初中数学人教版（2024）九年级下册第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质优秀一课一练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级下册第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质优秀一课一练，文件包含人教版数学九下同步分层练习2613反比例函数的图象和性质的的应用原卷版doc、人教版数学九下同步分层练习2613反比例函数的图象和性质的的应用解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
一、单选题：
1．已知一次函数与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是( )
A．B．C．或D．
【答案】C
【分析】构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式进行求解．
【详解】解：由，消去得到：，
一次函数与反比例函数的图象有2个公共点，
△，
即，
或，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
2．如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过A(-1，2)，B(2，-1)，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数且的图象上方时，的取值范围是：或，
不等式的解集是或，
故选C．
【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
3．如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O，各边分别与坐标轴平行，其中一边交x轴于点C，交反比例函数图象于点P．当点P是的中点时，求得图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形的面积是8，设，则，根据，可得，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．
【详解】解：如下图所示，设矩形与y轴交于点D，
∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，
∴矩形的面积是8，
设，则，
∵点P是AC的中点，
∴，
设反比例函数的解析式为，
∵反比例函数图象于点P，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数的几何意义，得出矩形的面积是8是解题的关键．
4．如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝解答即可．
【详解】解：根据双曲线的解析式可得
所以可得
设OP与双曲线的交点为，过作x轴的垂线，垂足为M
因此
而图象可得
所以
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
5．同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由于本题不确定的符号，故可以直接由的正负性进行分类，分析确定一次函数与反比例函数的图象经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案．
【详解】当 时，一次函数经过一､三､四象限，反比例函数经过一､三象限，如图①所示；
当 时，一次函数 经过一､二､四象限，反比例函数经过二､四象限，如图②所示．
故选：C
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键．
6．如图，已知A、B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C．过点P作轴于Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别判断当点P在线段OA上运动时，当点P在AB上运动时，点P在BC上运动时的图像变化趋势，即可作出选择．
【详解】解：当点P在线段OA上运动时，设直线OA的表达式为y＝ax，点P的坐标满足y＝ax，则S＝（a是大于0的常数，x＞0），图象为抛物线的一部分；
当点P在AB上运动时，此时△OPQ的面积S＝k（k＞0），保持不变；
点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为b，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣bt），因为l，OC，b均是常数，所以S与t成一次函数关系．
综上所述，S关于t的函数图象大致为A选项，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的种类，从而确定其图象．
二、填空题：
7．正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则代数式的值是_________．
【答案】-2
【分析】联立方程组，用含k的式子表示，再代入求解即可．
【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
∴
解得：或，
∴，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题和解二元一次方程组，联立方程组求解是解题的关键．
8．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为_____．
【答案】8
【分析】连接OA，OB，利用同底等高的两三角形面积相等得到三角形AOB面积等于三角形ACB面积，再利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOP面积与三角形BOP面积，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接OA，OB，
∵△AOB与△ACB同底等高，
∴，
∵轴，
∴AB⊥y轴，
∵A、B分别在反比例函数y=-和y=的图象上，
∴，，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了三角形的面积．
9．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形的面积是8，则k的值为________________．
【答案】12
【分析】先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．
【详解】解：∵双曲线y在第一象限，
∴k＞0，
延长线段BA，交y轴于点E，
∵AB∥x轴，
∴AE⊥y轴，
∴四边形AEOD是矩形，
∵点A在双曲线上，
∴S矩形AEOD=4，
同理S矩形OCBE=k，
∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8，
∴k=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10．如图，点在反比例函数第二象限内的图象上，点在轴的负半轴上，若，则的面积为______．
【答案】4
【分析】设点的坐标为，过点作轴，垂足为，得到，，根据得到，根据三角形的面积公式得，再根据点在反比例函数的图象上得到，从而得到答案．
【详解】解：设点的坐标为，过点作轴，垂足为，
由题意得，，
∵，，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等，熟悉掌握反比例函数的性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式是本题的解题关键．
