2025年中考复习数学新定义问题探究练习题及解析

这是一份2025年中考复习数学新定义问题探究练习题及解析，共34页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1.本小题8分
我们定义：一个整数能表示成是整数的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
已知29是“完美数”，请将它写成是整数的形式 ；
若可配方成为常数，则mn的值为 ；
探究问题：已知是整数，k是常数，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：已知x，y满足，求的最小值．
2.本小题8分
阅读下列材料，解决相应问题：
和84 ______“友好数对”填“是”或“不是”
为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整.
解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为______和______.
因为它们是友好数对，所以______.
即a，b，c，d的等量关系为：______.
请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择______题.
A.请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同.
B.若有一个两位数，十位数字为，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数.
3.本小题8分
法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为：
，习惯上把这个结论称作“韦达定理”.
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究.
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根都不为，且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.
方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根都不为，且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”.
请你判断：方程是 填“倍根方程”或“方根方程”；
若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
4.本小题8分
我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若，则点P为的准外心．
如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且，求的度数．
已知为直角三角形，斜边，，准外心P在AC边上，试探究PA的长．
5.本小题8分
定义：我们把三边之比为1：：的三角形叫做奇妙三角形．
初步运用如图是的正方形网格每个小正方形的边长均为，请分别在图①、图②中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；
所画三角形中最大内角度数为______
再思探究如图③，点A为坐标原点，点C坐标，点D坐标，在坐标平面上取一点，使得AB平分，直接写出m的值并说明理由．
6.本小题8分
我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点.
特例感知：
①等腰直角三角形 勾股高三角形请填写“是”或“不是”
②如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高.若，试求的值.
深入探究：
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，，CD是AB边上的高，试探究线段AD与CB的数量关系，并给予说明.
推广应用：
如图3，等腰三角形ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D作交AC边于点若，试求线段DE的长度.
7.本小题8分
定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．已知点M、N是线段AB的勾股点，若，，则______.
【类比探究】如图2，DE是的中位线，M、N是AB边的勾股点，连接CM、CN分别交DE于点G、求证：G、H是线段DE的勾股点．
【知识迁移】如图3，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画，P在上，，连接PA，PB，若，求的度数．
【拓展应用】如图4，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、证明：E、F是线段AB的勾股点．
8.本小题8分
定义：如图①，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点坐标轴上的点除外，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
【尝试初探】点 “美好点”填“是”或“不是”；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 .
【深入探究】
①若“美好点”在双曲线且k为常数上，则________；
②在①的条件下，在双曲线上，求的值．
【拓展延伸】
我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式．
②在图②的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数________的图像平移得到．
③结合图像研究性质，下列选项正确的是________多项选择
A.图像与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点
B.y随着x的增大而减小
C.y随着x的增大而增大
D.图像经过点
④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
9.本小题8分
定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形画一个就行；
问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接当时，求CD的长．
拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：AD平分
10.本小题8分
定义：在等腰三角形中，若有一条边是另一条边的2倍，则称这个三角形为倍腰三角形．
理解定义：若有一个倍腰三角形有一条边为2，求这个倍腰三角形的周长；
性质探究：判断下列关于倍腰三角形的说法是否正确，正确的打“√”；错误的打“”；
所有的倍腰三角形都是相似三角形
若倍腰三角形的底角为，则
如图1，依次连接倍腰三角形ABC各边的中点，则图1中共有4个倍腰三角形
性质应用：如图2，倍腰三角形是的内接三角形，且，若的半径为1，求倍腰三角形的面积；
拓展应用：如图3，是倍腰三角形的外接圆，直径于点D，AF与BC相交于点E，AC与BH相交于点G，是倍腰三角形，其中，请直接写出CG的长．
11.本小题8分
在．中，定义的平分线所在直线与的外角平分线所在直线所夹的锐角为的伴随角．
如图，在中，，，则的伴随角的度数为 ；
小明试图探究任意中的伴随角与之间的数量关系，于是他动手画了分别为直角、锐角、钝角的三个图，猜想的伴随角与之间的数量关系的猜想： ；
请你选择是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．
12.本小题8分
如图①，凹四边形ABCD形似圆规，这样的四边形称为“规形”，
如图①，在规形ABDC中，若，，，则______；
如图②，将沿DE，EF翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______；
如图③，在规形ABDC中，、的角平分线AE、DE交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由.
13.本小题8分
定义：有一组对角互余的四边形叫作对余四边形．
【理解】若四边形ABCD是对余四边形，则与的度数之和为 .
【证明】如图①，MN是的直径，点A，B，C在上，AM，CN相交于点求证：四边形ABCD是对余四边形．
【探究】如图②，在对余四边形ABCD中，，，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系，写出猜想，并说明理由．
14.本小题8分
定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
【问题理解】
如图1，在☉O上有三个点A、B、C，连接AB、现要在☉O上再取一点D，使得四边形ABCD是等补四边形，请写出点D的一种取法，并证明你得到的四边形ABCD是等补四边形．
【拓展探究】
如图2，在等补四边形ABCD中，
①已知BC：：4，的面积为8，则四边形ABCD的面积为；
②连接AC，请在图中找出一组具有相等关系的角，并证明你的结论．
【问题解决】
如图3，在等补四边形ABCD中，，其外角的平分线交CD的延长线于点若，，且AF的长．
15.本小题8分
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】
在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，________的“中点四边形”一定是正方形，因此它一定是“中方四边形”填序号
【性质探究】
如图，若四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的一条结论：_____________________.
【问题解决】
如图，以锐角的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连结BE，EG，GC，依次连接四边形BCGE的四边中点得到四边形求证：四边形BCGE是“中方四边形”．
答案和解析
1.【答案】【小题1】
；
【小题2】
2
【小题3】
依题意得，，解得；
【小题4】
，，当时，的最小值为

