重庆市第十一中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第十一中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线l过,两点,则直线l的斜率为( )
A.B.C.1D.
2．若平面的法向量为,方向向量为的直线l与平面垂直,则实数( )
A.4B.C.2D.
3．圆心为且过原点的圆的一般方程是( )
A.B.
C.D.
4．椭圆和一定具有( )
A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长轴长
5．如图,三棱锥中,,,点N为中点,点M满足,则( )
A.B.C.D.
6．若圆与圆有公切线,则实数a的范围是( )
A.B.
C.D.
7．设椭圆的左、右焦点分别为、,点P在椭圆E上,若离心率e满足,则椭圆E的离心率e的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知,且,则代数式的最小值为( )
A.B.18C.12D.8
二、多项选择题
9．已知直线,直线,则下列说法正确的是( )
A.若,则或
B.若,则
C.直线过定点
D.若直线与坐标轴围成的三角形的面积为,则
10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如:四叶草曲线就是其中一种,其方程为,则下列说法正确的是( )
A.四叶草曲线有四条对称轴
B.设P为四叶草曲线上一点,且在第一象限内,过P作两坐标轴的垂线,则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为
C.四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D.四叶草曲线的面积小于
11．已知正方体棱长为1,动点M满足,则( )
A.当,时,则三棱锥的体积为
B.当,时,直线平面
C.当,时,直线平面
D.当且时,点M的轨迹长度为
三、填空题
12．已知直线:与直线,则这两直线之间的距离为________.
13．在四棱锥中,底面是正方形,侧面底面,且是正三角形,E是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是________.
14．已知P,Q为椭圆上的动点,直线与圆相切,切点A恰为线段的中点,则点A的横坐标为________.
四、解答题
15．已知的顶点坐标分别为,,.
（1）求边的垂直平分线l的方程;
（2）求三角形的外接圆方程.
16．在直三棱柱中,为等腰直角三角形,,,,点M在侧棱上,且满足.
（1）求证:;
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
17．已知椭圆的长轴长为,且点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程;
（2）设直线与椭圆E相交于不同的两点P和Q,当时,求实数k的值.
18．如图1所示的图形中,四边形为菱形,,和均为直角三角形,,,现沿和将和进行翻折,使（,在平面同侧）,如图2（或图3）
（1）证明:平面;
（2）如图2,若平面,求点Q到平面距离;
（3）如图3,若二面角为时,判断平面与平面是否垂直?
19．已如椭圆的焦点在x轴,离心率,点P在直线上.
（1）求实数b的值;
（2）设F是椭圆E的右焦点,若Q是椭圆E上一点,且满足,设直线和直线（O为坐标原点）的斜率分别为,,证明:;
（3）若点P的纵坐标为,过E作直线l交椭圆E于不同的两点M和N,在线段上取点H（异于M,N两点）满是,证明:点H在定直线上.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可知,斜率,
故选:C.
2．答案：D
解析：由直线l与平面垂直,故直线l方向向量与平面的法向量平行,
设,即,解得.
故选:D.
3．答案：B
解析：由题意知,在圆上,圆心为,
所以圆的半径,
所以圆的标准方程为,
则一般方程为:,
故选:B.
4．答案：A
解析：由题意知,不妨设,则椭圆的离心率为,
焦点坐标为,顶点坐标为,,长轴长为2a,
可化简为,
所以离心率为,
焦点坐标为,顶点坐标为,,长轴长为,
因此两椭圆的离心率相同.
故选:A.
5．答案：B
解析：连接,所以,
因为,所以,
所以,
故选:B.
6．答案：B
解析：由题意知圆的圆心为,半径,圆的圆心为,半径,
假设圆与圆没有公切线,
此时两圆内含,所以圆心距,即,解得,
所以当圆与圆有公切线时,实数a的范围是,
故选:B.
7．答案：D
解析：由椭圆定义可得,又,
故,
由于,所以,
故且,解得.
故选:D
8．答案：D
解析：设与为圆上一点,
则,得,
,即为等腰直角三角形,
设为的中点,则,
得,即点在以为圆心,为半径的圆上,
故,
所以点到定点的距离的最小值为,
因此的最小值为.
