四川省眉山市东坡区实验初级中学2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟测试-A4

这是一份四川省眉山市东坡区实验初级中学2024-2025学年九年级上学期数学期末模拟测试-A4，共10页。试卷主要包含了下列计算错误的是，将抛物线y＝A，下列说法正确的是A等内容，欢迎下载使用。
1．下列计算错误的是（ ）
A．B．3C．D．
2．将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（ ）A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
3．下列各式中与是同类二次根式的是（ ）A． B．C． D．
4．如图，△ABC中，∠ABD＝∠CBD，AE＝CE，AD⊥BD．若DE＝5，AB＝8，则BC的长为（ ）
A．19B．18C．17D．10
5．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
6．下列说法正确的是（ ）A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等
7．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且OC＝2BC，则k的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣D．
8．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（ ）
A．2 B．4 C．6D．8
10．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则csα的值是（ ）A．B．C．D．
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．a＜0B．4a+2b+c＞0C．c＞0 D．当x＝1时，函数有最小值
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，∠AFD＝90°，则下列结论：①∠AED＝∠OBC；②AF＝CF ③S△ADF＝S△AFC；④CD2＝4AE•EF，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共6小题）
13．如图是拦水坝的横断面，斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度AE＝12米，则斜坡AB的铅直高度BE的长为 米．
14．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝a（x+2）2+c（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ．
15．若α，β均为锐角，且|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则α+β＝ °．
16．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是 ．
17．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
三．解答题
19．计算：；20. 解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
38．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；（2）若x1，x2满足，求a的值．
39．某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率．
40．某网店专售一种杭州亚运会纪念品，其成本为每件60元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品每件获利不得高于50%据市场调查发现，若每件销售价70元，月销售量450件，每增加1元，月销量减少5件．
（1）若每件销售价80元，则每月可得利润 元；
（2）设每件商品销售价为x元，该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
41．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
42．如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，E为BC上一点，BE＝4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动．连DF，DE，EF，过E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D，E，F在同一直线的情况）．（1）当AF＝CE时，试求出BH的长．
（2）当F在线段AB上时，设△DEF面积为S，△DEF周长为W．①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，W有最小值．
（3）当△BEF与△BEH相似时，求t的值．
43．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
一．选择题
1．下列计算错误的是（ ）
A．B．3C．D．
【解答】解：A．÷2＝2÷2＝，故选项A正确，不符合题意；
B．3与2不能合并，故选项B错误，符合题意；
C．＝，故选项C正确，不符合题意；
D．＝2＝，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
2．将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），
而点（1，5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（﹣1，2），
所以抛物线y＝（x﹣1）2+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y＝x2+2x+3．
故选：D．
3．下列各式中与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、＝2，与不是同类二次根式，本选项错误；
B、＝，与是同类二次根式，本选项正确；
C、＝2，与不是同类二次根式，本选项错误；
D、＝3，与不是同类二次根式，本选项错误．
故选：B．
4．如图，△ABC中，∠ABD＝∠CBD，AE＝CE，AD⊥BD．若DE＝5，AB＝8，则BC的长为（ ）
A．19B．18C．17D．10
【解答】解：如图，延长AD交BC于点F，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠BDF＝90°，
在△BAD和△BFD中，
，
∴△BAD≌△BFD（ASA），
∴AD＝DF，BF＝AB＝8，
∵AE＝CE，AD＝DF，
∴FC＝2DE＝10，
∴BC＝BF+FC＝18，
故选：B．
5．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
【解答】解：A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，此选项说法错误；
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616，此选项说法正确；
C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，此选项说法错误；