【解析】 略
略
略
略
2.【答案】是
；；；；
或B；
选A，根据，可列举31和39，13和93，12和42，21和24，
只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，答案不唯一．
选B，由得：，
解得：，
两个两位数为：31和
选A或选B都可以，只要满足“友好数对”的定义即可．
【解析】解：，，
，
和84是友好数对．
故答案为：是．
一个数的十位数字为a，个位数字为b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，
交换后十位数字为b，个位数字为a，另一个的十位数字为d，个位数字为c，
两个数依次表示为，，
这两个数是友好数对，
，
化简得：
故答案为：；，，
选A，根据，可列举31和39，13和93，12和42，21和24，
只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，答案不唯一．
选B，由得：，
解得：，
两个两位数为：31和
选A或选B都可以，只要满足“友好数对”的定义即可．
故答案为：A或
计算和，根据定义判断；
利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的的定义列出等量关系，并化简；
、结合中的等量关系写出新的“友好数对”；
B、根据“”得，解方程得到x，写出两个两位数．
本题以新定义为背景，考查了学生对于数的表示、多项式乘以多项式、解一元一次方程．本题解题的关键是用代数式表达两位数和交换个位和十位后的两位数，然后根据新定义列出方程．
3.【答案】【小题1】
“倍根方程”
【小题2】
解：设方程的两个根为，，
一元二次方程是“倍根方程”，
，
，，
，，
，
【小题3】
解：设一元二次方程，的两个实数根分别为、，
这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，
，，
，
解得或舍去，
，
或，，
，
解得或舍去，
，
这个方程的根是2、4或、

【解析】 解方程得：
，，
，
方程是倍根方程；
故答案为：“倍根方程”；
设方程的两个根为，，由倍根方程”的定义可知，利用根与系数的关系即可求得c的值；
设一元二次方程，的两个实数根分别为、，由题意可知，或，，即可得到方程的根是2、4或、
4.【答案】解：①若，连接PB，则，
为等边三角形的高，
，，
，
，
与已知矛盾，
；
②若，连接PA，同理可得；
③若，由，得，
，
故；
解：，，
，
①若，设，则，
，即；
②若，则；
③若，由图知，在中，不可能．
故或

【解析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用.
连接PA、PB，根据准外心的定义，分①，②，③三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出，然后即可求出的度数；
先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①，②，③三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．
5.【答案】【小题1】
解：如图所示：
由网格可得：
，，，
，
的三边比为1：：，
，，，
，
的三边比为，
∽，
，
故答案为：135；
【小题2】
理由：连接AB、BD，
由网格可得：
，，，
，
的三边比为，
由网格可得：
，，，
，
的三边比为，
∽，
，
平分

