新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第01讲 直线的方程(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc24661" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc24661 \h 1
\l "_Tc1200" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc1200 \h 4
\l "_Tc13053" 高频考点一：直线的倾斜角与斜率 PAGEREF _Tc13053 \h 4
\l "_Tc13291" 高频考点二：求直线的方程 PAGEREF _Tc13291 \h 7
\l "_Tc13268" 高频考点三：直线过定点问题 PAGEREF _Tc13268 \h 11
\l "_Tc31083" 高频考点四：与直线方程有关的最值问题 PAGEREF _Tc31083 \h 13
\l "_Tc12383" 高频考点五：直线方程的综合应用 PAGEREF _Tc12383 \h 16
第一部分：知识点必背
知识点一：直线的倾斜角
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；
特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点二：直线的斜率
1、我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角时，直线的斜率不存在.
2、如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
知识点三：直线方程的五种形式
1、直线的点斜式方程
2、直线的斜截式方程
3、直线的两点式方程
4、直线的截距式方程
5、直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：直线的倾斜角与斜率
典型例题
例题1．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线的倾斜角是 ．
【答案】/
【详解】因为过两点的直线的斜率为：，
因为，是直线的倾斜角，且
所以直线的倾斜角为：．
故答案为：.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：设直线的倾斜角分别为，
由题图知，直线的倾斜角为钝角，.
又直线的倾斜角均为锐角，且，
，
.
故选：D.
例题3．（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【详解】
直线恒过定点，且，，由图可知，或.
故选：C.
例题4．（多选）（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
【答案】BC
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
练透核心考点
1．（2023秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为直线与垂直，且，
所以，解得，
设的倾斜角为，，所以.
故选：A.
2．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线的倾斜角为，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】已知直线的倾斜角为，
则直线的斜率为，
则.
故选：B.
3．（2023春·山东临沂·高二统考期末）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】直线的斜率，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：A
4．（2023·全国·高二专题练习）已知，，若直线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由于直线 的斜率为， 且经过定点， 设此定点为.
而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
要使直线与线段有公共点，只需.
故选 ：C.
高频考点二：求直线的方程
典型例题
例题1．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.
故选：D
例题2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 .
【答案】或
【详解】由题知，若在轴、轴上截距均为，
即直线过原点，又过，则直线方程为；
若截距不为，设在轴、轴上的截距为，
则直线方程为，
又直线过点，
则，解得，
所以此时直线方程为.
故答案为：或
例题3．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知点求：
(1)边上的中线所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线方程；
(3)边的垂直平分线的方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
的中点坐标为，且
所以BC边上的中线所在直线的方程：
（2）BC的斜率：，
所以BC边上的高所在直线方程的斜率：
BC边上的高所在直线方程：
即：.
（3）由前两问知：的中点坐标为，.
BC边的垂直平分线的斜率：，
BC边的垂直平分线的方程:
即：
例题4．（2023秋·高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是，经过点；
(2)经过点，平行于轴；
(3)在轴和轴上的截距分别是；
(4)经过两点；
(5)在轴上的截距是，倾斜角是；
(6)倾斜角为，与轴的交点到轴的距离是3．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)或
【详解】（1）由点斜式得，即.
（2）因为直线平行于轴，所以斜率等于，
由点斜式得，即.
（3）因为在x轴和y轴上的截距分别是；
所以直线方程的截距式为：，即.
（4）由两点式得，即.
（5）斜率，
由点斜式得，即.
（6）斜率为，
因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在轴上的截距为，
所以所求直线方程为或，即或.
练透核心考点
1．（2023秋·湖北·高二统考期末）经过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】直线的斜率为，两直线平行，故所求直线方程为.
整理得：.
故选：D
2．（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）求满足下列条件的直线方程：
(1)过点，与直线平行；
(2)过点，与直线垂直．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为直线的斜率为，所求直线与直线平行，
所以所求直线的斜率是，
因为所求直线过点，
所以所求的直线方程是，即；
（2）因为直线的斜率为，
所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率是，
因为所求直线过点，
所以直线方程为，即.
3．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限，若，，，，求：
(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边所在直线的点斜式方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示，

