新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第03讲 空间直线、平面的平行(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21240" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc21240 \h 2
\l "_Tc20608" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc20608 \h 3
\l "_Tc29596" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc29596 \h 4
\l "_Tc22559" 高频考点一：线面平行的判定 PAGEREF _Tc22559 \h 4
\l "_Tc7749" 角度1：判断证明线面平行 PAGEREF _Tc7749 \h 4
\l "_Tc6452" 角度2：补全线面平行的条件 PAGEREF _Tc6452 \h 6
\l "_Tc1777" 高频考点二：面面平行的判断 PAGEREF _Tc1777 \h 11
\l "_Tc3597" 角度1：判断证明面面平行 PAGEREF _Tc3597 \h 11
\l "_Tc1013" 角度2：补全面面平行的条件 PAGEREF _Tc1013 \h 13
\l "_Tc19448" 高频考点三：线面平行的性质 PAGEREF _Tc19448 \h 18
\l "_Tc21610" 角度1：线面平行的性质 PAGEREF _Tc21610 \h 18
\l "_Tc16525" 角度2：由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置 PAGEREF _Tc16525 \h 19
\l "_Tc14058" 角度3：由线面平行求线段长度 PAGEREF _Tc14058 \h 20
\l "_Tc502" 高频考点四：面面平行的性质 PAGEREF _Tc502 \h 23
\l "_Tc15133" 角度1：面面平行证明线线平行 PAGEREF _Tc15133 \h 23
\l "_Tc4789" 角度2：面面平行证明线面平行 PAGEREF _Tc4789 \h 24
第一部分：知识点必背
知识点一：直线与平面平行
1、直线与平面平行的定义
直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行.
2、直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
3、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述：，，
知识点二：平面与平面平行
1、平面与平面平行的定义
两个平面没有公共点
2、平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
符号表述：
3、平面与平面平行的性质定理
3.1性质定理
两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号语言
3.2性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面
符号语言：
第二部分：高考真题回归
1．（2023·全国（乙卷文）·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
2．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：线面平行的判定
角度1：判断证明线面平行
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期中）若为平面，有下列命题，其中真命题的是（ ）
A．若直线平行于平面内的无数条直线，则
B．若直线在平面外，则平面
C．若直线，直线平面，则平面
D．若直线平面，则平行于平面内的无数条直线
例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023·全国·高三对口高考）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，则与的位置关系是_________．

例题4．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）在直三棱柱中，已知为的中点. 求证：平面.

例题5．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面ABCD，且

(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
角度2：补全线面平行的条件
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，为中点，点在上，满足，且面面．
(1)证明：面POD；
(2)若点为中点，问：直线上是否存在点，使得面，若存在，求出的长及到面的距离；若不存在，说明理由．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点，与，相异的动点在棱上.
(1)当为的中点时，证明：平面；
(2)设平面与平面的交线为，是否存在点使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图1，菱形中，，，于，将沿翻折到，使，如图2．
(1)求三棱锥的体积；
(2)在线段上是否存在一点，使∥平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
例题4．（2023春·高一课时练习）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点，，分别为线段，，的中点.
(1)证明：平面；
(2)在线段上找一点H，使得平面，并说明理由.
考点一练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在三棱倠中，分别是、的重心，以下与直线平行的是（ ）
A．直线B．平面C．平面D．平面
2．（多选）（2023春·高一课时练习）如图，在三棱锥中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．B．
C．平面D．平面
3．（2023春·高一课时练习）如图，直四棱柱的底面是菱形，E，M，N分别是BC，，的中点，求证：平面.

4．（2023·全国·高一专题练习）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．求证：平面；

5．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，.

(1)若为的中点，求证：平面；
(2)若多面体的体积为32，求的值.
6．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
7．（2023春·河南郑州·高一河南省实验中学校考期中）在长方体中，E，F，G分别为所在棱的中点，H，Q分别为AC，，的中点，连EF，EG，FG，DQ，CQ，．
（I）求证：平面平面ACQ
（II）问在线段CD上是否存在一点P，使得平面？若存在，求出P点的位置若不存在，请说明理由
8．（2023春·宁夏银川·高一银川二中校考期中）如图，在三棱锥中，点在底面上的射影在上，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
高频考点二：面面平行的判断
角度1：判断证明面面平行
典型例题
例题1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
例题2．（多选）（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期中），是三个平面，是两条直线，下列四个命题中错误的是（ ）
A．若，则B．若则
C．若，则D．若，则
例题3．（2023春·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，的中点．
(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；
(2)求多面体的体积；
(3)求证：平面平面．
例题4．（2023春·高一课时练习）如图所示，为所在平面外一点，、、分别为、、的重心．
(1)求证：平面平面；
(2)若是边长为2的正三角形，判断的形状并求的面积．
例题5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，，，，，，分别是，的中点，是边上一动点.