【解析】
直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角；

，利用网格结合勾股定理求出和各边的长.证明∽，直接利用相似三角形的性质即可得出结论.
此题是三角形的综合题，主要考查了应用设计与作图，相似三角形的判定与性质，正确借助网格分析是解题的关键.
6.【答案】解：①是；
②如图1中，根据勾股定理可得：，，
于是，
如图2中，由可得：，而，
，
即；
过点A向ED引垂线，垂足为G，
“勾股高三角形”为等腰三角形，且，
只能是，由上问可知……①．
又，……②．
而……③，
≌，
易知与均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知
又，，
，

【解析】本题考查三角形综合题、勾股定理、全等三角形的判定和性质、勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．
①根据勾股高三角形的定义即可判断；
②如图1，根据勾股定理可得：，，于是，
即可解决问题；
由可得：，而，即可推出；
过点A向ED引垂线，垂足为G，只要证明≌，即可解决问题.
7.【答案】或
【解析】解：点M、N是线段AB的勾股点，
或，
的长为或；
故答案为：或；
如图2，
是的中位线，
，，，
，，
，，，
、N是AB边的勾股点，
，
，
，
，
、H是线段DE的勾股点；
如图3，连接PD，
，
，
，
，D是线段AB的勾股点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，
则；
解法一：点是反比例函数上的动点，
，
直线与坐标轴分别交于A、B两点，
点B的坐标为，点A的坐标为，
当时，，
点E的坐标为，
当时，有，
解得：，
点F的坐标为，
，，
，
，
以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形，
、F是线段AB的勾股点．
解法二：
点是反比例函数上，
，
，，
，，，，
由题知：，，
，
，
，
、F是线段AB的勾股点．
根据勾股点的定理，即可求出BN的长度；
由DE是的中位线，可知，则D、G、H、E分别为各边中点，得到DG、GH、EH分别为中位线，再利用题中新定义列出关系式，即可得证；
如图3，连接PD，根据新定义可得，由圆周角定理可知，由勾股定理得：，得和各角之间的关系，从而计算的度数，得出结论；
介绍两种解法：
解法一：先分别表示B、F、E、A的坐标，根据两点的距离公式计算BF，EF，AE的长，最后根据新定义可得结论；
解法二：根据点是反比例函数上，得，分别表示E ，，，，根据和和是等腰直角三角形利用勾股定理可得结论．
本题是反比例和一次函数的综合题，考查了新定义勾股点的理解和运用、一次函数图象上点的坐标、勾股定理、两点间的距离公式以及解无理方程，熟练掌握勾股定理和运用两点的距离公式表示线段的长是解题的关键．
8.【答案】【小题1】
不是
4
【小题2】
①18
②在双曲线上，，，设直线EF的表达式为，解得直线EF的表达式为，令直线EF与x轴交于点G，当时，，解得，，
【小题3】
①点是第一象限内的“美好点”，，化简得第一象限内的点的横、纵坐标都为正，解得，关于x的函数表达式为
②画出草图如图所示．
③AB
④，，对于图像上任意一点，代数式是定值，定值为

【解析】 略
见答案

该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，故答案为
9.【答案】【小题1】
解：作出的共边直角三角形如图1所示即为所求作的三角形；
【小题2】
取AB的中点O，连接OC、OD，
由勾股定理得，，
，点O为AB的中点，
，，
，又，
，
，，
，即，
解得，，
；
【小题3】
证明：分别延长AC、BD交于点F，
，
，
，，
，
，
，又，
，又，
平分

【解析】
根据共边直角三角形的概念作图；

取AB的中点O，连接OC、OD，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式求出CE，结合图形计算得到答案；

分别延长AC、BD交于点F，证明，根据等腰三角形的性质证明．
10.【答案】解：理解定义，当2是倍腰三角形的腰时，它的底为1，周长为5；
当2是倍腰三角形的底时，它的腰为4，周长为10；
性质探究，
由倍腰三角形的定义及性质可知倍腰三角形三边的比都相等，为1：2：2，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形，
故答案为√；
如图1，过顶点A作于点D，
设，
则，，
在中，=a，
=，
故答案为√；
如图2，图中共有5个倍腰三角形，分别是，，，，，
故答案为；
性质应用，如图3，过顶点A作于点D，连接OB，
设BD为x，则根据性质有，
在中，
，
，
解得：舍去，，
，，
，
倍腰三角形的面积为；
拓展应用，如图4，过点C作于M，连接AO，HC，
则，
是倍腰三角形，，，
，
，
是倍腰三角形，
，
，
，，
垂直平分AB，CM经过圆心O，
设半径为r，
在中，
，
，
解得，，
，
在中，
=，
，，
∽，
==，
设，则，
==，
x，x，
，
，
解得，
的长为

