河北省石家庄市行唐县 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷 -A4

这是一份河北省石家庄市行唐县 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷 -A4，共26页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列消防标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）
3．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
4．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
5．（3分）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（ ）
A．∠A＝∠EB．∠C＝∠EC．∠B＝∠E+∠FD．∠D＝∠A+∠B
6．（3分）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠MAF＝∠NAFB．EF＝DFC．∠DAF＝∠DFAD．AF⊥DE
7．（3分）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（3，0），（5，0），（1，4），则点D的坐标为（ ）
A．（7，4）B．（6，4）C．（5，4）D．（4，4）
8．（3分）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AD上和AD延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，下列结论不正确的是（ ）
A．△BDF≌△CDEB．△ABD和△ACD面积相等
C．∠BAD＝∠CADD．BF∥CE
10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝34°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）度．
A．68B．58C．34D．17
11．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．10C．15D．16
12．（3分）如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A是射线OP上一点，OA＝2，以OA为边在OP右侧作∠AOF＝17°，且满足OF＝4，若点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），连接AB．作△AOB的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为（ ）
A．90°B．67°C．62°D．68°
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中第15小题第一空1分，第二空2分；第16小题每空1分)
13．（3分）如图所示的方格中，∠1+∠2＝ °．
14．（3分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB点F，G．若∠B＝50°，∠D＝25°，则∠AFG的度数为 °．
15．（3分）如图，已知AD∥BC，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＝60°，β＝50°，则∠FEM的度数为 ，∠EMF的度数为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F，连接FA，FB，FC．
（1）若△CMN的周长为15cm，△FAB的周长为33cm，则AB的长为 cm，FC的长为 cm；
（2）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 ．
三、解答题(本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC＝115°，求∠BCF的度数．
18．（6分）如图，在所给正方形网格（每个小正方格的边长均为1）中按要求完成下列各题．
（1）格点△ABC（顶点均在网格线的交点上）的面积为 ；
（2）图出格点△ABC关于直线l对称的△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F）．
19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝16，CE＝7，求AE的长．
20．（8分）如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长；
（2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为18，求△CFD的面积．
22．（10分）已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝8，AC＝6，求BE的长．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AC＝AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a（a＞0）个单位的速度由点C向点A运动．设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．
（1）线段PC＝ （用含t的代数式表示）；
（2）若点P，Q的运动速度相等，t＝1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
24．（12分）【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
2024-2025学年河北省石家庄市行唐县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（3分）下列消防标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
【解答】解：A，C，D不是轴对称图形，B是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】直接利用关于y轴对称点的特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）得出答案．
【解答】解：点P（2，1）关于y轴对称的点P′的坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的特点，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
3．（3分）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
4．（3分）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
5．（3分）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（ ）
A．∠A＝∠EB．∠C＝∠EC．∠B＝∠E+∠FD．∠D＝∠A+∠B
【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和进行判断即可．
【解答】解：根据图形可知：∠A≠∠E，∠C≠∠E，∠B≠∠E+∠F，
∵∠D相当于△ABC的外角，