故选:D
9．答案：BC
解析：对于A,时,,即,,则两直线重合,故A错误;
对于B,若,则,解得,故B正确;
对于C,当时,,解得,与a的值无关,因此可得直线过定点,故C正确;
对于D,对于,令,得,令,得,
若直线与坐标轴围成的三角形的面积为,则,解得,故D错误.
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：对于A,将x换为方程不变,所以曲线关于y轴对称;
将y换为方程不变,所以曲线关于x轴对称;
将x换为y,y换为x方程不变,所以曲线关于对称;
将x换为,换为方程不变,所以曲线关于对称.故A正确;
对于B,设曲线C第一象限任意一点为,则围成矩形面积为,
则,
即,当且仅当时取得最大值,故B正确;
对于C,设距离为d,,要求的最大值,即求的最大值,
显然,,又,
当且仅当时,等号成立,
所以曲线C上的点到原点距离最大值为,故C错误;
对于D,由C可知,得四叶草曲线在以原点为圆心,为半径的圆内,
故四叶草面积小于,故D正确.
故选:ABD
11．答案：ACD
解析：对于A,当,时,,则M为的中点,
则三棱锥的体积为,故A正确;
对于B,以为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
则,,,
当时,,此时点M为的中点,
又,则,
故与不垂直,故直线与平面不垂直,B错误;
对于C,当,时,,
设平面的法向量为,
又,,
则,解得,令,则,即,
由,且平面,
则直线平面,故C正确;
对于D,当时,,
故,即,故M点在平面上,
连接,交平面于点J,
由,,,
则,,
故,且,
又,,平面,
所以⊥平面,
又,
又,故,
故点M的轨迹为以J为圆心,为半径的圆,
故轨迹长度为,D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：直线与直线,
其中,所以,
所以两直线之间的距离为,
故答案为:.
13．答案：/0.25
解析：取中点,连接,取中点,连接,
因为四边形是正方形,所以,
因为是正三角形,所以,
因为平面平面,平面,所以平面,
因为平面,平面,
所以,,
因此以点O为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方形的边长为2,
,,,,
因为E是的中点,所以,
所以,,
设异面直线与所成角为,
所以,
故答案为:.
14．答案：1或3
解析：设,,,
当直线PQ的斜率存在时,设直线,则,,
则,两式作差得,
所以,
所以,又因为,
所以,
因为点A为直线与圆的切点,
所以,所以,
即点A的横坐标为,不合题意;
当直线PQ的斜率不存在时,易得点A的横坐标为1或3.
故答案为:1或3.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,
所以,的中点坐标为,
又,所以,
所以直线l的方程为,即;
（2）设三角形的外接圆方程为,
依题意可得,解得,
所以三角形的外接圆方程为,即.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题意得,以A为坐标原点,以,,所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,设,则,,,,
,,
由,
所以;
（2）由题得,,,
设平面的一个法向量为,
则,即,取,
设直线与平面所成的角为,则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得:,所以,
点在椭圆上,所以,解得,
所以椭圆E的方程为:.
（2）直线的方程为:
联立,消去y后,得关于x的一元二次方程,
化简得,
由题意知,解得或,
由韦达定理可得,,
所以,
所以,化简得,解得,即,
经检验符合题意.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）不垂直
解析：（1）由题,平面,平面,所以平面,
四边形为菱形,所以,又平面,平面,
所以平面,,、平面,
所以平面平面,又平面,所以平面.
（2）由题:平面,四边形为菱形,,
取中点,连接,可得,以为坐标原点,
以、、所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
故,,,
设平面的一个法向量,
则,
可取法向量为,
所以点Q到平面距离.
（3）由四边形为菱形,,和均为直角三角形,
,所以,
取中点E,连接,可得,
所以二面角的平面角为,,
以D为坐标原点,以、所在直线分别为x轴,y轴,垂直于底面的z轴建立空间直角坐标,
则,,,,
故,,,,
设平面的法向量,
则,可取法向量,
设平面的法向量,
则,可取法向量,
因为,所以,不垂直,
所以平面与平面不垂直.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）设椭圆E的半焦距为c,
由题意可得,解得,
故实数b的值为1.
（2）设,,,
已知,所以
由在椭圆E上有:
所以.
（3）设,,,
由题意知,
令,则有,
所以,,
则有,即,
①③得:⑤
②④得:⑥,
⑤⑥:
又,在椭圆E上,
则有,,
所以的轨迹方程为:,
即点H在定直线上.