人教版数学八下专题21.3 期末专项复习之平行四边形二十二大必考点（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc7371" 【考点1 格点中利用无刻度直尺作平行四边形】 PAGEREF _Tc7371 \h 1
\l "_Tc5579" 【考点2 利用平行四边形的判定与性质求面积】 PAGEREF _Tc5579 \h 3
\l "_Tc11294" 【考点3 利用平行四边形的判定与性质求长度】 PAGEREF _Tc11294 \h 4
\l "_Tc864" 【考点4 利用平行四边形的判定与性质求角度】 PAGEREF _Tc864 \h 5
\l "_Tc5209" 【考点5 利用平行四边形的判定与性质求最值】 PAGEREF _Tc5209 \h 6
\l "_Tc11486" 【考点6 利用动点判断平行四边形】 PAGEREF _Tc11486 \h 7
\l "_Tc4592" 【考点7 平行四边形的判定与性质的实际应用】 PAGEREF _Tc4592 \h 9
\l "_Tc25606" 【考点8 根据矩形的判定与性质求线段长】 PAGEREF _Tc25606 \h 10
\l "_Tc594" 【考点9 根据矩形的判定与性质求角度】 PAGEREF _Tc594 \h 11
\l "_Tc24693" 【考点10 根据矩形的判定与性质求面积】 PAGEREF _Tc24693 \h 12
\l "_Tc30441" 【考点11 矩形与折叠问题】 PAGEREF _Tc30441 \h 14
\l "_Tc19749" 【考点12 根据菱形的判定与性质求线段长】 PAGEREF _Tc19749 \h 15
\l "_Tc14616" 【考点13 根据菱形的判定与性质求角度】 PAGEREF _Tc14616 \h 16
\l "_Tc14073" 【考点14 根据菱形的判定与性质求面积】 PAGEREF _Tc14073 \h 18
\l "_Tc3868" 【考点15 根据正方形的判定与性质求线段长】 PAGEREF _Tc3868 \h 20
\l "_Tc3220" 【考点16 根据正方形的判定与性质求角度】 PAGEREF _Tc3220 \h 21
\l "_Tc20729" 【考点17 根据正方形的判定与性质求面积】 PAGEREF _Tc20729 \h 23
\l "_Tc8721" 【考点18 中点四边形】 PAGEREF _Tc8721 \h 24
\l "_Tc5601" 【考点19 特殊四边形的证明】 PAGEREF _Tc5601 \h 26
\l "_Tc32600" 【考点20 特殊四边形的动点问题】 PAGEREF _Tc32600 \h 28
\l "_Tc17841" 【考点21 特殊四边形的最值问题】 PAGEREF _Tc17841 \h 29
\l "_Tc13849" 【考点22 特殊四边形的存在性问题】 PAGEREF _Tc13849 \h 31
【考点1 格点中利用无刻度直尺作平行四边形】
【例1】（2022春·吉林长春·八年级校考期末）如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形．
(1)在图甲中画出以点A为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上．
(2)在图乙中画出线段AB的中点O．
要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．
【变式1-1】（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图，每个小正方形的边长都是1，、、、均在网格的格点上．
(1)是直角吗？请证明你的判断．
(2)找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．
【变式1-2】（2022春·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点和点都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．
(1)图1中，以为边作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
(2)图2中，以为对角线作一平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10．
【考点2 利用平行四边形的判定与性质求面积】
【例2】（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）．
A．24B．17C．18D．10
【变式2-1】（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，中，，，．作出共于点A成中心对称的，其中点B对应点为，点C对应点为，则四边形的面积是（ ）
A．128B．C．64D．
【变式2-2】（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边和放在最大的等边内（如图），与交于点，连结，．欲求的面积，只需要知道下列哪个三角形的面积即可（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则__．
【考点3 利用平行四边形的判定与性质求长度】
【例3】（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，在中，，连接，作交延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，且，则的长是（ ）
A．2B．1C．3D．
【变式3-1】（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是______，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为_____．
【变式3-2】（2022·广东佛山·石门中学校考一模）如图，在中，D，E分别为，上的点，将沿折叠，得到，连接，，，若，，，则的长为 _____．
【变式3-3】（2022春·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，点为延长线上一点，连接AC、AE，AE交于点H，的平分线交于点．若，点为的中点，，则的长为（ ）
A．9B．C．10D．
【考点4 利用平行四边形的判定与性质求角度】
【例4】（2022春·湖北武汉·八年级校考期末）如图，，点D为上一动点，于D，，点E在线段上，，连接．当最小时，的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，在的边的同侧分别作等边，等边和等边，，求的度数．
【变式4-2】（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．

(1)求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
(2)过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
【变式4-3】（2022春·甘肃定西·八年级统考期末）如图，在四边形中，是对角线的中点，点是边上一点，连接并延长交边于点、交延长线于点．，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，求的度数．
【考点5 利用平行四边形的判定与性质求最值】
【例5】（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为______．
【变式5-1】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连结、，则的最小值为（ ）
A．22B．24C．25D．26