∴∠D＝∠A+∠B，故选项A、B、C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角性质是关键．
6．（3分）如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠MAF＝∠NAFB．EF＝DFC．∠DAF＝∠DFAD．AF⊥DE
【分析】利用基本作图得到AF平分∠MAN，则根据角平分线的画法可对选项进行一一判断．
【解答】解：角平分线的作法如下：①以点A为圆心，AD长为半径作弧，分别交AM、AN于点D、E；
②分别以点D、E为圆心，DF长为半径作弧，两弧在∠MAN内相交于点F；
③作射线AF，AF即为∠MAN的平分线．
根据角平分线的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，∠MAF＝∠NAF，
根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE，
故选：C．
【点评】本题考查了用直尺和圆规作角平分线的方法，掌握画法是解题的关键．
7．（3分）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（3，0），（5，0），（1，4），则点D的坐标为（ ）
A．（7，4）B．（6，4）C．（5，4）D．（4，4）
【分析】由点A与点B对称，求得对称轴为x＝4直线，再根据点C与点D对称，即可求解．
【解答】解：∵A（3，0）和B（5，0）对称，
∴对称轴直线为：，
∵C（1，4）与点D关于x＝4对称，
∴D（7，4），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟知轴对称的性质是解题的关键．
8．（3分）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
【分析】设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x，由BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，求出x的取值范围，即可解答．
【解答】解：设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为x，
根据题意得：AB＝2m，BC＝8m，CD＝3m，
∵BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，即5m＜AB+x＜11m，
∴3m＜x＜9m，
∴在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为4m，
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，利用三边关系确定第三边的取值范围．
9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在AD上和AD延长线上，且DE＝DF，连接BF，CE，下列结论不正确的是（ ）
A．△BDF≌△CDEB．△ABD和△ACD面积相等
C．∠BAD＝∠CADD．BF∥CE
【分析】根据三角形的中线定义得BD＝CD，由此可依据“SAS”判定△BDF和△CDE全等，据此可对选项A进行判断；根据BD＝CD得△ABD的边BD和△ACD的边CD上的高相同，据此可对选项B进行判断；根据AD是△ABC的中线，不一定是△ABC的角平分线可对选项C进行判断；根据△BDF和△CDE全等得∠DBF＝∠DCE，再根据平行线的判定可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），
故选项A正确，不符合题意；
∵BD＝CD，
∴△ABD的边BD和△ACD的边CD上的高相同，
∴△ABD和△ACD面积相等，
故选项B正确，不符合题意；
∵AD是△ABC的中线，
∴AD不一定是△ABC的角平分线，
∴∠BAD和∠CAD不一定相等，
故选项C不正确，符合题意；
∵△BDF≌△CDE，
∴∠DBF＝∠DCE，
∴BF∥CE，
故选项D正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定，理解三角形的中线，等底同高的两个三角形的面积相等是解决问题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝34°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）度．
A．68B．58C．34D．17
【分析】根据折叠得出∠D＝∠B＝34°，根据三角形的外角性质得出∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，求出∠1＝∠B+∠2+∠D即可．
【解答】解：∵∠B＝34°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴∠D＝∠B＝34°，
∵∠1＝∠B+∠BEF，∠BEF＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠B+∠2+∠D，
∴∠1﹣∠2＝∠B+∠D＝34°+34°＝68°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外角性质和折叠的性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
11．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．10C．15D．16
【分析】根据对称性和等腰三角形的性质，连接AD交EF于点M，此时△CDM周长最小，进而可求解．
【解答】解：如图：
连接AD交EF于点M，
∵等腰△ABC的底边BC长为6，
点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝3，
∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，
∴AM＝CM，
此时△CDM的周长为：CM+DM+CD＝AM+DM+CD＝AD+CD
CD的长为3固定，
∴根据两点之间线段最短，
△CDM的周长最小．
∵S△ABC＝BC•AD，
∴×6•AD＝36，
∴AD＝12，
∴AD+CD＝12+3＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用线段垂直平分线的性质．
12．（3分）如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A是射线OP上一点，OA＝2，以OA为边在OP右侧作∠AOF＝17°，且满足OF＝4，若点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），连接AB．作△AOB的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为（ ）
A．90°B．67°C．62°D．68°
【分析】连接OC，过C作CD⊥OP于点D，作CE⊥ON于点E，作CG⊥AB于点G，根据角平分线性质得到CD＝CG，CE＝CG，得到CD＝CE，得到OC平分∠PON，得到∠AOC＝45°，求出∠COF＝28°，当CF⊥OC时，CF最小，∠OCF＝90°．得到∠OFC＝62°．
【解答】解：如图，连接OC，过C作CD⊥OP于点D，作CE⊥ON于点E，作CG⊥AB于点G，
∵AC平分∠BAP，BC平分∠ABN，
∴CD＝CG，CE＝CG，
∴CD＝CE，
∴OC平分∠PON，
∴∠AOC＝45°，
∵∠AOF＝17°，
∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝28°，
∴当CF⊥OC时，CF最小，∠OCF＝90°．
∴∠OFC＝90°﹣∠COF＝62°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线．熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理，垂线段最短，根据角平分线构造垂线，是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中第15小题第一空1分，第二空2分；第16小题每空1分)
13．（3分）如图所示的方格中，∠1+∠2＝ 90 °．
【分析】证明△ABC≌△DEA（SAS），得∠BAC＝∠1，再由直角三角形的性质得∠BAC+∠2＝90°，即可得出结论．
【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠BAC＝∠1，
在Rt△ABC中，∠BAC+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（3分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC，AB点F，G．若∠B＝50°，∠D＝25°，则∠AFG的度数为 80 °．
【分析】根据CE∥AB，可得∠B＝∠DCE，再利用SAS证得△ABC≌△DCE；根据三角形外角的性质可得∠AGD＝50°+25°＝75°，再由△ABC≌△DCE，可得∠A＝∠D＝25°，再利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
∵∠B＝50°，∠D＝25°，
∴∠AGD＝50°+25°＝75°，
∵△ABC≌△DCE，
∴∠A＝∠D＝25°，
∴∠AFG＝180°﹣∠AGF﹣∠A＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的外角性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
15．（3分）如图，已知AD∥BC，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＝60°，β＝50°，则∠FEM的度数为 60° ，∠EMF的度数为 40° ．
【分析】由平行线的性质推出∠DEG＝∠EGB＝60°，∠AFH＝∠FHC＝50°，由折叠的性质得到∠DEG＝∠MEG＝60°，∠AFH＝∠MFH＝50°，由平角定义求出∠FEM＝60°，∠EFM＝80°，由三角形内角和定理即可求出∠EMF的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEG＝∠EGB＝60°，∠AFH＝∠FHC＝50°，
由折叠的性质得到：∠DEG＝∠MEG＝60°，∠AFH＝∠MFH＝50°，
∴∠FEM＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠EFM＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠EMF＝180°﹣∠FEM﹣∠EFM＝40°．
故答案为：60°，40°．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出∠DEG＝∠EGB，∠AFH＝∠FHC，由折叠的性质得到∠DEG＝∠MEG，∠AFH＝∠MFH．
16．（3分）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F，连接FA，FB，FC．
（1）若△CMN的周长为15cm，△FAB的周长为33cm，则AB的长为 15 cm，FC的长为 9 cm；
（2）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 40° ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB，再由DF，EF分别垂直平分AC和BC，求出FA＝FC，FB＝FC即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得AM＝CM，BN＝CN，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm，
∵△FAB的周长为33cm，
∴FA+FB+AB＝33cm，
∴FA+FB＝18cm，
∵DF，EF分别垂直平分AC和BC，
∴FA＝FC，FB＝FC，
∴2FC＝18cm，
∴FC＝9cm，
故答案为：15；9；
（2）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴∠CAB＝∠ACM，∠ABC＝∠BCN，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°，
∴∠CAB+∠ABC＝70°，
∴∠CAB+∠ABC+∠ACM+∠BCN＝140°，
∴∠MCN＝40°，
故答案为：40°．
【点评】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用．
三、解答题(本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（6分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE为角平分线，若∠BFC＝115°，求∠BCF的度数．
【分析】首先根据三角形的高的定义可得∠BDC＝90°，再结合“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得∠DBF＝∠BFC﹣∠BDC＝25°，由角平分线的定义可知∠ABC＝2∠DBF＝50°，然后结合三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵CD是AB边上的高，
∴∠BDC＝90°，
∵∠BFC＝115°，
∴∠DBF＝∠BFC﹣∠BDC＝25°，
∵BE为角平分线，
∴∠ABC＝2∠DBF＝50°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝40°．
【点评】本题主要考查了三角形的高、三角形的角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
18．（6分）如图，在所给正方形网格（每个小正方格的边长均为1）中按要求完成下列各题．
（1）格点△ABC（顶点均在网格线的交点上）的面积为 10 ；
（2）图出格点△ABC关于直线l对称的△DEF（点A，B，C的对应点分别为D，E，F）．
【分析】（1）根据三角形的面积公式解答即可；
（2）根据轴对称的性质画出图形即可．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝，
故答案为：10；
（2）如图所示：
【点评】本题考查轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
19．（8分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且∠B＝∠CED．若AB＝16，CE＝7，求AE的长．
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质得出DC＝DF，证明△DCE≌△DFB，得出BF＝CE，求出AF，由HL证明Rt△ADC≌Rt△ADF，得出AC＝AF，即可求出结果．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DC＝DF，