D．试验得到的频率与概率可能相等，此选项说法错误；
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且OC＝2BC，则k的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣D．
【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵＝，
∴＝，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOB＝，
∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，
∵双曲线y＝在第二象限，
∴k＝﹣2×＝﹣3，
故选：A．
8．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），则下列结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＜0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＞0时，y随x的增大而增大，正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＞0时，y先随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝60°，
∴∠ACD＝∠B＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．
故选：C．
10．已知直线l1∥l2∥l3，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含45°的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则csα的值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图：过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，
设l1、l2、l3 间的距离为d＝1，
∵AD⊥l3，BE⊥l3，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CE＝AD＝2，
在Rt△BCE中，，
∴．
故选：C．
11．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．4a+2b+c＞0
C．c＞0
D．当x＝1时，函数有最小值
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，所以A选项错误；
∵x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以B选项错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，所以C选项错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，函数有最小值，所以D选项正确．
故选：D．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，∠AFD＝90°，则下列结论：①∠AED＝∠OBC；②AF＝CF ③S△ADF＝S△AFC；④CD2＝4AE•EF，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE+∠AED＝90°，∠ADB＝∠OBC，
∵∠AFD＝90°
∴∠DAE+∠ADB＝90°，
∴∠DAE+∠OBC＝90°，
∴∠AED＝∠OBC，即①正确；
②∵∠ADF+∠EDF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠EDF＝∠DAF，
∵∠ADE＝∠AFD＝90°，
∴△DAE∽△FDE，
∴DE：FE＝AE：DE，
又∵DE＝EC，
∴EC：FE＝AE：EC，
∵∠AEC＝∠FEC，
∴△AEC∽△CEF，
∴∠FAC＝∠ECF，
∵∠ACF＝∠ECF不一定成立，
∴∠ACF＝∠FAC不一定成立，
∴AF不一定等于FC，即②错误；
③如图，过C作CH⊥AE交AE的延长线于H，
∴∠DFE＝∠CHE＝90°，∠DEF＝∠CEH，
∵DE＝CE，
∴△DEF≌△CEH（AAS），
∴DF＝CH，
∴AF•DF＝AF•CH，
∴S△ADF＝S△AFC；
④由②得出DE：FE＝AE：DE，即DE2＝AE•EF，
∵DE＝CD，
∴（）2＝AE•EF，即CD2＝4AE•EF，故④正确；
综上，正确的有3个．
故选：C．
二．填空题
13．如图是拦水坝的横断面，斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度AE＝12米，则斜坡AB的铅直高度BE的长为 6 米．
【解答】解：根据题意，斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度AE＝12米，
即在Rt△ABE中，，
∴可有，
解得．
故答案为：6．
14．已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）三点都在二次函数y＝a（x+2）2+c（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 y2＜y1＜y3 ．
【解答】解：∵y＝a（x+2）2+c（a＞0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，开口向上，
而点B（﹣1，y2）离对称轴最近，点C（2，y3）离对称轴最远，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
15．若α，β均为锐角，且|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则α+β＝ 90 °．
【解答】解：∵|sinα﹣|≥0，（﹣tanβ）2≥0，
∴当|sinα﹣|+（﹣tanβ）2＝0，则sinα＝，tanβ＝．
又∵α，β均为锐角，
∴α＝30°，β＝60°．
∴α+β＝30°+60°＝90°．
故答案为：90．
16．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE＝BC＝AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝，
∴EF＝AF，
∴EF＝AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE＝DE，
∴EF＝DE，设EF＝x，则DE＝3x，
∴DF＝＝2x，
∴tan∠BDE＝＝＝；
故答案为：．
17．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝﹣（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为 ．
【解答】解：过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，则S△BEO＝6，S△OFA＝1，
∴∠BEO＝∠AFO＝90°，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°，
∴∠OBE＝∠AOF，
∴△BEO∽△OFA，
∴＝6，
∴＝，
∴tan∠BAO＝＝，
故答案为：．
