四川省成都市双流区棠湖外国语学校2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷　-A4

这是一份四川省成都市双流区棠湖外国语学校2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷　-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）在﹣2，，，2中，是无理数的是（ ）
A．﹣2B．C．D．2
2．（4分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣1，2024），则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（4分）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，2，6C．3，4，5D．4，5，6
5．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）已知点A（1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，且y1＜y2，则k的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
7．（4分）如图，等边三角形的边长为6，则高AD的长为（ ）
A．B．C．D．3
8．（4分）对于函数y＝﹣2x﹣4的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．经过第二、三、四象限B．与y轴交于点（0，﹣4）
C．y随x的增大而减小D．当x＞0时，y＞0
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）若a、b为实数，且（a+）2+＝0，则ab的值 ．
10．（4分）已知是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝﹣3的一个解，则a的值为 ．
11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（3m+3，m﹣1）在x轴上，则m的值为 ．
12．（4分）已知二元一次方程组的解为，则一次函数y＝﹣x+3和正比例函数y＝2x图象的交点坐标是 ．
13．（4分）如图，OA＝OB，则数轴上点B所表示的数是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
15．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值．
（2）求4a﹣2b的平方根．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
17．（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12．
（1）直接写出AB的长度 ；
（2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长．
18．（10分）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象过点C（﹣1，4）与点B（0，6）与x轴相交于点A．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOC的面积；
（3）如图2，若直线l⊥x轴于点N（m，0），交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）比较大小： （用“＞”、“＜”“＝”）．
20．（4分）已知a，b，c在数轴上的位置如图：
化简代数式﹣|a+b|++|b+c|的值为 ．
21．（4分）已知方程组与方程组的解相等，则ab的值为 ．
22．（4分）一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动【即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，1）…】，且每秒移动一个单位，那么第41秒时质点所在位置的坐标是 ．
23．（4分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PB＝2，PC＝4，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则AP的长度为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：；
方法二：．
（1）请用两种不同的方法化简：；
（2）化简：．
25．（10分）将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝12，OC＝6．
（1）如图①，沿OB折叠矩形，点C落在C'处，BC'交OA于点F，求点F的坐标；
（2）如图②，点D是OC中点，点E在OA上，求BE+DE的最小值；
（3）如图③，折叠该纸片，使点C落在边OA上的点为C′（4，0），折痕为MN，点M在边BC上，求直线C′M的函数解析式．
26．（12分）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF．
（1）试说明：△AED≌△AFD；
（2）当BE＝3，CE＝9时，求∠BCF的度数和DE的长；
（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求DE的长．
2024-2025学年四川省成都市双流区棠湖外国语学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）在﹣2，，，2中，是无理数的是（ ）
A．﹣2B．C．D．2
【分析】利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论．
【解答】解：﹣2，，2是有理数，是无理数，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数，无理数的意义，掌握上述概念并熟练应用是解题的关键．
2．（4分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣1，2024），则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣1，2024），则点P在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是关键．
3．（4分）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，据此进行判断即可．
【解答】解：符合二元一次方程组的定义，则A符合题意；
中不是整式，则B不符合题意；
中xy的次数不是1，则C不符合题意；
中x2的次数不是1，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（4分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，2，6C．3，4，5D．4，5，6
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵1+2＝3，
∴以1，2，3为边不能构成三角形，
故A不符合题意；