【变式5-2】（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式5-3】（2022秋·全国·八年级期末）在平面直角坐标系中，已知四边形各顶点坐标分别是：，且，那么四边形周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【考点6 利用动点判断平行四边形】
【例6】（2022春·山西晋城·八年级统考期末）综合与探究：直线与轴和轴分别交于点A、B，直线与交于点C，与轴交于点，过点C作轴于点E，点E的横坐标为3．
(1)求直线的解析式；
(2)点P是轴上一动点，过点作轴垂线分别与直线、交于点M、N，求线段的长（用表示）；
(3)在（2）的条件下，为何值时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形．
【变式6-1】（2022春·八年级课时练习）如图在平面直角坐标系中，，，轴且，点从点出发，以1个单位长度的速度向点运动；点从点同时出发，以2个单位长度的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为秒．
(1)当四边形是平行四边形时，求的值；
(2)当时，求的值；
(3)当恰好垂直平分时，求的值．
【变式6-2】（2022秋·山东威海·八年级统考期末）如图，四边形中，，，，E是的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
【变式6-3】（2022春·湖南长沙·八年级长沙市第二十一中学校考期末）如图，在梯形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．
(1)_________，__________用含的式子表示
(2)当运动时间为多少秒时，；
(3)当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．
【考点7 平行四边形的判定与性质的实际应用】
【例7】（2022春·八年级课时练习）如图，一块草地的中间有一条弯路，，．请给出一种方案，把道路改直，且草地的种植面积保持不变．
【变式7-1】（2022春·江苏泰州·八年级靖江市靖城中学校期中）村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？
【变式7-2】（2022秋·浙江温州·八年级乐清外国语学校校考期末）某风力发电设备如图1所示，其示意图如图2，已知三个叶片均匀地分布在支点O上，垂直地面．当光线与地面的夹角为，叶片与光线平行时，测得叶片影子的长为12米，则叶片的长为______米；当转动过程中叶片OB垂直光线（这片刻时间忽略不计，光线与地面的夹角还是60°），则叶片影子的长度是_______米．
【变式7-3】（2022春·江苏·八年级期末）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形．
(1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面）
(2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______．
【考点8 根据矩形的判定与性质求线段长】
【例8】（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，，E，F是对角线AC上两点，，过点E，F分别作AC的垂线，与边BC分别交于点G，H．若，则（ ）
A．B．C．D．4
【变式8-1】（2022春·广东珠海·八年级统考期末）四边形中，，与之间的距离为4，，则边的长为______．
【变式8-2】（2022春·广西防城港·八年级统考期末）如图，已知平行四边形ABCD，延长AB到E，使，连接BD，ED，EC，若．
(1)求证：；
(2)求证：四边形BECD是矩形；
(3)连接AC，若，，求AC的长．
【变式8-3】（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）如图1，已知ADBC，ABCD，∠B＝∠C．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．
【考点9 根据矩形的判定与性质求角度】
【例9】（2022春·河南安阳·八年级统考期末）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且．
(1)求证：四边形ABCD是矩形．
(2)若，求的度数．
【变式9-1】（2022春·陕西延安·八年级延安市实验中学校考期中）如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，∠OAD=30°，求∠OAB的度数．
【变式9-2】（2022春·江苏泰州·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．
(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．
(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．
【变式9-3】（2022春·山东聊城·八年级统考期中） 在矩形ABCD中， AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠EAO=15°，求∠BEO的度数．
【考点10 根据矩形的判定与性质求面积】
【例10】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，点，分别为、的中点，延长点，，连接，若，且，，求四边形的面积．
【变式10-1】（2022春·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，点M，N分别为、的中点，延长至点E，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，且，，求四边形的面积．
【变式10-2】（2022春·贵州遵义·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．
(1)求证：CP＝AQ；
(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．
【变式10-3】（2022春·云南玉溪·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC上一点，∠DAE的角平分线AF交CD于点G，交BC的延长线于点F，连接EG，△AGE的面积为S．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若EG⊥AF，试探究线段AE，EC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠AEG＝∠AGD，AB＝12，AD＝9，求S的值．
【考点11 矩形与折叠问题】
【例11】（2022秋·广东肇庆·八年级广东肇庆中学校考期末）已知：如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点E处，已知，，则的长是（ ）
A．B．2C．D．
【变式11-1】（2022秋·贵州遵义·九年级统考期末）如图，已知矩形，，，矩形是由矩形绕点顺时针旋转得到的，点为边上一点，现将四边形沿折叠得到四边形，当点恰好落在上时，的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】（2022秋·九年级课时练习）如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么______度．
【变式11-3】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）如图，长方形ABCD中，，，点P是射线AD上一点，将沿BP折叠得到，点恰好落在BC的垂直平分线l上，线段AP的长为______.
