2023-2024学年山东省青岛市李沧区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年山东省青岛市李沧区八年级上学期期末数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列坐标所对应的点在第三象限的是（ ）
A．（6，﹣8）B．（6，8）C．（﹣6，﹣8）D．（﹣6，8）
2．（3分）下列实数中，最小的是（ ）
A．B．0C．﹣3D．
3．（3分）如图：AD∥BC，BD平分∠ABC，若∠ADB=35°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．120°
4．（3分）2023年是全球第28个世界读书日．某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级40名同学近3个月每人阅读的课外书数量，数据如下表所示：
则阅读的课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．5，5B．13，5C．4，15D．4.5，15
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）对于命题“如果a＜2，那么a2＜4”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣3B．a＝3C．a＝﹣1D．1
7．（3分）12世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，由此可知湖水的深度是（ ）
A．4.25尺B．3.75尺C．2.25尺D．2尺
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°．按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC和BC的延长线于点D，E．②分别以D，E为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点F．③作射线CF．则∠ECF的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
9．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0，b为常数）的部分对应值如下表：
则该一次函数的表达式为（ ）
A．y＝x+1B．y＝2x+1C．y＝3x+1D．y＝4x+1
10．（3分）一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C
①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2；
②；
③方程组的解为；
④四边形AODP的面积为．正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）81的平方根是 ．
12．（3分）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占40%，“形象风度”占10%，“整体效果”占10%进行计算，88，92，则她的最后得分是 分．
13．（3分）如图，点E为AB延长线上一点，要使AB∥CD，则可以添加的一个条件是．
14．（3分）“翰墨凝书香执笔颂中华”．某校为了奖励在规范汉字书写大赛中表现突出的同学，购买了甲，乙两种奖品共100件，其中，甲种奖品每件16元，y件乙种奖品，根据题意可列方程组 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝10，D为BC延长线上一点，则BE的长为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2）（x，0）为x轴正半轴上一点，点C（2，y），若∠BAC＝90°，则y与x之间的关系式为 ．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：∠AOB，点P为∠AOB的边OA上一点．
求作：直线PC，使PC∥OB
四、解答题（本大题共7小题，共68分）
18．（16分）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程组：；
（4）解方程组：．
19．（6分）在平面直角坐标系中，已知点Q（4﹣2n，n﹣1）．
（1）若点Q在y轴上，请直接写出点Q关于x轴的对称点P的坐标；
（2）若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
20．（8分）已知：如图，D是△ABC的边BC上一点，DE⊥AC，F是DE延长线上一点，AF∥BC
（1）求证：AB∥DF；
（2）若AB＝6，AC＝8，求BC的长．
21．（8分）青岛是一座因海而生、向海而兴的城市，海洋是青岛高质量发展的战略要地，也是青岛最鲜明的特色．为普及海洋科学知识，启迪创新思维，激发科学兴趣（参赛人数相等）竞赛成绩的统计图表：
甲组竞赛成绩统计表
备注：
1本次竞赛满分为10分；
2得分情况只有7分、8分、9分、10分．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲组竞赛成绩统计表中a的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）经计算，乙组的平均分是8.3分，方差是1.51；并从平均分和方差两个角度综合分析哪个小组的竞赛成绩更好一些．
22．（8分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行1，l2分别表示两人距A地的距离s（km）与时间t（h）的关系
（1）甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）求点P的坐标，并写出点P的实际意义．
23．（10分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和5个乙种型号头盔需要390元
（1）甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？