(1)是否存在点使得平面平面，若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
(2)求多面体的体积.
角度2：补全面面平行的条件
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由．
例题2．（2023春·江苏·高一专题练习）如图1，已知菱形的对角线交于点，四边形是平行四边形.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示.
(1)求证：；
(2)在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
例题3．（2023春·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，，分别是线段，的中点.
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点使得平面平面，若存在，指出点的具体位置；若不存在，请说明理由.
例题4．（2023春·高一课时练习）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点,分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
例题5．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱柱中，为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则___________
考点二练透核心考点
1．（2023春·全国·高一专题练习）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．
其中正确的有（ ）
A．①③B．①④C．①②③D．②③
2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为的中点.过作该正方体的截面，使得该截面与平面平行，写出作法，并说明理由；
3．（2023·高一课时练习）在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与所成角大小．
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，E，F，Q分别为的中点，求证：平面平面．
5．（2023秋·四川眉山·高二统考期末）如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.
（1）求证：;
（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.
6．（2022秋·四川眉山·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱中，若D是棱的中点，E是棱的中点，问：在棱AB上是否存在一点F，使平面平面？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
高频考点三：线面平行的性质
角度1：线面平行的性质
典型例题
例题1．（2022春·广东·高一校联考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点．
(1)求证：平面；
(2)求证：为的中点；
例题2．（2022秋·江苏南通·高二统考期中）在正四棱锥中，已知，，，分别为，的中点，平面平面．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
角度2：由线面平行的性质判断线段比例或点所在位置
典型例题
例题1．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，四边形是正方形，平面，，，点为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)试问在线段（不含端点）上是否存在一点，使得平面．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.
例题2．（2022秋·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考开学考试）如图1，在边长为4的正方形中，点、分别是边、的中点，将、分别沿、折叠，使、两点重合于点，连、，得到图2所示几何体．
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点，使平面，如果存在，求的值，如果不存在，说明理由．
例题3．（2022春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，在正四棱锥中，点，分别在棱，上，且．
(1)证明：平面PAC；
(2)当时，请问在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
角度3：由线面平行求线段长度
典型例题
例题1．（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）直三棱柱的所有棱长均为3，为侧棱的中点，为侧棱上一点，且，为上一点，且平面，则的长为（ ）
A．1B．2C．D．
例题2．（2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末）如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值不可能为（ ）
A．B．2C．D．3
例题3．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，点､分别是棱，的中点，是侧面内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的最小值是___________.

考点三练透核心考点
1．（2022·高一课时练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．
(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；
(2)求证：BC∥l．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在矩形中，点E在边上，，将沿进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面平面，如图2．若点F在棱上，且平面，求；
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.
(1)当为的中点时，求证：平面.
(2)当平面，求出点的位置，说明理由.
4．（2022春·安徽安庆·高一校考期中）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时， __________.
5．（2022·四川广安·广安二中校考二模）如图，正方体的棱长是2，S是的中点，P是的中点，点Q在正方形及其内部运动，若平面，则点Q的轨迹的长度是___________.
高频考点四：面面平行的性质
角度1：面面平行证明线线平行
典型例题
例题1．（2022·高一课时练习）如图所示，已知多面体中，四边形为矩形，，，平面平面，，分别为，的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面；
(3)若过的平面交于点，交于点，求证：．
例题2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，正三棱柱中，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上．证明：；
3．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，已知三棱柱中，是的中点，是的中点，设平面平面，平面平面，求证：.
角度2：面面平行证明线面平行
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点．求证：平面；
例题2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，且，，且，且，平面，，若为的中点，为的中点，求证：平面．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知是矩形所在平面外一点，，分别是，的中点，求证：平面.
考点四练透核心考点
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点分别是平行六面体的棱上的点,且,,点分别是线段上的点,则满足与平面平行的直线有（ ）条
A．0条B．1条C．2条D．无数条
2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面．

3．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）如图甲，在四边形中，，．现将沿折起得图乙，点是的中点，点是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在图乙中，过直线作一平面，与平面平行，且分别交、于点、，注明、的位置，并证明．
4．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱柱的底面为菱形，，其中侧面为平行四边形，分别为的中点，在线段上，且满足，过和点的平面交于，交于.证明：；
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，点是的中点，在上，若过的平面交于，交于，求证：平面
6．（2023·全国·高一专题练习）用一个平面去截直三棱柱，交分别于点. 若，则截面的形状可以为________.（把你认为可能的结果的序号填在横线上）
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形