【考点12 根据菱形的判定与性质求线段长】
【例12】（2022春·江西赣州·八年级统考期末）已知四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点E，F分别是边AD，AB的中点，P为菱形边上的一点，且△PEF为直角三角形，那么BP 的长度为______．
【变式12-1】（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，，，若，则四边形的周长为（ ）
A．12B．18C．24D．30
【变式12-2】（2022秋·河北保定·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形．
（2）设AE与BF相交于点O，四边形ABEF的周长为16，BF＝4，求AE的长和∠C的度数．
【变式12-3】（2022秋·福建三明·八年级统考期末）已知，在长方形纸片中，，．将纸片沿对角线翻折，点C落在点E处，交于点F．
(1)如图1，连结．
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，将沿翻折回去，则点F正好落在边G处，连结，求的长．
【考点13 根据菱形的判定与性质求角度】
【例13】（2022春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．
(1)求证：四边形EBFD为菱形；
(2)若，，求∠ABE的度数．
【变式13-1】（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）问题情境：
在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究．
如图1，将边长为4，度的菱形纸片ABCD沿着对角线BD剪开，得到和．将绕着点D逆时针旋转．
初步探究：
（1）“爱心小组”将绕点D逆时针旋转，当时，的度数为________；
再次探究：
（2）“勤奋小组”将绕点D逆时针旋转至图2，连接AC，，此时四边形是矩形，求的度数；
深入探究：
（3）“创新小组”将绕点D逆时针旋转至图3，此时点B，D，恰好在一条直线上，延长BA，交于点E，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
【变式13-2】（2022春·河北邯郸·八年级校联考期末）已知，四边形是菱形，延长到点，使，连接、相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）过作于点．
①已知，，求的长；
②点是对角线上一点，，若是锐角三角形，求的取值范围．
【变式13-3】（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于点O．
(1)求边AB的长；
(2)求∠BAC的度数；
(3)如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．
【考点14 根据菱形的判定与性质求面积】
【例14】（2022春·江苏南通·八年级统考期末）在中，．点D是边AB上的一点，连接CD．作，，连接ED．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当D是边AB的中点时，若，，求四边形ADCE的面积．
【变式14-1】（2022春·浙江·八年级期末）如图，在中，，E，F分别为，的中点，作于点G，的延长线交的延长线于点H．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，
①求的长．
②如图2，交于点P，记的面积为，的面积为，则的值为________．
【变式14-2】（2022春·四川成都·八年级统考期末）菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是对角线，点E、F分别是边AB、AD上两个点，且满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．
（1）如图1，求∠BGD的度数；
（2）如图2，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝GB+DG；
（3）在满足（2）的条件下，且点H在菱形内部，若GB＝6，CH＝4，求菱形ABCD的面积．
【变式14-3】（2022春·山东德州·八年级统考期末）【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE=DG．
【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A=∠F．求证：BE=DG．
【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE=3ED，∠A=∠F，△EBC的面积为8，菱形CEFG的面积是_______．（只填结果）
【考点15 根据正方形的判定与性质求线段长】
【例15】（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若，则CG的长是_____．
【变式15-1】（2022春·天津南开·八年级统考期末）如图，已知正方形的边长为8，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为________．
【变式15-2】（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）已知正方形的边长为2，以为一边向外作等腰直角三角形，则点E到点B的距离为___________．
【变式15-3】（2022春·河南新乡·八年级统考期末）如图1，在中，，，的外角平分线交于点C，过点C分别作直线AB，AD的垂线，B，D为垂足．
(1)【问题发现】______°（直接写出结果，不写解答过程）．
(2)【问题探究】①求证：四边形ABCD是正方形．
②若，求BE的长．
(3)【问题拓展】如图2，在中，，高，，则HQ的长度是______（直接写出结果，不写解答过程）．
【考点16 根据正方形的判定与性质求角度】