（2）若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔共200个，请写出销售收入Q（元）（个）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，商场销售该批头盔的利润能否为3150元？若能；若不能，请说明理由．
24．（12分）根据以下素材，探索完成任务
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）下列坐标所对应的点在第三象限的是（ ）
A．（6，﹣8）B．（6，8）C．（﹣6，﹣8）D．（﹣6，8）
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案．
【解答】解：A．（6，故本选项不符合题意；
B．（6，故本选项不符合题意；
C．（﹣4，故本选项符合题意；
D．（﹣6，故本选不项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2．（3分）下列实数中，最小的是（ ）
A．B．0C．﹣3D．
【分析】先计算﹣，再根据实数大小的比较方法得结论．
【解答】解：∵﹣≈﹣1.732，
∴﹣5＜﹣＜0＜．
故选：C．
【点评】本题考查了实数大小的比较，掌握实数比较大小的方法是解决本题的关键．
3．（3分）如图：AD∥BC，BD平分∠ABC，若∠ADB=35°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．120°
【分析】由角平分线定义得到∠ABC＝2∠CBD，由平行线的性质得到∠CBD＝∠ADB＝35°，∠A+∠ABC＝180°，即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∠A+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝2×35°＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，关键是掌握平行线的性质，角平分线的定义．
4．（3分）2023年是全球第28个世界读书日．某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级40名同学近3个月每人阅读的课外书数量，数据如下表所示：
则阅读的课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．5，5B．13，5C．4，15D．4.5，15
【分析】根据中位数：“将数据按照顺序排列后，中间一位或中间两位的平均数即为中位数”，众数：“出现次数最多的数据”，进行判断即可．
【解答】解：数据排序后，第20个和第21个数据均为5，
∴中位数为5，
∵3出现的次数最多，为15次，
∴众数为5，
故选：A．
【点评】本题考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据零指数幂的性质判断A选项；根据二次根式乘法的运算法则判断B选项；根据立方根的定义判断C选项；根据二次根式的性质判断D选项．
【解答】解：（）0＝6，故A不符合题意；
5×8，故B不符合题意；
＝﹣2，故C符合题意；
＝6，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，零指数幂的运算，熟练掌握二次根式的性质与化简，零指数幂的运算性质是解题的关键．
6．（3分）对于命题“如果a＜2，那么a2＜4”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣3B．a＝3C．a＝﹣1D．1
【分析】能说明原命题是假命题的反例要满足a＜2，但不满足a2＜4．
【解答】解：当a＝﹣3时，满足a＜26＜4，
所以能说明原命题是假命题的反例是a＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．（3分）12世纪，印度一位著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中记载了一个有趣的问题：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
这首诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．此时，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，由此可知湖水的深度是（ ）
A．4.25尺B．3.75尺C．2.25尺D．2尺
【分析】设湖水的深度为x尺，则AD＝BD＝（x+0.5）尺，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：由题意可知，AC＝0.5尺，
设湖水的深度为x尺，则AD＝BD＝（x+2.5）尺，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，
BD2＝CD3+BC2，
即（x+0.7）2＝x2+62，
解得x＝3.75，
即湖水的深度为3.75尺，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=70°．按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC和BC的延长线于点D，E．②分别以D，E为圆心，同样的长为半径画弧，两弧交于点F．③作射线CF．则∠ECF的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】根据三角形的外角性质可得∠ACE＝∠A+∠B＝120°，由尺规作图可知，CF为∠ACE的平分线，结合角平分线的定义可得答案．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACE＝∠A+∠B＝120°．
由尺规作图可知，CF为∠ACE的平分线，
∴∠ECF＝∠ACF＝60°．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图、三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质、角平分线的定义以及作图方法是解答本题的关键．