B、∵2+2＝4＜6，
∴以2，2，6为边不能构成三角形，
故B不符合题意；
C、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以3，4，5为边能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵52+42＝41，62＝36，
∴52+42≠62，
∴以4，5，6为边不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5．（4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式，由此解答即可．
【解答】解：A、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、，与是同类二次根式，故此选项符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键．
6．（4分）已知点A（1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，且y1＜y2，则k的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】由1＜2且y1＜y2，可得出y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵点A（1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y＝kx+b的图象上，1＜2，且y1＜y2，
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴k的值可能是2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
7．（4分）如图，等边三角形的边长为6，则高AD的长为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】由等边三角形的性质可知三边长都为6，再利用等腰三角形的三线合一性质，由AD与BC垂直得到D为BC的中点，进而由BCd的长求出BD的长，在直角三角形ABD中，由AB及BD的长，利用勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC为边长为6的等边三角形，且AD⊥BC，（已知）
∴AB＝AC＝BC＝6，（等边三角形的三边长相等）
∴BD＝CD＝BC＝3，（三线合一）
在Rt△ABD中，由AB＝6，BD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
8．（4分）对于函数y＝﹣2x﹣4的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．经过第二、三、四象限B．与y轴交于点（0，﹣4）
C．y随x的增大而减小D．当x＞0时，y＞0
【分析】根据一次函数的性质逐项进行分析即可．
【解答】解：A、一次函数y＝﹣2x﹣4的k＝﹣2＜0，b＝﹣4＜0，所以该函数过二、三、四象限，正确，故该选项不符合题意；
B、令x＝0，则y＝﹣4，所以与y轴交于点（0，﹣4），正确，故该选项不符合题意；
C、由于一次函数y＝﹣2x﹣4的k＝﹣2＜0，所以y的值随x的值增大而减小，正确，故该选项不符合题意；
D、一次函数y＝﹣2x﹣4的k＝﹣2＜0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x＞0时，y＜﹣4，错误，故该选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）若a、b为实数，且（a+）2+＝0，则ab的值 3 ．
【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性分别求出a、b，根据乘方法则计算即可．
【解答】解：∵（a+）2+＝0，
∴（a+）2＝0，＝0，
解得，a＝﹣，b＝2，
则ab＝（﹣）2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握偶次方、算术平方根的非负性是解题的关键．
10．（4分）已知是关于x，y的二元一次方程ax+2y＝﹣3的一个解，则a的值为 ﹣ ．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：将代入方程ax+2y＝﹣3，得：2a+6＝﹣3，
解得：a＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
11．（4分）在平面直角坐标系中，点P（3m+3，m﹣1）在x轴上，则m的值为 1 ．
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求解即可．
【解答】解：∵点P（3m+3，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
12．（4分）已知二元一次方程组的解为，则一次函数y＝﹣x+3和正比例函数y＝2x图象的交点坐标是 （1，2） ．
【分析】任何一个二元一次方程都可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标的值．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴一次函数y＝﹣x+3和正比例函数y＝2x图象的交点坐标是（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程，掌握满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解决问题的关键．
13．（4分）如图，OA＝OB，则数轴上点B所表示的数是 ．
【分析】根据直角三角形勾股定理，计算出0A长，即可得到OB的长，得到结果．
【解答】解：设过点A向数轴作垂线的垂足为C，
在Rt△OAC中，OC＝3，AC＝1，∠ACO＝90°，
∴OA＝＝，
∵OA＝OB，
∴点B所表示的数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形勾股定理，涉及到数轴的应用，熟练掌握直角三角形的勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
（2）利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝﹣÷﹣3
＝4﹣﹣3
＝4﹣﹣3
＝；
（2），
②×2得：4x﹣2y＝10③，
①﹣③得：﹣y＝﹣5，
解得：y＝5，
把y＝5代入②2x﹣5＝5，
解得：x＝5，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（8分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值．
（2）求4a﹣2b的平方根．
【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可得出答案；
（2）先求出代数式的值，再求它的平方根即可．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2；
（2）由（1）知a＝5，b＝2，
∴4a﹣2b＝4×5﹣4＝16，
∵16的平方根为±4，
∴4a﹣2b的平方根为±4．