在△DCE和△DFB中，
，
∴△DCE≌△DFB（AAS），
∴BF＝CE＝7，
∴AF＝AB﹣BF＝16﹣7＝9，
在Rt△ADC与Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），
∴AC＝AF＝9，
∴AE＝AC﹣CE＝9﹣7＝2．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
20．（8分）如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN＝12cm，求△PEF的周长；
（2）若∠C+∠D＝134°，求∠HPG的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质，将△PEF的周长转变为MN的长．
（2）由∠C+∠D的度数得出∠A+∠B的度数之和，再根据PG⊥AD，PH⊥BC即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点P与点M关于AD对称，点P与点N关于BC对称，
∴EM＝EP，FP＝FN，
∴C△PEF＝PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝12（cm）．
（2）∵∠C+∠D＝134°，
∴∠A+∠B＝360°﹣134°＝226°．
又∵PG⊥AD，PH⊥BC，
∴∠PGA＝∠PHB＝90°，
∴∠HPG＝540°﹣90°﹣90°﹣226°＝134°．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．
（1）求证：AF＝BE；
（2）若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为18，求△CFD的面积．
【分析】（1）由∠AFC＝180°﹣∠2，∠BEA＝180°﹣∠1，且∠1＝∠2，得∠AFC＝∠BEA，再推导出∠ACF＝∠BAE，而AC＝BA，即可根据“AAS”证明△ACF≌△BAE，则AF＝BE；
（2）由△ACF≌△BAE，得S△ACF＝S△BAE，由CD＝2BD，求得S△ABD＝6，S△ACD＝12，则S△ACF＝S△BAE＝S△ABD﹣S△BDE＝4.6，求得S△CFD＝S△ACD﹣S△ACF＝7.4．
【解答】（1）证明：∵∠AFC＝180°﹣∠2，∠BEA＝180°﹣∠1，且∠1＝∠2，
∴∠AFC＝∠BEA，
∵∠2＝∠CAF+∠ACF，∠BAC＝∠CAF+∠BAE，且∠2＝∠BAC，
∴∠CAF+∠ACF＝∠CAF+∠BAE，
∴∠ACF＝∠BAE，
在△ACF和△BAE中，
，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴AF＝BE．
（2）解：由（1）得△ACF≌△BAE，
∴S△ACF＝S△BAE，
∵CD＝2BD，
∴S△ACD＝2S△ABD，
∴S△ABD+2S△ABD＝S△ABC＝18，
∴S△ABD＝6，S△ACD＝12，
∵S△BDE＝1.4，
∴S△ACF＝S△BAE＝S△ABD﹣S△BDE＝6﹣1.4＝4.6，
∴S△CFD＝S△ACD﹣S△ACF＝12﹣4.6＝7.4，
∴△CFD的面积为7.4．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明△ACF≌△BAE是解题的关键．
22．（10分）已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝8，AC＝6，求BE的长．
【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线的性质得出BD＝CD，再由角平分线的性质得出DE＝DF，然后由HL证得Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得出结论；
（2）由HL证得Rt△ADE≌Rt△ADF，得出AE＝AF，则AB﹣BE＝AC+CF，推出BE+CF＝AB﹣AC＝2，即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵D在BC的垂直平分线上，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∠BED＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB﹣BE＝AC+CF，
∴BE+CF＝AB﹣AC＝8﹣6＝2，
∵BE＝CF，
∴．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，关键是全等三角形判定定理的应用．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AC＝AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a（a＞0）个单位的速度由点C向点A运动．设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．
（1）线段PC＝ 6﹣2t （用含t的代数式表示）；
（2）若点P，Q的运动速度相等，t＝1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
【分析】（1）依题意得BP＝2t，再根据BC＝6可得出线段PC的长；
（2）根据t＝1得BP＝CQ＝2，则PC＝BC﹣BP＝4，再根据点D为AB的中点得DB＝4，进而得DB＝CP＝4，然后依据“SAS”判定△BPD与△CQP全等即可．
【解答】解：（1）依题意得：BP＝2t，
∵BC＝6，
∴PC＝BC﹣BP＝6﹣2t，
故答案为：6﹣2t；
（2）当t＝1时，△BPD与△CQP全等，理由如下：
依题意得：BP＝2，CQ＝2，
∴BP＝CQ＝2，PC＝BC﹣BP＝4，
∵AC＝AB＝8，点D为AB的中点，
∴DB＝AB＝4，
∴DB＝CP＝4，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，列代数式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
24．（12分）【问题背景】
在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 EF＝BE+FD ．
【探索延伸】
在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【分析】探索延伸：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案；
结论运用：连接EF，延长AE、BF交于点C，得到EF＝AE+BF，根据距离、速度和时间的关系计算即可．
【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD，
探索延伸：结论仍然成立，
证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°
∴∠B＝∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG，
∴FG＝DG+FD＝BE+DF；
结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠AOB，
∵OA＝OB，
∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
D
C
D
C
A
D
C
A
C
题号
12
答案
C