直线过点，，可得直线与轴平行，
故边所在直线的方程为
（2）由可得直线的倾斜角为，
故斜率，
故所在直线的方程为．
4．（2023·高二课时练习）已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．
(1)BC边上的高线的方程；
(2)BC边的垂直平分线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以BC边上的高线的斜率 ，
故BC边上的高线的方程为：,
即所求直线方程为：.
（2）因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率 ，
又BC的中点为，
故BC边的垂直平分线的方程为：，
即所求直线方程为：.
高频考点三：直线过定点问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）不论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】直线方程可整理为：，
则由得：，即直线恒过定点.
故选：B.
例题2．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）直线（）必过点 .
【答案】
【详解】直线方程（）可化为，
（），
∴由，解得，
∴直线（）必过定点.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·江苏·高二假期作业）求证：不论为何实数，直线都恒过一定点．
【答案】证明见解析
【详解】证法一（特殊值法）：取，得到直线，
取，得到直线，
故与的交点为．
将点代入方程左边，
得，
∴点在直线上．
∴直线恒过定点．
证法二（分离参数法）：由，
整理，得．
则直线通过直线与的交点．
由方程组，得，
∴恒过定点．
2．（2023春·上海宝山·高二统考期末）若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为 .
【答案】
【详解】因为实数、、成等差数列，所以，即，
所以直线必过点.
故答案为：
高频考点四：与直线方程有关的最值问题
典型例题
例题1．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）当点到直线的距离取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】将直线转化为，
联立方程组，解得，所以直线经过定点，
当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，
此时，解得.
故选：C.
例题2．（2023·四川·校联考模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意，设，且
可得表示点与点连线的斜率，其中点为圆上的点，
如图所示，
在直角中，可得，可得直线的斜率为；
在直角中，可得，可得直线的斜率为，
所以的范围为.
故答案为：.

例题3．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知直线与曲线有两个交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】直线，得，可知直线过定点，
如图，曲线表示以为圆心，2为半径的上半圆．
当直线与半圆相切时，，解得．
曲线与轴负半轴交于点．
因为直线与曲线有两个交点，所以．
故答案为：.

练透核心考点
1．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是 ．
【答案】10
【详解】由得，故,由得,
由于直线与直线互相垂直，所以,
故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10
故答案为：10
2．（2023春·北京西城·高一北师大二附中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，，，点在线段上运动，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意可知线段满足的方程为，
设，则，
因为，
所以
，
因为，
所以当时，取得最小值，当时，取得最大值4，
所以的取值范围为，
故答案为：
3．（2023·浙江·模拟预测）已知直线与曲线有两个交点，则m的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，
又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的下半部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，
设，则，
由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，
即m的取值范围为.
故答案为：.
高频考点五：直线方程的综合应用
典型例题
例题1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.
(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），所在直线的斜率为：.
所在直线方程是，即；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由平行四边形的性质得点的坐标是，
是线段的中点，，，
于是有，，
点在线段上运动，
，
，即，
由得，
线段的中点的轨迹方程为.
例题2．（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）在三角形中，已知点，，.
(1)求边上中线所在的直线方程；
(2)若某一直线过点，且轴上截距是轴上截距的倍，求该直线的一般式方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）∵，，
∴线段的中点的坐标为，
又边上的中线经过点，∴，
即，
故边上中线所在的直线方程
（2）当直线在轴和轴上的截距均为0时，可设直线的方程为，
代入点，则，解得，
所以所求直线的方程为，即；
当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为，
代入点，则，解得，
所以所求直线的方程为，
综上所述，该直线的一般式方程为或.
例题3．（2023秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）直线经过两条直线和的交点，且_____．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与坐标轴围成的三角形面积．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
①与直线平行，②直线在轴上的截距为．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
直线与直线平行．
可设直线的方程，把代入可得，
直线的方程为，
选②直线经过两条直线和的交点，
，解得，，即，
由题意可知直线的斜率存在，设为且，
则过，
代入可得，
直线的方程，
（2）在直线中，
令可得，
令可得，
所以直线与坐标轴围成的三角形面积．
练透核心考点
1．（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）已知的三个顶点分别是A（4，0），B（6，6），C（0，2）．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求AB边的垂直平分线所在直线的方程．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）边所在的直线的斜率，
因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为．
又边上的高经过点，
所以边上的高所在的直线方程为，
即；
（2）边所在的直线的斜率，
所以边的垂直平分线的斜率为，
边中点E的坐标是，即，
所以AC边的垂直平分线的方程是
即．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求：
(1)边上的高所在直线的方程．
(2)直线的方程．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在中，，，，则直线AB的斜率为，
于是得边上的高所在直线斜率为，其方程为：，即，
所以边上的高所在直线的方程是：.
（2）因直线平行于，则直线的斜率为，又边的中点在直线上，
于是得直线的方程为：，即，
所以直线的方程为.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角为30°．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．
【答案】（1）yx﹣2；（2）2．
【详解】（1）根据题意，直线l的倾斜角为30°，则其斜率k＝tan30°，
又由直线经过点（0，﹣2），则其方程为y+2（x﹣0），即yx﹣2；
（2）根据题意，由（1）的结论，直线l的方程为yx﹣2，
与y轴交点坐标为（0，﹣2），与x轴的交点为（2，0），
则直线l与两坐标轴围成三角形的面积S2×22．
已知条件（使用前提）
直线过点和斜率（已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
已知条件（使用前提）
直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
已知条件（使用前提）
直线上的两点，（，）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件
斜率存在且不为0；
当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程
已知条件（使用前提）
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件
，