已知“奋斗者”号在马里亚纳海沟的坐底深度为，空间站离地面的高度为。假设地球质量分布均匀，半径为，不考虑其自转，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，则深度为处和高度为处的重力加速度之比为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设质量为的物体在马里亚纳海沟底处，有
又
质量为的物体在空间站上，有
解得马里亚纳海沟底处和空间站所在轨道处的重力加速度之比为
故选A。
【考向三：变轨问题】
1．（2024·青海省海南藏族自治州·二模）（多选）卫星失效后一般有“冰冻”和“火葬”两种处理方案，对于较低轨道的“死亡”卫星，备用发动机使其快速转移到更低的轨道上，最终一头扎入稠密大气层，与大气摩擦燃烧殆尽；对于较高轨道的“死亡”卫星，备用发动机可将其抬高到比地球同步轨道高300千米的“坟墓轨道”实施高轨道“冰冻”。下列说法正确的是（ ）
A. “死亡”卫星进入“坟墓轨道”后速度变小
B. 实施低轨道“火葬”时，备用发动机对卫星做正功
C. 实施高轨道“冰冻”时，备用发动机对卫星做负功
D. 卫星在“坟墓轨道”上运行的加速度小于在地球静止轨道上运行的加速度
【答案】AD
【解析】A．对于卫星有
整理有
由于进入“坟墓轨道”其轨道半径变大，所以卫星的速度变小，故A项正确；
B．实施低轨道“火葬”时，卫星需要减速进入低轨道，即备用发电机对卫星做负功，故B项错误；
C．实施高轨道“冰冻”时，卫星需要加速进入高轨道，即备用发电机对卫星做正功，故C项错误；
D．对卫星有
整理有
由于卫星在“坟墓轨道”的轨道半径大于地球静止轨道的轨道半径，所以卫星在“坟墓轨道”上运行的加速度小于在地球静止轨道上运行的加速度，故D项正确。
故选AD。
2．（2024·陕西省·二模）（多选）神舟十六号载人飞船返回过程，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示。关于神舟十六号飞船的运动，下列说法中正确的是（ ）
A. 在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度
B. 在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
C. 在轨道Ⅱ上经过A的速度大于经过B的速度
D. 在轨道Ⅱ上B点的机械能小于在轨道Ⅰ上A点的机械能
【答案】AD
【解析】AD.航天飞机在A点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ点火减速，飞船需克服外力做功，所以在轨道Ⅱ上经过A的速度小于在轨道Ⅰ上经过A的速度，并且在轨道Ⅱ上经过A的机械能小于在轨道Ⅰ上经过A的机械能，而航天飞机在轨道Ⅱ上从A到B的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，所以在轨道Ⅱ上B点的机械能等于在轨道Ⅱ上A点的机械能。即在轨道Ⅱ上B点的机械能小于在轨道Ⅰ上A点的机械能，故AD正确；
B.航天飞机在A点受万有引力一定，由牛顿第二定律可知在轨道Ⅱ上经过A点的加速度等于轨道Ⅰ上经过A的加速度，故B错误；
C.航天飞机在轨道Ⅱ上从A到B的过程中，万有引力做正功，由动能定理可知在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度，故C错误。
故选AD。
3．（2024·陕西省宝鸡市·三模）人类视月球与火星是地球的“卫士”和“兄弟”，从未停止对它们的探测。已知月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为g，轨道半径是地球半径的a倍；火星表面重力加速度是地球表面重力加速度的b倍。科研人员在火星水平表面的发射架上水平发射一小球，发射点高为h，测得发射点与落点间的水平距离是2h，不计火星表面的大气阻力，则发射小球的初速度大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设地球的半径为,地球的质量为,表面的重力加速度为，则月球绕地球的轨道半径
根据万有引力定律及牛顿第二定律可知
解得
所以火星表面的重力加速度
在火星表面将物体水平抛出，由抛体运动的规律可知
联立上述各式可得
故选A。
4．（2024·陕西省商洛市·二模）2023年11月28日，内地与澳门合作研制的首颗科学卫星“澳门科学一号”投入使用仪式在澳门举行。该卫星的投入使用将大幅提高我国空间磁场探测技术水平。下列关于该卫星的说法正确的是（ ）
A. 发射速度可以小于
B. 环绕速度可能大于
C. 若该卫星运行的轨道高度小于同步卫星运行的轨道高度，则其运行的角速度比同步卫星的角速度大
D. 若该卫星运行轨道为椭圆，则离地越远，其运行的速度越大
【答案】C
【解析】A．第一宇宙速度是7.9km/s，是卫星的最小发射速度，故A错误；
B．卫星的运行速度都小于第一宇宙速度，所以“澳门科学一号”卫星的环绕速度不可能大于11.2km/s，故B错误；
C．由
可知若该卫星运行的轨道高度小于同步卫星运行的轨道高度，则其运行的角速度比同步卫星的角速度大，故C正确；
D．根据开普勒第二定律可知，该卫星运行的轨道为椭圆，则离地越远，其运行的速度越小，故D错误。
故选C。
5．（2024·陕西省汉中市·二模）2024年1月18日1时46分，天舟七号货运飞船成功对接于空间站（离地面高度约为400km）天和核心舱后向端口。天舟七号货运飞船装载了航天员在轨驻留消耗品、推进剂、应用实（试）验装置等物资，并为神舟十七号航天员乘组送去龙年春节的“年货”。下列说法正确的是（ ）
A. 为实现成功对接，天舟七号在与空间站同一轨道上需要加速靠近天和核心舱
B. 天舟七号与空间站的组合体在轨道上运行速度大于7.9km/s
C. 天舟七号与空间站的组合体在轨道上运行周期比同步卫星的周期大
D. 天舟七号与空间站的组合体在轨道上稳定运行时，“年货”处于完全失重