【例16】（2022秋·重庆·九年级统考期末）如图，在正方形中，点M是上一点，点E是的中点，绕点E顺时针旋转得到，连接，．则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式16-1】（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式16-2】（2022春·全国·八年级期末）如图所示，正方形的边长为，点为对角线上一动点，点在射线上．

（1）填空：________度；
（2）若点为的中点，连接、，求的最小值；
（3）若点是直线与射线的交点，当为等腰三角形时，求的度数．
【变式16-3】（2022春·北京海淀·八年级统考期末）如图，四边形是正方形，是垂直平分线上的点，点关于的对称点是，直线与直线交于点．
(1)若点是边的中点，连接，则＝___；
(2)小明从老师那里了解到，只要点不在正方形的中心，则直线与所夹锐角不变．他尝试改变点的位置，计算相应角度，验证老师的说法．
①如图，将点选在正方形内，且为等边三角形，求出直线与所夹锐角的度数；
②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法．
我选择___小明的想法；（填“用”或“不用”）并简述求直线与所夹锐角度数的思路．
【考点17 根据正方形的判定与性质求面积】
【例17】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在中，，，的角平分线交于点，于点，于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求四边形的面积．
【变式17-1】（2022秋·江西南昌·九年级期中）如图，E、F在正方形的边上，．
（1）是由旋转而来，旋转中心是什么？旋转角是多少度？
（2）求证：；
（3）若，求正方形的面积．
【变式17-2】（2022·山东淄博·九年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形AnBnCnDn的面积为____．
【变式17-3】（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S正方形ABCD＝8+．则正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点18 中点四边形】
【例18】（2022春·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC＝6，BD＝10．依次取A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3……以此类推取An﹣1Bn﹣1，Bn﹣1Cn﹣1，Cn﹣1Dn﹣1，Dn﹣1An﹣1的中点An，Bn，Cn，Dn，若四边形AnBnCnDn的面积为，则n的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式18-1】（2022春·北京西城·八年级校考期中）四边形的对角线，交于点，点，，，分别为边，，，的中点．有下列四个推断：
①对于任意四边形，四边形都是平行四边形；
②若四边形是平行四边形，则与交于点；
③若四边形是矩形，则四边形也是矩形；
④若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形．
所有正确推断的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
【变式18-2】（2022春·福建福州·八年级福州华伦中学校考期中）已知：在矩形ABCD中，，．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；
（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，．
①连接BG，若，求AF的长；
②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．
【变式18-3】（2022春·浙江·八年级期中）在四边形中，的中点分别为P、Q、M、M；
（1）如图1，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）若在上取一点E，连结，，恰好和都是等边三角形（如图2）：
①判断此时四边形的形状，并证明你的结论；
②当，，求此时四边形的周长（结果保留根号）．
【考点19 特殊四边形的证明】
【例19】（2022春·辽宁盘锦·八年级统考期中）如图，四边形是正方形，点E、F分别在边上，点G在边的延长线上，且．
(1)求证：① ；②；
(2)尺规作图：以线段为边作出正方形（保留作图痕迹不写作法和证明）；
(3)连接（2）中的，猜想四边形的形状，并证明你的猜想；
(4)当时，求出的值．
【变式19-1】（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，这是一张三角形纸片，小红想用这张纸片剪出一个菱形图案，贴在她制作的手抄报，使为菱形的一个内角．
(1)请在图中画出一个符合要求的菱形，并简要说明画图步骤．
(2)根据你的画图步骤，证明你所画的图形是一个菱形．
【变式19-2】（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期中）已知正方形，E是射线上一动点，连接，点F在直线上，且，将绕点E顺时针旋转得到，过点C作的平行线，交射线于点H，连接．
(1)如图1，当点E在中点时，重合，请判断四边形的形状并证明你的结论；
(2)如图2，当点E在延长线上时，补全图形并回答下列问题：
①四边形的形状是否发生改变，请说明理由；
②连接，交于点M，若， ，请直接写出的长．
【变式19-3】（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（a，m），B（b，0），C（c，0），D（d，n），且BD平分∠ABC，且a，b，c，d，m，n满足关系式|m﹣n|＝0．
(1)判断四边形ABCD的形状并证明你的结论．
(2)在图1中，若∠ABC＝60°，BD交y轴于点F，点P为线段FD上一点，连接PA，且点E与点B关于y轴对称，连接PE，若PE＝PA，
①试求∠APE的度数；
②试求的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，若PE与CD交于点M，且∠CME＝45°，请直接写出的值 ．
【考点20 特殊四边形的动点问题】