【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．
16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，进而写出顶点C1的坐标；
（2）根据割补法即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；顶点C1的坐标为（4，﹣4）；
（2）△ABC的面积＝4×4﹣1×2﹣2×4﹣3×4＝16﹣1﹣4﹣6＝5．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
17．（10分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12．
（1）直接写出AB的长度 16 ；
（2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长．
【分析】（1）利用勾股定理可直接得出结果；
（2）根据条件可证明AP＝PC，设AP＝PC＝x，PB＝16﹣x，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12，
∴在直角三角形ABC中，；
（2）∵∠PAC＝∠PCA，
∴AP＝PC，
设AP＝PC＝x，则PB＝16﹣x，
在直角三角形PBC中，PC2＝BC2+PB2，
∴（16﹣x）2+122＝x2，
解得：，
∴．
【点评】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
18．（10分）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象过点C（﹣1，4）与点B（0，6）与x轴相交于点A．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOC的面积；
（3）如图2，若直线l⊥x轴于点N（m，0），交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式为；
（2）先利用坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标，然后根据三角形面积公式计算；
（3）如图，设M（t，2t+6），分类讨论：当∠NMP＝90°或∠MNP＝90°，根据等腰直角三角形的性质得|t|＝|2t+6|；当∠MPN＝90°时，利等腰直角三角形斜边上的高等于斜边得一半得到|t|＝|2t+6|，然后分别解关于t的方程即可得到M点的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意得，解得，
所以一次函数解析式为y＝2x+6；
（2）当y＝0时，2x+6＝0，解得x＝﹣3，则A（﹣3，0），
∴S△AOC＝×3×4＝6；
（3）如图，设M（t，2t+6），
当∠NMP＝90°或∠MNP＝90°，则|t|＝|2t+6|，解得t＝﹣2或t＝﹣6，此时M点坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；
当∠MPN＝90°时，|t|＝|2t+6|，解得t＝﹣，此时M点坐标为（﹣，3），
综上所述，满足条件的M点坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）或（﹣，3）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．灵活运用坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质是解决（3）小题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）比较大小： ＜ （用“＞”、“＜”“＝”）．
【分析】先通分，分母为20，比较分子5（﹣1）与4的大小关系，估算5＝的大小，从而得结论．
【解答】解：∵＝，＝，
∵5＝，且8＜＜9，
∴8﹣5＜﹣5＜9﹣5，
∴3＜5﹣5＜4，
∴＜，
∴＜．
故答案为：＜．
【点评】此题考查无理数的估算，注意找出最接近的取值范围的数值．
20．（4分）已知a，b，c在数轴上的位置如图：
化简代数式﹣|a+b|++|b+c|的值为 ﹣a ．
【分析】根据数轴可得b＜a＜0＜c，|b|＞|c|，然后即可将所求式子化简，再合并同类项即可．
【解答】解：由数轴可得，b＜a＜0＜c，|b|＞|c|，
则﹣|a+b|++|b+c|
＝﹣a﹣[﹣（a+b）]+（c﹣a）+[﹣（b+c）]
＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣a，
故答案为：﹣a．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、数轴，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则．
21．（4分）已知方程组与方程组的解相等，则ab的值为 ．
【分析】根据题意，先解方程组，得出x，y的值，然后再把x，y的值代入方程组，得出关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，最后把a，b的值代入ab计算即可．
【解答】解：∵方程组与方程组的解相等，
∴两个方程组的解与方程组的解相等，
①+②，得6x＝12，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得2×2+3y＝10，
解得：y＝2，
∴方程组的解为，
即相等的解为．
把x＝2，y＝2代入方程组，得，
①+②，得4b＝17，
解得：，
把代入①，得＝9，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
22．（4分）一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动【即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→（2，1）…】，且每秒移动一个单位，那么第41秒时质点所在位置的坐标是 （6，5） ．
【分析】通过观察和归纳要知道所有偶数的平方均在x轴上，且坐标为k，便对应第k2个点，且从k2向上走k个点就转向左边；所有奇数的平方均在y轴上，且坐标为k，便对应第k2个点，且从k2向右走k个点就转向下边，计算可知41＝62+5，从而可求结果．
【解答】解：∵41＝62+5，
∴先找到（6，0），向上5个单位，即为第41秒时质点所在位置，
则第41秒时质点所在位置的坐标是（6，5）．
故答案为：（6，5）
【点评】此题考查了规律型：点的坐标，从所给数据及图形中找出规律是解本题的关键．
23．（4分）如图，P为△ABC边BC上的一点，且PB＝2，PC＝4，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则AP的长度为 2+2 ．
【分析】过点C作CD⊥AP于D，根据直角三角形两锐角互余求出∠PCD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PD＝PC＝2，再根据等边对等角求出PD＝PB＝a，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDP＝∠DBP＝30°，从而得到∠DBP＝∠PCD，根据等角对等边可得BD＝CD，根据∠ABC＝45°求出∠ABD＝15°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAD＝15°，从而得到∠BAD＝∠ABD，根据等角对等边可得AD＝BD，最后根据AP＝AD+PD代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AP于D，
