新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念（分层精练）（2份，原卷版+解析版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）某钟表里分针按正常方式走了2小时 20 分， 则对应时针转过的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】利用任意角的概念可得，顺时针方向旋转角为负角，
一小时时针转过的角度为，2小时 20 分相当于小时，
所以对应时针转过的弧度数.
故选：B
2．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）若是第二象限角，则一定是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【详解】由与的终边关于x轴对称，
可知若是第二象限角，则一定是第三象限角．
故选：C．
3．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为角的终边经过点，
所以.
故选：A.
4．（2023春·北京·高一北京二十中校考阶段练习）若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由三角函数的定义可知，
故选:C
5．（2023秋·安徽芜湖·高一统考期末）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由已知，，
扇面面积为
故选：B．
6．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若，则实数的值为（ ）
A． B．4C． 或3D．－4或4
【答案】D
【详解】因为，所以，
因为的终边过点，所以，解得，
故选：D
7．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意可知，作出图示如下：
根据题意可得，，作轴且垂足为；
利用三角函数定义可得，；
又点在第四象限，所以点的坐标为.
故选：C
8．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知角的终边经过点，且，则实数m的值是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【详解】由三角函数的定义得，
解得
故选：A
二、多选题
9．（2023秋·湖南娄底·高一校考期末）孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图2），已知，则（ ）
A．B．弧的长为
C．该平面图形的周长为D．该平面图形的面积为
【答案】ACD
【详解】如图，分别延长与交于点O，
易得，得，
所以为等边三角形，，
所以，得，
该平面图形的周长为，
面积为．
故选：ACD.
10．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）的值可能是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】ACD
【详解】当是第一象限角时，均大于0，；
当是第二象限角时，大于0，小于0，；
当是第三象限角时，小于0，大于0，；
当是第四象限角时，小于0，大于0，；
故选：ACD
三、填空题
11．（2023春·河北石家庄·高一石家庄二十三中校考开学考试）斐波那契螺旋线被称为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8……为边长的正方形按如图的方式拼成长方形，并以每个正方形的某一顶点为圆心画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧连成的弧线被称为斐波那契螺旋线，图中的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形ABCD的面积之比为________．
【答案】##
【详解】由题意知，矩形的面积为，
而阴影部分的面积为，
所以阴影部分的面积与矩形的面积之比为.
故答案为：.
12．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）定义：角与都是任意角，若满足，则称α与β“广义互余”，已知，若角与角 “广义互余”，则角___________.（写出满足条件的一个角的值即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为,所以或，
根据“广义互余”定义, ,
所以或，
可取等,答案不唯一.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知扇形的圆心角为，面积为，求弧的长，并求含于扇形内，且以为弦的弓形面积．
【答案】弧的长为，弓形面积为
【详解】解：设扇形的半径为，圆心角为，
因为扇形的圆心角为，面积为，
所以，根据扇形面积公式得，解得，
所以，弧的长为，
，
所以，含于扇形内，且以为弦的弓形面积为.
14．（2023·高一课时练习）已知扇形的周长为30．
(1)若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
(2)求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
【答案】(1)，，；
(2)，.
【详解】（1）由题知扇形的半径，扇形的周长为30，
∴，
∴，，.
（2）设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，
∴，
∴
当且仅当，即取等号，
所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.
15．（2023春·上海奉贤·高一校考阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，求的值．
【答案】
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，，
所以.
B能力提升
1．（2023春·山东潍坊·高一校考阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长，
则等边三角形的边长，
分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，
等边的面积，
所以莱洛三角形的面积是.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）拱券是教堂建筑的主要素材之一，常见的拱券包括半圆拱､等边哥特拱､弓形拱､马蹄拱､二心内心拱､四心拱､土耳其拱､波斯拱等.如图，分别以点A和B为圆心，以线段AB为半径作圆弧，交于点C，等边哥特拱是由线段AB，，所围成的图形.若，则该拱券的面积是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：设的长为.
所以扇形的面积为.
的面积为.
所以该拱券的面积为.
故选：D
3．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，即，
解得或，
因为，
所以.
故选：A．
4．（2023·高一课时练习）已知扇形的圆心角是，半径为.
（1）若，求扇形的弧长.
（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；（2），扇形的面积取得最大值25.
【详解】解：（1），.
（2）由已知得，，所以，
所以当时，取得最大值25，此时，.
5．（2023秋·浙江衢州·高一统考期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．（点不与原点重合）
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）∵，∴
∴或
（2）∵，∴
又∵,∴,即得
∴．
C综合素养
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对于正n边形，其圆心角为，面积为，对于正边形，其圆心角为，
面积为，由此可得，.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）2022年冬奥会在北京市和张家口市举行，北京也成为世界第一个“双奥”之城，北京冬奥会向世界展现了阳光､自信､开放､充满希望的中国形象，为世人留下许多精彩瞬间，其中“冰墩墩”给人留下了深刻印象，它的左手手心的爱心形状向世界表达了友好交流的寓意.如图，心形曲线可以表示为，A为曲线上一点，记OA与x非负半轴所成的角为，则当时，可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由三角函数的定义，得，代入曲线方程有，则，由选项：
若时，
若时，
若时，
若时，
故选：C.
3．（2023·高三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置为（0，1），此时圆上一点的位置为（0，0），该圆沿轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点的坐标为______.
【答案】
【详解】如图，作轴，，为垂足.
根据题意得劣弧，则，于是在中，，，，
可得点的横坐标为，点的纵坐标为，
所以点的坐标为.
故答案为：.
4．（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）如图所示，有一块扇形钢板，面积是平方米，其所在圆的半径为1米.
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)现在钢板上裁下一块平行四边形钢板，要求使裁下的钢板面积最大.设，试问如何确定的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
【答案】(1)
(2)是的中点，平方米
【详解】（1）依题意，，
设，则，，
即扇形圆心角的大小为.
（2）连接，设，过作，垂足为，
在中，，
所以，
设四边形的面积为，
则
，
由于，，，
所以当，时，取得最大值为（平方米）.
所以当是的中点时，裁下的钢板符合要求，最大面积为平方米.