18．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【解答】解：设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC于P′．
在Rt△ABC中，BC＝＝＝10，
∵∠OCP′＝∠ACB，∠OP′C＝∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴OP′＝，
当P与P′重合时，PQ的值最小，PQ的最小值＝2OP′＝．
三．解答题（共14小题）
19．计算：；
20解方程：3x（x﹣1）＝2x﹣2．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+（﹣4）+1﹣4×
＝2﹣﹣4+1﹣2
＝﹣1﹣3；
（2）3x（x﹣1）＝2x﹣2，
则3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x1，x2满足，求a的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3．
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵+﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
22．某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 200 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率．
【解答】解：（1）此次共调查的学生有：（名）；
（2）足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（名），补全统计图如图1：
（3）设“羽毛球”“篮球”“足球”分别为A、B、C，根据题意画树状图如图2：
共有9种等可能的情况，其中他俩选择相同项目的有3种，
则P（他俩选择相同项目）＝．
23．某网店专售一种杭州亚运会纪念品，其成本为每件60元，已知销售过程中，销售单价不低于成本单价，且物价部门规定这种商品每件获利不得高于50%据市场调查发现，若每件销售价70元，月销售量450件，每增加1元，月销量减少5件．
（1）若每件销售价80元，则每月可得利润 8000 元；
（2）设每件商品销售价为x元，该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
【解答】解：（1）若每件销售价80元，则每月可得利润（80﹣60）×（450﹣5×10）＝8000（元），
故答案为：8000；
（2）设每件商品销售价为x元，
则每件的利润为（x﹣60）元，销售量为450﹣5×（x﹣70）＝800﹣5x（件），
所以该网店每月获得的利润为w＝（x﹣60）（800﹣5x）
＝﹣5x2+1100x﹣48000
＝﹣5（x﹣110）2+12500，
∵每件获利不得高于50%，
∴x≤60×（1+50%）＝90，
∵﹣5＜0，
∴当x＜110时，w随x的增大而增大，
∴当x＝90时，w取得最大值，最大值为10500元．
答：当销售单价为90元时，每月获得的利润最大，最大利润是10500元．
24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥DB，
∴∠DAB＝45°，
∴BD＝AD，
设DC＝x，则BD＝BC+DC＝90+x，
∴AD＝90+x，
∴tan58°＝＝＝1.60，
解得：x＝150，
∴AD＝90+150＝240（米），
答：最高塔的高度AD约为240米．
25．如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝9，E为BC上一点，BE＝4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动．连DF，DE，EF，过E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t（不考虑D，E，F在同一直线的情况）．
（1）当AF＝CE时，试求出BH的长．
（2）当F在线段AB上时，设△DEF面积为S，△DEF周长为W．
①求S与t的函数关系式；
②当t为何值时，W有最小值．
（3）当△BEF与△BEH相似时，求t的值．
【解答】解：（1）∵BC＝AD＝9，BE＝4，
∴CE＝9﹣4＝5，
∵AF＝CE，
即：3t＝5，
∴，
∵EH∥DF，
∴∠DFA＝∠EHB，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠CBH＝90°，
∴△DAF∽△EBH，
∴，即，
解得：，
当AF＝CE，此时；
（2）①∵EH∥DF，
∴△DFE的面积＝△DFH的面积＝，
即；
②如图，
∵BE＝4，
∴CE＝5，
根据勾股定理得：，是定值，
∴当W最小时DE+EF最小，作点E关于AB的对称点E′，
连接DE′，此时DE+EF最小，
在Rt△CDE′中，CD＝12，CE′＝BC+BE′＝9+4＝13，
根据勾股定理得：DE'＝＝，
∴W的最小值为；
（3）∵EH∥DF，
∴∠AFD＝∠BHE，
又∵∠A＝∠CBH＝90°，
∴△EBH∽△DAF，
∴，即，
∴，
当点F在点B的左边时，
即t＜4时，BF＝12﹣3t，
此时，当△BEF∽△BHE时，，即，
解得：t＝2；
此时，当△BEF∽△BEH时，有BF＝BH，即，
解得：；
当点F在点B的右边时，即t＞4时，BF＝3t﹣12，
此时，当△BEF∽△BHE时，，
即，
解得：；
综上，t＝2或或．
26．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），
在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝∠CBO＝45°，
∵PE∥OC，PF∥x轴，
∴∠PEF＝∠BCO＝45°，∠PFE＝∠CBO＝45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴S△PEF＝PE•PF＝PE2，
∴当PE最大时，S△PEF最大，
由C（0，3），B（3，0）可得直线BC解析式为y＝﹣x+3，
∴E（m，﹣m+3），
∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，PE最大为，
此时P（，），S△PEF＝×（）2＝；
∴△PEF面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；
（3）抛物线上存在点Q，使∠CBQ+∠ACO＝45°，理由如下：
作A（﹣1，0）关于y轴的对称点K（1，0），当Q在BC上方时，连接CK，过B作CK的平行线CT交抛物线于Q，如图：
∴∠ACO＝∠KCO，
由（2）知，∠BCK+∠KCO＝45°，
∴∠BCK+∠ACO＝45°，
∵BT∥CK，
∴∠CBQ＝∠BCK，
∴∠CBQ+∠ACO＝45°，
由C（0，3），K（1，0）可得直线CK解析式为y＝﹣3x+3，
设直线BT解析式为y＝﹣3x+t，把B（3，0）代入得：0＝﹣9+t，
解得t＝9，
∴直线BT解析式为y＝﹣3x+9，
联立，
解得或，
∴Q（2，3）；
当Q'在BC下方时，设BQ'交CK于W，
同理可知，∠CBW＝∠BCW，
∴CW＝BW，
设W（n，﹣3n+3），
∵C（0，3），B（3，0），
∴n2+（﹣3n+3﹣3）2＝（n﹣3）2+（﹣3n+3）2，
解得n＝，
∴W（，），
由W（，），B（3，0）得直线BW解析式为y＝﹣x+1，
联立，
解得或，
∴Q'（﹣，）；
综上所述，Q的坐标为（2，3）或（﹣，）．