【解析】【分析】理解定义，由三角形的两边之和大于第三边可知倍腰三角形的腰是底边的2倍，当底边是2时，周长为10；当腰是2时，周长为5；
性质质探究：由倍腰三角形的定义及性质可知倍腰三角形三边的比都相等，为1：2：2，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形；
通过三角函数可求出倍腰三角形底角的三角函数值；
图1中共有5个倍腰三角形，分别是，，，，；
性质应用：根据倍腰三角形的性质及勾股定理可求出倍腰三角形的高及底，可求出其面积；
拓展应用：通过倍腰三角形的性质及垂径定理求出的半径，直径，设CG的长为x，再通过相似三角形将HG，BG用含x的代数式表示出来，由直径的长度可列出方程，解方程即可．
【点评】本题考查了新定义倍腰三角形及其性质，相似三角形的性质，勾股定理等，解题关键是认真审题，要善于归纳总结新知识．
11.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
如图，平分，又平分，，，，

【解析】 略
略
见答案
12.【答案】

理由：如图3，
由知，
平分，
，
平分，
，
，，
，
即
【解析】连接AD，并延长到点E，知、，相加可得，据此可得答案；
由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，即可求的度数；
由知，根据角平分线知，结合、，根据可得答案．
本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
解：如图1，连接AD，并延长到点E，
则、，
，即，
，，，
故答案为：
将沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，
，，
，
，
，
，
，
见答案．
13.【答案】【小题1】
或
【小题2】
证明：如图③，连接BM，
是的直径，
在中，，，
，
四边形ABCD是对余四边形．
【小题3】
线段AD，CD和BD之间数量关系为
理由如下：
在对余四边形ABCD中，，
，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接FD，如图④，
≌，，
，，，是等边三角形，
在对余四边形ABCD中，，
，
，
，
，即

【解析】
由对余四边形的定义即可得；
解：四边形ABCD是对余四边形，
或

由圆周角定理得出，即，即可得出结论；

由对余四边形的定义得出，将绕点B逆时针旋转，得到，连接FD，则≌，，得出，，，则是等边三角形，得出，易证，由，得出，则，由勾股定理即可得出结果．
点评：本题借助新定义“对余四边形”搭台，以三角形、四边形及圆的核心知识唱戏，通过“给出定义简单运用特例感知类比探究拓展应用”全程展现这一类问题的研究思路．解题时，需要沿着从“特殊到一般”的认知轨道，阅读并理解新定义，即学即用，灵活运用分类讨论，转化化归，几何变换等数学思想方法．
14.【答案】点D的取法：以点C为圆心，BC长为半径画，与交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是等补四边形．
证明：、CD均为的半径，
，
、B、C、D四点同在上，
四边形ABCD是的内接四边形，
四边形ABCD的对角互补，
四边形ABCD是等补四边形．
①如图所示，过点C作，交AD延长线于点M，过点C作，交AB于点N，
则，
四边形ABCD是等补四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：22；
②图中相等的一组角是与，
证明：，
，
解：如图，连接AC，
四边形ABCD是等补四边形，
又
平分
．
由可知

【解析】【分析】以点C为圆心，BC长为半径画，与交于点D，连接AD，CD，则四边形ABCD是等补四边形，根据圆内接四边形对角互补即可证明；
①过点C作，交AD延长线于点M，过点C作，交AB于点N，证明，根据相似三角形的性质以及已知条件可得，即可求得四边形ABCD的面积，
②根据的方法证明结论即可；
连接AC，证明，根据相似三角形的性质代入数值求解即可．
本题考查了圆内接四边形对角互补，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键．
15.【答案】解：④;
①，②；
如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
、NR、RL、LM分别是、、、的中位线，
，，，，，，，，
，，，，
四边形MNRL是平行四边形．
四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
，，，
又，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，
▱MNRL是菱形，
，
又，，
，
，
又，，
，
菱形MNRL是正方形，即原四边形BCGE是“中方四边形”.
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．
根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
四边形ABCD是“中方四边形”，可得EFGH是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；
如图2，取四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得≌，推出▱MNRL是菱形，再由，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论。合的结论即可求得答案．
【解答】
解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
①，②；
理由如下：四边形ABCD是“中方四边形”，
是正方形且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
，，，，，，
，，
见答案.“友好数对”
已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”.例如，所以43和68与34和86都是“友好数对”.