9．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0，b为常数）的部分对应值如下表：
则该一次函数的表达式为（ ）
A．y＝x+1B．y＝2x+1C．y＝3x+1D．y＝4x+1
【分析】把表中的三组对应值分别代入y＝kx+b得到方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：根据题意得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝3x+6．
故选：C．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
10．（3分）一次函数y1＝kx+5与一次函数y2＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，m），与两坐标轴分别交于A，B，C
①一元一次方程kx+5＝m的解为x＝2；
②；
③方程组的解为；
④四边形AODP的面积为．正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【分析】根据一次函数与方程（组）的关系逐一分析判断即可．
【解答】解：一次函数y1＝kx+5与一次函数y5＝2x+k在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点P（2，
∴一元一次方程kx+2＝m的解为x＝2，①正确；
2k+2＝4+k，
解得k＝﹣1，②错误；
∴一次函数为y5＝﹣x+5，y2＝2x﹣1，
把P（2，m）代入得﹣4+5＝m，
∴m＝3，
∴P（3，3），
∴方程组的解为；
∵一次函数为y5＝﹣x+5，y2＝8x﹣1，
∴A（0，5），7），
∴四边形AODP的面积为：＝，④正确．
∴正确的结论是①③④．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程（组）的关系，一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）81的平方根是 ±9 ．
【分析】一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．
【解答】解：∵92＝81，（﹣5）2＝81，
∴81的平方根为±9，
故答案为：±6．
【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．（3分）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占40%，“形象风度”占10%，“整体效果”占10%进行计算，88，92，则她的最后得分是 87.4 分．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：她的最后得分是85×40%+88×40%+92×10%+90×10%＝87.4（分），
故答案为：87.4．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
13．（3分）如图，点E为AB延长线上一点，要使AB∥CD ∠CDB＝∠ABD（答案不唯一） ．
【分析】找到相等的同位角、内错角或互补的同旁内角即可．
【解答】解：若∠CDB＝∠ABD，则AB∥CD
故答案为：∠CDB＝∠ABD（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
14．（3分）“翰墨凝书香执笔颂中华”．某校为了奖励在规范汉字书写大赛中表现突出的同学，购买了甲，乙两种奖品共100件，其中，甲种奖品每件16元，y件乙种奖品，根据题意可列方程组 ．
【分析】根据甲乙两种奖品共100件，可找到等量关系列出一个方程，再根据甲乙两种奖品的总价格找到一个等量关系列出一个方程，将两个方程组成一个二元一次方程组．
【解答】解：若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
甲．乙两种奖品共100件，
因为甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，
由上可得方程组：．
故答案为：．
【点评】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组：根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝8，AB＝10，D为BC延长线上一点，则BE的长为 9.6 ．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，进而可得∠ACD＝90°，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD的长，最后利用面积法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AC＝8，BC＝6，
∴AC2+BC2＝86+62＝100，AB3＝102＝100，
∴AC2+BC6＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵CD＝6，
∴AD＝＝＝10，
∵BE⊥AD，
∴△ABD的面积＝BD•AC＝，
∴BD•AC＝AD•BE，
∴12×8＝10BE，
解得：BE＝9.6，
故答案为：9.6．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2）（x，0）为x轴正半轴上一点，点C（2，y），若∠BAC＝90°，则y与x之间的关系式为 y＝x+2 ．
【分析】作CD⊥y轴于点D，可得△ACD∽△BAO，所以＝，即＝，即可得出答案．
【解答】解：如图，作CD⊥y轴于点D，
∴∠ADC＝∠AOB＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAD+∠OAB＝90°，
∴∠C＝∠OAB，
∴△ACD∽△BAO，
∴＝，
∵＝，
∴y＝x+2，
∴y与x之间的关系式为y＝x+2．
故答案为：y＝x+4．
【点评】本题考查坐标与图形性质，根据题意证明△ACD∽△BAO是解答此题的关键．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．（4分）已知：∠AOB，点P为∠AOB的边OA上一点．