【答案】D
【解析】A．为实现成功对接，需点火加速做离心运动从较低轨道进入较高的轨道，故A错误；
B．由万有引力提供向心力
得
可知空间站的轨道半径大于地球的半径，所以天舟七号与空间站的组合体在轨道上运行速度小于7.9km/s，故B错误；
C．由万有引力提供向心力
得
可知空间站的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，得空间站的周期小于地球同步卫星的周期，故C错误；
D．天舟七号与空间站的组合体在轨道上稳定运行时，因为万有引力充当做圆周运动的向心力，可知空间站内物体处于完全失重状态，故D正确。
故选D。
6．（2024·青海省协作联考·一模）2023年7月23日，银河航天灵犀03星在太原卫星发射中心成功发射，其做圆周运动的轨道高度约为，同步卫星的轨道高度为，下列说法正确的是（ ）
A. 银河航天灵犀03星运行的加速度比同步卫星的大
B. 银河航天灵犀03星运行的周期大于
C. 银河航天灵犀03星发射的速度大于
D. 银河航天灵犀03星运行的速度一定大于
【答案】A
【解析】AB．根据
银河航天灵犀03星轨道半径小于同步卫星轨道半径，所以银河航天灵犀03星运行的加速度比同步卫星的大，周期比同步卫星周期小，即小于24h，故A正确B错误；
C．银河航天灵犀03星仍然绕地球运动，所以发射速度不会大于第二宇宙速度，故C错误；
D．根据
银河航天灵犀03星轨道半径大于近地卫星轨道半径，所以银河航天灵犀03星运行的速度一定小于近地卫星线速度，故D错误。
故选A。
【考向四：双星问题】
1．（2024·宁夏银川一中·三模）（多选）被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）再次收获一项重要科研成果——发现目前所知轨道周期最短脉冲星双星系统，填补了蜘蛛类脉冲星系统演化模型缺失的一环。科学家在地球上用望远镜观测到一个亮度周期性变化的光点，这是因为其中一个天体挡住另一个天体时，光点亮度会减弱。现科学家用一航天器去撞击双星系统中的一颗小行星，撞击后，科学家观测到系统光点明暗变化的时间间隔变短。若不考虑撞击引起的小行星质量变化，且撞击后该双星系统仍能稳定运行，则被航天器撞击后（ ）
A. 该双星系统的运动周期变大B. 两颗小行星中心连线的距离增大
C. 两颗小行星的向心加速度均变大D. 两颗小行星做圆周运动的半径之比保持不变
【答案】CD
【解析】A．撞击后，科学家观测到光点明暗变化的时间间隔变短，可知双星系统的运动周期变小，故A错误；
BD．设双星之间的距离为L，双星靠相互间的万有引力提供向心力，则有
联立解得
，
则两颗小行星做圆周运动的半径之比保持不变，两个小行星中心连线的距离减小，故B错误，D正确；
C．根据万有引力提供向心力有
两个小行星中心连线的距离减小，则两颗小行星的向心加速度均变大，故C正确。
故选CD。
2．（2024·山西省晋中市·二模）宇宙双星系统是由两颗相距较近的恒星组成的系统，它们在相互引力作用下，围绕着共同的圆心运动。它们为天文学家研究恒星的演化提供了很好的素材。已知某双星之间的距离为，相互绕行周期为，引力常量为，可以估算出（ ）
A. 双星的质量之和B. 双星的质量之积
C. 双星的速率之比D. 双星的加速度之比
【答案】A
【解析】AB．由万有引力提供向心力可得
联立可得
所以
又由
可得
质量之和可以估算，质量之积无法求解，故A项正确，B项错误；
C．由线速度与角速度的关系
可得
速率之和可以估算，速率之比无法求解，C项错误；
D．由加速度与角速度的关系
可得
由于双星的半径之比未知，故双星的加速度之比无法求解，D项错误。
故选A。
考点
三年考情分析
2025考向预测
匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度
匀速圆周运动的向心力
离心现象
万有引力定律及其应用
环绕速度
第二宇宙速度和第三宇宙速度
变速圆周运动中的杆模型（2024·全国甲卷·4、2022·全国乙卷·3）
重力与万有引力的关系（2024·全国甲卷，3）
对比问题（2022·全国乙卷，1）
估算问题（2024·新课标卷，3）
同步卫星问题（2023·新课标卷，4
）
（1）考点预测：圆周运动的运动特点、受力特点，变速圆周运动中的绳模型与杆模型。重力与万有引力的关系及有中心天体的匀速圆周运动。开普勒定律的应用，变轨问题，宇宙速度以及双星、多星问题。
（2）考法预测：匀速圆周运动常与电学进行综合。要求能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。万有引力、天体运动要求体会人类对自然界的探索是不断深入的。要求关注宇宙起源和演化的研究进展。
皮带传动
皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等
齿轮传动
两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等
同轴转动
两轮固定在同一转轴上转动时，两轮转动的角速度大小相等
轻绳模型
轻杆模型
情景图示
弹力特征
弹力可能向下，也可能等于零
弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
受力示意图
力学方程
mg＋FT＝meq \f(v2,r)
mg±FN＝meq \f(v2,r)
临界特征
FT＝0，即mg＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(gr)
v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg
模型关键
(1)“绳”只能对小球施加向下的力
(2)小球通过最高点的速度至少为eq \r(gr)
(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力
(2)小球通过最高点的速度最小可以为0