江苏省海门中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省海门中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设，，则( )
A.B.C.D.
2．下列命题是真命题的为( )
A.若，则B.若，，则
C.若，则D.若，则
3．函数，的最小值为( )
A.-1B.2C.3D.4
4．已知是定义在R上的偶函数，当时，单调递增，则下列关系正确的是( )
A.B.
C.D.
5．函数的大致图像是( )
A.
B.
C.
D.
6．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为则下列各数中与最接近的是( )
（参考数据：）
A.B.C.D.
7．已知函数，对任意，，，则实数a的取位范围是( )
A.B.
C.或D.
8．，恒成立，则实数k的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.已知集合，则M的子集个数是8
B.函数与是同一函数
C.不等式的解集是
D.函数是奇函数，则
10．下列说法正确的是( ).
A.命题“，”的否定是：“，”
B.已知，“且”是“”的充分而不必要条件
C.“”是“”的充要条件
D.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
11．符号表示不超过x的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是( )
A.函数的定义域是R，值域为
B.方程有无数个解
C.函数是奇函数
D.函数是增函数
三、填空题
12．已知函数，则__________.
13．定义域为R的函数满足，且时，，不等式的解集为__________.
14．已知正数x，y，z满足，则的最小值为__________.（结果要化简）
四、解答题
15．设全集，已知函数的定义域为集合A，集合
(1)当时，求；
(2)若，求实数m的取值范围
16．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，.
(1)求；
(2)求函数在R上的解析式；
(3)在坐标系中画由函数的图像并解关于x的不等式.
17．已知函数，
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)证明在区间上单调递增；
(3)若对任意的，都有，求a的最小值
18．设二次函数.
(1)若函数是定义在上的偶函数，求该函数的零点；
(2)若，，求的最小值；
(3)若，且存在，使得在区间上的值域也为，求实数a的取值范围
19．对于集合M，定义函数.对于两个集合M，N，定义集合.已知集合，
(1)求与的值；
(2)用列举法写出集合；
(3)用表示有限集合M所包含元素的个数已知集合X是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由
参考答案
1．答案：C
解析：先求出集合A，得到，
则.
故选：C.
2．答案：D
解析：A.令，，满足，但，选项A错误
B.令，，，满足，
但，选项B错误
C.当时，，选项C错误
D.由可知，由不等式的性质得，选项D正确
故选：D.
3．答案：A
解析：由题意得，函数对称轴为直线，
函数在上为减函数，
∴当时，.
故选：A.
4．答案：A
解析：因为是定义在R上的偶函数，所以.
因为，，，
且，所以.
当时，单调递增，
所以，
又因为，
所以.
故选：A.
5．答案：A
解析：由题得函数的定义域为，关于原点对称
,
所以为奇函数，排除B；
当时，，排除D；
当时，，故选A.
故选：A
6．答案：D
解析：设，
两边取对数，，
所以，
即最接近，
故选D.
7．答案：A
解析：因为对任意，，
所以函数在R上单调递增，
又，
所以，
解得.
故选：A.
8．答案：D
解析：由，得，
则问题转化为对于恒成立，
又，
当且仅当，
即时等号成立，
所以，即实数k的取值范围为.
故选：D.
9．答案：AC
解析：对于A选项，根据集合子集个数的计算公式，
若一个集合中有n个元素，则它的子集个数为.
集合中有3个元素，
所以子集个数为个所以A选项正确
对于B选项，对于函数，其定义域为R；
而对于函数，其定义域为.两个函数的定义域不同，
所以不是同一函数所以B选项错误
对于C选项，解不等式，
即，所以不等式的解集是.所以C选项正确
对于D选项，函数是奇函数，当在函数定义域内时，
；若不在定义域内，则无意义所以D选项错误
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：对于A中，根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“，”的否定为
“，”所以A正确；
对于B中，由且，可得“，即充分性成立；
反正：例如：，，满足，
但且不成立，即必要性不成立，
所以且是的充分而不必要条件，所以B正确；
对于C中，由，可得且，
所以是的必要不充分条件，所以C不正确；
对于D中，根据充分条件、必要条件的关系，
可得p是q的充分不必要条件，
则q是p的必要不充分条件，所以D正确
故选：ABD.
11．答案：AB
解析：对于选项A：函数的定义域是R，
但，其值域为，故选项A正确；
对于选项B：，
可得，则，2.5，3.5都是方程的解，故选项B正确；
对于选项C：函数的定义域是R，
而，
如，
，
故函数不是奇函数，故选项C不正确；
对于选项D：由选项B可知，，，
当时，函数的值都是，
所以不是增函数，故选项D不正确，
故选：AB
12．答案：
解析：因为，
所以将代入中，
可得
因为，所以将代入中，
可得.
故答案为:.
13．答案：
解析：令，得，
令，得，
所以为定义在R上的奇函数，
因为，令，得，
任取，则，
因为当时，，
所以当时，，
即，
所以在R上单调递增，
所以不等式.
故答案为：
14．答案：4
解析：正数x，y，z满足，
设，将x，y，z用对数表示
因为，根据对数的定义可得，
同理，因为，则.
又因为，所以.
将中的x，y，z用含k的对数表达式代入并化简；
把，，代入
可得：.
进一步化简为.
因为，
所以式子变为，
即.
又因为，
所以.
由于，根据基本不等式得，
当且仅当时取等号
所以的最小值为4.
故答案为：4.
15．答案：(1)
(2).
解析：(1)因为有意义，
所以，
解得.
当时，；
所以；
所以.
(2)，
，
解得：.
16．答案：(1)0
(2)
(3)答案见解析，
解析：(1)因为函数是定义域为R的奇函数，
所以，
所以，
(2)①因为函数是定义域为R的奇函数，
所以；
②当时，，由得
综上：
(3)图像如下：
由题意，
当，得
当，，；
所以不等式的解集为.
17．答案：(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
解析：(1)函数是奇函数，
函数的定义域为，
关于数0对称，而，
所以是奇函数
(2)任取，，
，
由，得，，
则，即，
所以在区间上单调递增
(3)当时，，
当且仅当，即时取等号，
因此，而当时，，
又，由(1)知是奇函数，
因此当时，，函数的值域为，
即，
由对任意的，都有，
得，
所以a的最小值是.
18．答案：(1)
(2)
(3).
解析：(1)因为函数是定义在上的偶函数，
所以，即；
又定义域关于原点对称，
所以，
解得（舍去）；
所以，
令即为所求区间内的零点
(2)由，
则，
当时，，（当且仅当，时等号成立）；
当时，，（当且仅当，时等号成立）；
所以的最小值为.
(3)当时，在区间上单调递减；
由于，且在区间上的值域也为
，
即
两式①-②得；③
将③代入①、②得m，n是关于x的一元二次方程
在上两个不等实根
由韦达定理知，
其中，
代入化简得.
19．答案：(1)，
(2)
(3)4
解析：(1)依题意，，
所以，.
(2)由，
得，
因此属于A不属于B的元素为1，7，
属于B不属于A的元素为2，7，
所以.
(3)依题意，对于集合C，X，
①若且，则，
②若且，则，
因此要使的值最小，3，5，9一定属于集合X，
1，2，6，7是否属于集合X不影响的值，
集合X不能含有之外的元素，
所以当X为集合的子集与集合的并集时，取得最小值4.