求作：直线PC，使PC∥OB
【分析】过点P作∠CPA＝∠O即可得PC∥OB．
【解答】解：如图，直线PC即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
四、解答题（本大题共7小题，共68分）
18．（16分）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程组：；
（4）解方程组：．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答；
（3）利用加减消元法进行计算，即可解答；
（4）利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝8﹣
＝；
（2）
＝××2
＝12；
（3），
①+②得：3x＝8，
解得：x＝2，
∴把x＝4代入②得：2+2y＝8，
解得：y＝1.5，
∴原方程组的解为：；
（4），
①×3得：18x﹣2y＝﹣9③，
③﹣②得：13x＝26，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：12﹣3y＝﹣3，
解得：y＝7，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）在平面直角坐标系中，已知点Q（4﹣2n，n﹣1）．
（1）若点Q在y轴上，请直接写出点Q关于x轴的对称点P的坐标；
（2）若点Q到两坐标轴的距离相等，求点Q的坐标．
【分析】（1）由题意可得4﹣2n＝0，求出n的值，进而可得出结论；
（2）由题意可得|4﹣2n|＝|n﹣1|，求出n的值即可求Q点坐标．
【解答】解：（1）∵点Q在y轴上，
∴4﹣2n＝4，
∴n＝2，
∴Q（0，6），
∴点Q关于x轴的对称点P的坐标为（0，﹣1）；
（2）∵点Q到两坐标轴的距离相等，
∴|2﹣2n|＝|n﹣1|，
∴6﹣2n＝n﹣1或7﹣2n＝1﹣n，
∴n＝或n＝3，
∴Q（，）或Q（﹣2．
【点评】本题考查平面内点的坐标，熟练掌握平面内点的坐标特点是解题的关键．
20．（8分）已知：如图，D是△ABC的边BC上一点，DE⊥AC，F是DE延长线上一点，AF∥BC
（1）求证：AB∥DF；
（2）若AB＝6，AC＝8，求BC的长．
【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠F＝∠FDC，从而利用等量代换可得∠B＝∠FDC，然后利用同位角相等，两直线平行可得AB∥FD，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠DEC＝90°，从而利用平行线的性质可得∠BAC＝∠DEC＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠F＝∠FDC，
∵∠B＝∠F，
∴∠B＝∠FDC，
∴AB∥FD；
（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵AB∥DF，
∴∠BAC＝∠DEC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴BC的长为10．
【点评】本题考查了勾股定理，平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
21．（8分）青岛是一座因海而生、向海而兴的城市，海洋是青岛高质量发展的战略要地，也是青岛最鲜明的特色．为普及海洋科学知识，启迪创新思维，激发科学兴趣（参赛人数相等）竞赛成绩的统计图表：
甲组竞赛成绩统计表
备注：
1本次竞赛满分为10分；
2得分情况只有7分、8分、9分、10分．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲组竞赛成绩统计表中a的值为 2 ；
（2）补全条形统计图；
（3）经计算，乙组的平均分是8.3分，方差是1.51；并从平均分和方差两个角度综合分析哪个小组的竞赛成绩更好一些．
【分析】（1）利用乙组竞赛成绩统计图求出两组学生的参赛人数，再利用甲组竞赛成绩统计表求出a即可；
（2）利用总人数求出成绩为8分的人数，补全统计图即可；
（3）利用加权平均数和方差的公式计算，然后综合分析即可．
【解答】解：（1）参赛人数为：4÷20%＝20（人），
∴a＝20﹣10﹣0﹣6＝2（人），
故答案为：2；
（2）乙组成绩为6分的人数，20﹣8﹣4﹣5＝3（人），
补全条形统计图：
（3）甲组的平均分：＝5.3（分），
方差：×[10×（4﹣8.3）6+2×（8﹣2.3）2+2×（10﹣8.3）3]＝2.01，
∵甲、乙组的平均分都是8.5分，小于甲组的方差，
∴乙组的成绩更稳定，
∴乙小组的竞赛成绩更好一些．
【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的运用．读懂统计图，从统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．本题也考查了平均数的认识．
22．（8分）A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行1，l2分别表示两人距A地的距离s（km）与时间t（h）的关系
（1）甲的速度是 30 km/h，乙的速度是 20 km/h；
（2）求点P的坐标，并写出点P的实际意义．
【分析】（1）根据速度＝路程÷时间计算即可；
（2）分别求出图象l1，l2的s关于t的函数关系式，求出交点P的坐标；点P的横坐标表示二人相遇的时间，纵坐标表示相遇时距A地的距离．
【解答】解：（1）甲的速度为60÷2＝30（km/h），乙的速度为60÷（3.7﹣0.5）＝20（km/h），
故答案为：30，20；
（2）当5≤x≤2时，设l1图象的函数关系式为s＝k6x+b1（k1、b4为常数，且k1≠0），
∵当x＝8时，s＝60，s＝0，
∴，解得，
∴l4图象的函数关系式为s＝﹣30x+60（0≤x≤2时）；
当7.5≤x≤3.5时，设l2图象的函数关系式为s＝k2x+b6（k2、b2为常数，且k4≠0），
∵当x＝0.2时，s＝0，s＝60，
∴，解得，
∴l2图象的函数关系式为s＝20x﹣10（0.6≤x≤3.5）；
