山东省临沂第十八中学2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷（2）-A4

这是一份山东省临沂第十八中学2024-2025学年高二上学期数学期末模拟卷（2）-A4，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知平面内两定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．抛物线B．椭圆C．圆D．直线
2．如图，在直三棱柱中，，分别为棱AB，的中点.设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，为 内一点，记，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的中心是坐标原点，是椭圆的焦点.若椭圆上存在点，使是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知各项均为正数的等比数列满足：，则（ ）
A．60 B．32 C．15 D．20
7．双曲线的光学性质：光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ）
A． B． C．D．
8．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆有3条公切线，则
B．若两圆公共弦长为，则
C．若两圆公共弦所在的直线方程为，则
D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则
10．已知数列满足，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列的最小项为4D．的前项和为
11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
13．在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为 ．
14．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）在等比数列{an}中，a1最小，且a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项和Sn＝126，求n和公比q．
16．（15分）已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点且被圆C截得的弦长为2的直线方程．
17．（15分）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．
(1)证明：平面；
(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．
18．（17分）已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
19．（17分）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线的方程；
(2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．
2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷（2）参考答案
8【解析】因为，，，…，，
以上个式子累加可得，，
时也满足上式，故，
对选项A：，错误；
对选项B：，错误；
对选项C：，错误；
对选项D：，
，正确；故选：D.
11【解析】易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．
对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；
对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确．故选：BD．
三、填空题：12．2 13． 14．6
四、解答题：15．（13分）因为{an}为等比数列，所以a1an＝a2an－1，从而 且a1≤an，
解得a1＝2，an＝64．依题意知q≠1以及Sn＝126，即＝126，得q＝2．又＝64，故n＝6．
16．（15分）【详解】（1）设圆C的标准方程为（2分）
圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，
，解方程组得；（5分）
所以圆C的标准方程为（6分）
（2）当直线l的斜率存在时，设直线的方程为：，
圆心到直线l的距离，（8分）
所以，解得，（12分）
所以直线l的方程为（13分）
当直线l的斜率不存在时，直线的方程为：符合题意
所以直线l的方程为或.（15分）
17．（15分）【解析】（1）证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．
因为是圆柱的母线，所以且，
所以四边形是平行四边形． （3分）
所以，所以．因为是圆柱的母线，
所以平面， （5分）
又因为平面，所以．又因为，
平面，所以平面． （6分）
（2）由（1）知是三棱锥底面上的高，
由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．
设，则在中有：，（8分）
所以， （9分）
当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，
三棱锥的体积最大， （10分）
由（1）知两两相互垂直，如图，以点E为原点，所在直线
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则． （11分）
由（1）知平面，故平面的法向量可取为．
设平面的法向量为，
由， （12分）
得，即，即，取，得．（13分）
设二面角的平面角为，
， （14分）
所以二面角的正弦值为 （15分）
18．（17分）【解析】（1）由，
得．
，所以，所以（3分）
即，两边同除以得，
故是首项为，公差为2的等差数列．（5分）
则，由，得，
故，于是．（7分）
（2）依题意，，（9分）
，
， （13分）
． （17分）
19．（17分）【解析】（1）依题意，，焦半径， （1分）
由，得，得，（2分）
解得：（其中舍去）， （3分）
所以，
故双曲线的方程为； （5分）
显然直线不可能与轴平行，
故可设直线的方程为， （6分）
联立，消去整理得， （8分）
在条件下，设，，
则，， （9分）
由，得， （10分）
即， （11分）
整理得， （12分）
代入韦达定理得，， （13分）
化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， （14分）
则直线的方程为，得， （15分）
又都在双曲线的右支上，故有，，
此时，， （16分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
D
B
A
D
A
B
D
ACD
ABD
BD