11．在反比例函数中，已知四边形与四边形BOFE都是正方形，则点C的坐标为_________．
【答案】
【分析】设，则点，点，由反比例函数图像上点的坐标特征即可得出关于的二元二次方程组，解之取均为正值的解即可．
【详解】解：设，则点，点，
∵反比例函数的图像过点，
∴，
解得：或（舍去）
或（舍去）或（舍去）
∴，，
故点C的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及解二元二次方程组，根据反比例函数图像上点的坐标特征找出关于的二元二次方程组是解题的关键．
12．如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为______．
【答案】
【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于E，根据S△AOE=S△AOC=S△AOD，再根据反比例函数k的几何意义得出k值即可．
【详解】解：连接AC，过点A作AE⊥OC于E，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S△AOE=S△AOC，
∵OA∥BC，
∴S△OAD=S△OAC=，
∴S△AOE=S△AOC==，
∴k=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与菱形性质的综合应用，运用平行线的性质和反比例函数k的几何意义是解决本题的关键．
13．矩形中，点的坐标是，动点从点出发，沿着方向向点运动，动点从点出发，沿着方向向点运动，、两点同时运动且速度相同，连接与相交于点，有一双曲线（）经过点，则______．
【答案】2
【分析】证得四边形OPBQ是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OD=BD，即可求得D的坐标，代入（k≠0）即可求得k的值．
【详解】解：连接OQ、PB，
由题意可知OP=BQ，
∵OABC，
∴四边形OPBQ是平行四边形，
∴OD=BD，
∵点B的坐标是（4，2），
∴D（2，1），
∵双曲线（k≠0）经过点D，
∴k=2×1=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行四边形的判断和性质，求得D的坐标是解题的关键．
14．如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图像经过点B和CD边中点E，则k的值为______．
【答案】-9
【分析】设B(m，3)，把E点的坐标用含m的代数式表示出来．把B、E两点的坐标都代入y=中，先求出m的值，则可求出k的值．
【详解】设B(m，3)，则C((m-3，3)，
∵E点是CD的中点，
∴(m-3， ).
∵B、E都在y=的图像上，
∴，
解得m=-3，
∴B(-3，3)，
∴k=-3×3=-9，
故答案为-9．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的表达式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
三、解答题：
15．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式：
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围：
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)8
【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）根据图象可得结论；
（3）求出点的坐标，根据即可求解．
【详解】（1），在的图象上，
，
反比例函数的解析式是．
．
，在函数的图象上，
，
解得：．
则一次函数的解析式是．
所以一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是；
（2）由图象得：当或时，；
（3）直线与轴相交于点，
的坐标是．
．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题关键．
16．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接OA，OB．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)已知x轴负半轴上有一点M，能使，求M的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)M的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法解题，把代入反比例函数中，解得m的值，进而求出点B的坐标，再把，代入即可求解；
（2）设一次函数的图象与x轴交于点C，求出点C的坐标，利用求出，进而求出，设M的坐标为，可得，利用列出等式，即可求解．
（1）
解：把代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得
解得，
∴，
把，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为．
（2）
解：设一次函数的图象与x轴交于点C，
令，得，
解得，即点C的坐标为，
∴，
∴，
∴，
设M的坐标为，
则，
∴，
解得，
∴ M的坐标为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、三角形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系内三角形面积的计算方法．
17．如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点．
(1)求k的值；
(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据待定系数法确定一次函数关系式，从而求出点B的坐标为（1，8），再利用待定系数法确定k的值即可；
（2）设点C的坐标为，由于轴，得到点D的坐标，表示出，根据二次函数性质即可得出的面积的最大值．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
∴当时，，
∴，
把代入反比例函数，得．
（2）解：设点C的坐标为，
由于轴，所以点D的纵坐标为，
∴点，
∴，
∴当时，，
答：的最大值为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系中三角形面积问题，熟练掌握函数的图像与性质，并能掌握相应题型的解题方法技巧是解决问题的关键．
提升篇
1．两个反比例函数：和：在第一象限内的图像如图所示，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据反比函数比例系数的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积．
【详解】解：∵轴，轴，
∵点在反比例函数：的图像上，
∴，
∵点，点在反比例函数：的图像上，
∴，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题考查反比函数比例系数的几何意义：在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．理解和掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系内，正方形的顶点A，B在第二象限内，且点A，B在反比例函数的图象上，点C在第三象限内．其中，点A的纵坐标为3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点A作轴于E，过点B作轴，交于F，证明得到，根据图象上点的坐标特征得出，即可得到∴，则，解得即可．