当﹣30x+60＝20x﹣10时，解得x＝2.4，
当x＝1.6时，s＝20×1.4﹣10＝18，
∴点P的坐标为（7.4，18）、乙两人在出发后1.2h时相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，写出变量之间的函数表达式是解题的关键．
23．（10分）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和5个乙种型号头盔需要390元
（1）甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？
（2）若该商场分别以55元/个、80元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔共200个，请写出销售收入Q（元）（个）之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，商场销售该批头盔的利润能否为3150元？若能；若不能，请说明理由．
【分析】（1）分别甲，乙两种型号头盔的进货单价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据某一产品的销售收入＝售价×数量，分别计算甲、乙两种型号的头盔销售收入并求和即为Q；
（3）根据某一产品的销售利润＝（售价﹣进价）×数量，分别计算甲、乙两种型号的头盔销售利润并求和就是总的销售利润，令其值为3150，若解得m的值符合题意，说明商场销售该批头盔的利润可以达到3150元，并求出此时200﹣m的值；否则，则不能．
【解答】解：（1）设甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是x元和y元．
根据题意，得，
解得，
∴甲，乙两种型号头盔的进货单价分别45元和60元．
（2）销售的乙种型号头盔的数量为（200﹣m）个，
根据题意，得Q＝55m+80（200﹣m）＝﹣25m+16000，
∴Q与m之间的函数关系式为Q＝﹣25m+16000．
（3）能．采购方案如下：
设商场销售该批头盔的利润为w元，则w＝（55﹣45）m+（80﹣60）（200﹣m）＝﹣10m+4000，
当w＝3150时，﹣10m+4000＝3150，
200﹣85＝115（个），
∴当采购甲，乙两种型号头盔分别为85个和115个时．
【点评】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一元一次方程组的解法是解题的关键．
24．（12分）根据以下素材，探索完成任务
【分析】利用题意分别求得所需的正方形与长方形的个数，再列出方程，整理即可得出m，n的关系式，再将m＝86代入运算即可得出结论．
【解答】解：①∵横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，
∴m个横式无盖纸盒需要2m个正方形和3m个长方形，
故答案为：2m；
②∵竖式无盖纸盒需要6个正方形和4个长方形，
∴n个竖式无盖纸盒需要n个正方形和4n个长方形，
故答案为：8n；
③∵1张纸板可以裁成4个正方形，
∴（7m+n）个正方形需要张纸板．
故答案为：；
④∵1张纸板可以裁成7个长方形，
∴（3m+4n）个长方形需要张纸板．
故答案为：；
⑤∵现将300张纸板裁剪成材料，
∴+＝300．
整理得：18m+19n＝3600．
∴m，n之间满足的关系式为：18m+19n＝3600．
故答案为：18m+19n＝3600；
⑥若计划制作86个横式无盖纸盒，
∴m＝86时，n＝108，
∴＝70．
∴需要将70张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形．
故答案为：70．
【点评】本题主要考查了完全平方式，列代数式，列二元一次方程，求代数式的值，正确利用题干中的数量关系列出代数式是解题的关键． 人数/人
5
13
15
7
课外书数量/本
3
4
5
8
x
…
0
1
2
…
y
…
1
2a
2a+3
…
分数
7分
8分
9分
10分
人数
10
a
0
8
如何设计纸盒方案？
素材1
如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．
素材2
（1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料．
（2）制作纸盒后没有剩余材料．
为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个.
问题解决
任务1
初探材料用量
1．完善下表：
纸盒类型
正方形（张数）
长方形（张数）
m个横式无盖纸盒
①
3m
n个竖式无盖纸盒
n
②
任务2
再探关系
2．完善下表：
需裁成正方形的纸板数（张）
需裁成长方形的纸板数（张）
合计
③
④
300
3．写出m，n之间满足的关系式：⑤ .
任务3
拟定方案
若计划制作86个横式无盖纸盒，则需要将⑥ 张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求.
人数/人
5
13
15
7
课外书数量/本
3
4
5
8
x
…
0
1
2
…
y
…
1
2a
2a+3
…
分数
7分
8分
9分
10分
人数
10
a
0
8
如何设计纸盒方案？
素材1
如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．
素材2
（1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料．
（2）制作纸盒后没有剩余材料．
为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个.
问题解决
任务1
初探材料用量
1．完善下表：
纸盒类型
正方形（张数）
长方形（张数）
m个横式无盖纸盒
① 2m
3m
n个竖式无盖纸盒
n
② 4n
任务2
再探关系
2．完善下表：
需裁成正方形的纸板数（张）
需裁成长方形的纸板数（张）
合计
③
④
300
3．写出m，n之间满足的关系式：⑤ 18m+19n＝3600 .
任务3
拟定方案
若计划制作86个横式无盖纸盒，则需要将⑥ 70 张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求.