【例20】（2022春·浙江台州·八年级校联考期中）已知在平面直角坐标系中，四边形ACBO是矩形，A（a，0）、B（0，b）满足，P是对角线AB上一动点，D是轴正半轴上一点，且PO =PD，DE⊥AB于E．
(1)求a、b的值．
(2)当P点运动时，PE的值是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值．
(3)若∠OPD =45°，求点D的坐标．
【变式20-1】（2022春·湖北十堰·八年级统考期中）已知正方形，为射线上一动点（与点，不重合），以线段为一边作正方形，连接．
(1)当点在线段上时（如图1），线段与有怎样的关系？请直接写出结果______；
(2)如图2，当点在线段的延长线上时（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
(3)若正方形的边长为5，，求的长．
【变式20-2】（2022春·江西赣州·八年级统考期中）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．
(1)如图1，连接AF、CE，求AF的长；
(2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．
①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度，若不可能，请说明理由；
②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【变式20-3】（2022春·辽宁沈阳·八年级东北育才学校校考期中）按要求回答下列问题
发现问题
如图（1），在正方形中，点，分别是，边上的动点，且，易证：．（不必证明）
(1)类比延伸
①如图（2），在正方形中，如果点，分别是边，延长线上的动点，且则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程；
②如图（3），如果点，分别是边，延长线上的动点，且则，，之间的数量关系是________．（不要求证明）
(2)拓展应用：如图（1），若正方形的边长为6，，求的长．
【考点21 特殊四边形的最值问题】
【例21】（2022秋·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．
(1)当点P是的中点时，求证：；
(2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F．
①证明，并求出在（1）条件下的值；
②连接，直接写出周长的最小值．
【变式21-1】（2022春·湖南湘潭·八年级统考期末）如图，长方形，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点，
(1)点的坐标；
(2)求折痕所在直线的表达式；
(3)求折痕上是否存在一点，使最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由．
【变式21-2】（2022春·辽宁沈阳·八年级期末）在正方形中，是对角线，直线上有一点（不与、重合），连接，过点作，交直线于点
(1)如图，当点在线段上时，求证：；
(2)当，且时，直接写出线段的长；
(3)设，，当S取最小值时，直接写出的值．
【变式21-3】（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）在中，，．
(1)如图①，将沿直线BE折叠，使点A的对应点F落在BC边上，求证：四边形ABFE是菱形．
(2)如图②，若是矩形，
①按（1）中操作进行，求证：四边形ABFE是正方形．
②在矩形ABCD中折叠出一个菱形，并使菱形的各个顶点都在矩形的边上，则菱形面积的最大值为______，最小值为______．
【考点22 特殊四边形的存在性问题】
【例22】（2022春·湖北恩施·八年级统考期末）如图，矩形纸片ABCD置于坐标系中，ABx轴，BCy轴，AB＝4，BC＝3，点A（﹣3，4），翻折矩形纸片使点D落在对角线AC上的H处，AG是折痕．
(1)求DG的长；
(2)在x轴上是否存在点N，使BN+DN的值最小，若存在，求出这个最小值及点N的坐标；若不存在．请说明理由；
(3)点P从点A出发，沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C时停止运动，是否存在一点P，使△PBM是等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式22-1】（2022春·重庆大足·八年级统考期末）已知：在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线经过点A，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)如图1，点P为直线一个动点，若的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将沿着x轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点D，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
【变式22-2】（2022春·湖北孝感·七年级统考期末）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示， 轴，与y轴交于点E，，且的长满足．
(1)求点A的坐标；
(2)若，
①求面积；
②正方形的边上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式22-3】（2022春·山东济南·八年级统考期末）已知四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BE、DG．直线BE与DG交于点H．
(1)如图1，当点E在AD上时，线段BE与DG的数量关系是 ，∠BHD的度数为 ；
(2)如图2，将正方形AEFG绕点A旋转任意角度．
①请你判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
②当点H在直线AD左侧时，连接AH，则存在实数m、n满足等式：m·AH＋DH＝n·BH，猜想m、n的值，并予以证明；
(3)若AB＝，AE＝1，则正方形AEFG绕点A旋转的过程中，点F、H是否能重合？若能，请直接写出此时线段BG的长；若不能，请说明理由．