∵∠APC＝60°，
∴∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴PD＝PC＝2，
∵PB＝2，
∴PD＝PB＝2，
∴∠BDP＝∠DBP，
∵∠BDP+∠DBP＝∠APC＝60°，
∴∠BDP＝∠DBP＝30°，
∴∠DBP＝∠PCD，
∴BD＝CD＝＝＝2，
又∵∠ABC＝45°，∠DBP＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBP＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BAD＝∠BDP﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，
∴∠BAD＝∠ABD＝15°，
∴AD＝BD，
∴AD＝BD＝CD＝2，
∴AP＝AD+PD＝2+2．
故答案为：2+2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边对等角和等角对等边，作辅助线构造出直角三角形和等腰三角形是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：；
方法二：．
（1）请用两种不同的方法化简：；
（2）化简：．
【分析】（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）＝＝＝﹣；
（2）
＝+++…+
＝+++…+
＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）
＝
＝
＝4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，规律型：数字的变化类，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25．（10分）将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝12，OC＝6．
（1）如图①，沿OB折叠矩形，点C落在C'处，BC'交OA于点F，求点F的坐标；
（2）如图②，点D是OC中点，点E在OA上，求BE+DE的最小值；
（3）如图③，折叠该纸片，使点C落在边OA上的点为C′（4，0），折痕为MN，点M在边BC上，求直线C′M的函数解析式．
【分析】（2）先根据平行线和折叠的性质得：OF＝BF，设OF＝x，根据勾股定理得：x2＝62+（12﹣x）2，解出可解答；
（3）如图②，作点B关于OA的对称点B'，连接DB'，交OA于E，此时DE+BE的值最小，即DB'的长，根据勾股定理可解答；
（4）如图③，过M作MH⊥x轴于H，设CM＝a，根据勾股定理列方程得a2＝（a﹣4）2+62，求得M（6.5，6），然后利用待定系数法求得CM的解析式为y＝2.4x﹣9.6．
【解答】解：（1）如图①，由折叠得：∠OBC＝∠OBF，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝12，BC∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∴∠AOB＝∠OBF，
∴OF＝BF，
设OF＝x，则BF＝x，AF＝12﹣x，
在Rt△ABF中，AB＝OC＝6，
由勾股定理得：BF2＝AB2+AF2，
∴x2＝62+（12﹣x）2，
x＝，
∴F（，0）；
（2）如图②，作点B关于OA的对称点B'，连接DB'，交OA于E，此时DE+BE的值最小，即DB'＝DE+BE，
过B'作B'G⊥y轴于G，
∴B'G＝BC＝12，
∵D是OC的中点，
∴OD＝OC＝3，
∴DG＝3+6＝9，
在Rt△DGB'中，由勾股定理得：DB'＝＝＝15，
即DE+BE的最小值是15；
（3）如图③，过M作MH⊥x轴于H，
∵C′（4，0），
∴OC'＝4，
设CM＝a，则CM'＝a，C'H＝a﹣4，
在Rt△MC'H中，由勾股定理得：C'M2＝C'H2+MH2，
∴a2＝（a﹣4）2+62，
a＝6.15，
∴M（6.5，6）．
设C′M的解析式为y＝kx+b，将C′（4，0），M（6.5，6）代入得：
，
解得：，
∴CM的解析式为y＝2.4x﹣9.6．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键．
26．（12分）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF．
（1）试说明：△AED≌△AFD；
（2）当BE＝3，CE＝9时，求∠BCF的度数和DE的长；
（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求DE的长．
【分析】（1）想办法证明∠DAE＝∠DAF，由DA＝DA，AE＝AF，即可证明；
（2）如图1中，设DE＝x，则CD＝9﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，推出x2＝（9﹣x）2+32，解方程即可；
（3）分两种情形①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝52+32＝34；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝130；
【解答】（1）证明：∵△BAE≌△CAF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，
∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS）；
（2）解：设DE＝x，则CD＝9﹣x．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠ABE＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵△AED≌△AFD，
∴DE＝DF＝x，
在Rt△DCF中，DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，
∴x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，
∴DE＝5；
（3）解：①当点D在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
在△EAB和△DAC中，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝52+32＝34，
解得：DE＝（负值已舍去）；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同法可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝11，DB＝3，
∴DE2＝EB2+BD2＝121+9＝130，
解得：DE＝（负值已舍去），
综上所述，DE的值为或．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
B
A
C
D