甘肃省2024-2025学年高三上学期12月高考诊断数学试卷

这是一份甘肃省2024-2025学年高三上学期12月高考诊断数学试卷，共4页。试卷主要包含了未知等内容，欢迎下载使用。

一、未知
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头的方法有（ ）
A．6种B．12种C．24种D．48种
5．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
6．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．若函数在上只有一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数满足，且函数的图象与直线有个交点，则（ ）
A．0B．C．D．
9．某校高年级共有1000名学生，为了解学生的身体发育情况，随机抽取了100名学生的体重数据，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中的值为0.04
B．估计样本的众数为52.5
C．该校高年级学生中体重低于55千克的学生大约为200人
D．样本的第75百分位数约为61.25
10．设函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数有三个零点B．是的极小值点
C．函数的对称中心为D．过可以作三条直线与的图象相切
11．我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为，，动点满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线，则（ ）
A．曲线与轴的交点为和
B．曲线关于直线对称
C．的取值范围为
D．曲线与椭圆没有公共点
12．已知抛物线的焦点为，点在上，且点到轴的距离为4，则 ．
13．已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 ．
14．某校元旦联欢晚会的最后一个环节是一个抽奖游戏，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
15．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若当时，，求的取值范围．
16．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
17．如图，在四面体中，是正三角形，，，平面平面．
(1)证明：；
(2)过的平面交于点，若四面体的体积为四面体的体积的，求二面角的余弦值．
18．如图，现用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，所得截面是一个椭圆，在平面上建立如图所示的平面直角坐标系．若圆柱的底面圆的半径为2，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在平面上，椭圆与轴交于，两点且，与过点且斜率不为0的直线交于，两点．
①若的面积为，求直线的方程；
②设直线，的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值．
19．已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推．记数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“类比数”．
(1)将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前3个“类比数”；
(2)试判断50是否为“类比数”，并说明理由；
(3)①求满足的最小的“类比数”；
②证明：该数列的“类比数”有无数个．