【详解】解：过点A作轴于E，过点B作轴，交于F，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为3，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得（正数舍去），
∴
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数与几何综合，关键是构造全等三角形，表示出点的坐标．
3．如图，点为坐标原点，菱形的边在轴的正半轴上，对角线、交于点，反比例函数的图象经过点和点，若菱形的面积为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可．
【详解】
过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，
设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
∴DF=，即点D的纵坐标为，
∵反比例函数的图象经过点和点，
∴D（2m，），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m，）代入得：，
解得：，
∴AD所在的直线函数表达式为：，
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE=，
∵菱形的面积为，
∴OC×AE=，解得：m=，
∴AE=，
∴A（，2），
故选：A
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
4．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于B，C两点，若函数的图象与△ABC的边有2个公共点，则k的取值范围是______．
【答案】5＜k＜8或9＜k＜20
【分析】根据题意可以分别求得点B、点C的坐标，从而可以得到k的取值范围．
【详解】解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝−x＋6于B、C两点，
∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，
将y＝5代入y＝−x＋6，得x＝1，
将x＝4代入y＝−x＋6得，y＝2，
∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），
令，整理得，，
Δ＝36−4k＝0，解得k＝9，
∵函数（x＞0）的图象与△ABC的边有两个公共点，点A（4，5），点B（1，5），C（4，2），
∴1×5＜k＜4×2或9＜k＜4×5，即5＜k＜8或9＜k＜20，
故答案为：5＜k＜8或9＜k＜20．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴，y轴的正半轴上，双曲线（x＞0）分别与边AB，BC相交于点E，F，且点E，F分别为AB，BC的中点，连接EF．若△BEF的面积为5，则k的值是_____．
【答案】20
【分析】设B点的坐标为（a，b），根据中点求得E、F的坐标，再把E、F坐标代入反比例函数解析式，得k与a、b的关系式，再根据△BEF的面积为5，列出a、b的方程，求得ab，便可求得k．
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，
∴E（a，b），F（a，b），
∵E、F在反比例函数的图象上，
∴ab＝k，
∵S△BEF＝5，
∴×a×b＝5，即ab＝5，
∴ab＝40，
∴k＝ab＝20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型．
6．如图，在反比例函数（x＞0）的图像上，有点，，，，…，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…n．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则_______．（用n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题．
【详解】解：由题可知：点坐标为（1,2），点的坐标为,
∴点与点的纵坐标之差为，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．
7．如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与反比例函数y＝（m≠0）的图像相交于点A（1，2），B（a，−1）．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若直线y＝kx＋b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC＝4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)反比例函数为y＝，一次函数的解析式为y＝x＋1
(2)存在，P（3，0）或（−5，0）
【分析】（1）将点A（1，2）代入y＝得到反比例函数的解析式为y＝，把A（1，2），B（−2，−1）代入直线y＝kx＋b即可得到一次函数的解析式；
（2）当y＝0时，得到点C（−1，0），设P（x，0），根据三角形面积公式即可解答．
（1）
解：将点A（1，2）代入y＝得，1＝，
∴，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（a，−1）代入y＝得，，
∴B（−2，−1），把A（1，2），B（−2，−1）代入y＝kx＋b得
，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x＋1
（2）
解：当y＝0时，0＝ x＋1，解得x＝−1，
∴C（−1，0），设P（x，0），
∴，
∴或x＝−5，
∴P（3，0）或P（−5，0）．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积计算，解题关键是正确理解题意．
8．如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．
(1)求直线EF的解析式；
(2)求△EOF的面积；
(3)若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)3
(3)P1（0，4），P2（0，2），P3（0，-2），P4（0，2）
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征分别求出点E、F'的坐标，利用待定系数法求出直线EF的解析式；
（2）根据矩形的面积公式、三角形的面积公式求出△EOF的面积；
（3）根据OP= OE、EO= EP、PO = PE三种情况，根据等腰三角形的性质解答即可．
（1）
解：设直线EF的解析式为y= kx + b，
∵点B的坐标为(4，2)，BA⊥y轴，BC⊥x轴，
∴点F的横坐标为4，点E的纵坐标为2，
∵点E、F都在反比例函数的图象上，
∴当x=4时，，当y=2时，即是x=2，
∴点F的坐标为(4， 1)， 点E的坐标为(2， 2)，
设直线EF的解析式为y=kx + b，则
，
解得 ，
∴直线EF的解析式为；
（2）
解：；
（3）
解：∵点E的坐标为(2， 2)，
∴ ，
当OP= OE=时，点P的坐标为(0，)或(0， )，
当EO= EP时，PA= OA= 2，则点P的坐标为(0， 4)，
当PO= PE时，点P与点A重合，点P的坐标为(0， 2)，
综上所述，△POE是等腰三角形时，点P的坐标为(0，)或(0， )或(0， 4)或
(0，2)．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象和性质、矩形的性质以及等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．