新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第04讲 幂函数与二次函数（分层精练)（2份，原卷版+解析版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）若幂函数的图象经过第三象限，则a的值可以是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】当时，为偶函数，图象在第一和第二象限，
不经过第三象限，A不合题意；
当时，为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，
图象不经过第三象限，B不合题意；
当时，，图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C不合题意；
当时，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意，
故选：D
2．（2023秋·四川成都·高一统考期末）若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为的对称轴为，且其图象开口向上，
所以或，解得或，所以的取值范围是.
故选：B.
3．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知点在幂函数的图象上，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数是幂函数，
，即点在幂函数的图象上，
2，即，故.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x)，，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】,对称轴,当,又因为,
所以函数的值域为.
故选:D
5．（2023·高一课时练习）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】的图像的对称轴为，
因为函数在区间上时单调函数，
所以或，
得或，
即的取值范围是，
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，且是方程的两根，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】为二次函数，开口向上，
因为是方程的两根，
故为图象与轴的两个交点横坐标，
其中，
画出图象如下：
显然，
故选：C
7．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
【答案】A
【详解】对任意的，且，满足，函数是单调增函数，
是幂函数，可得，解得或，
当时，；当时，，不满足单调性，排除，
故，．
，，故恒成立．
故选：A
8．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，的值为（ ）
A．0B．1C．D．4
【答案】A
【详解】由题意可得：，即，
且的对称轴为，
故，
令，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，取最小值2.
故选：A.
二、多选题
9．（2023秋·四川成都·高一统考期末）若幂函数的图像经过点，则（ ）
A．B．
C．函数的定义域为D．函数的值域为
【答案】BD
【详解】因为是幂函数,所以,解得,故B正确;
所以,又因的图像经过点,所以,所以,解得,故A错误;
因为,则其定义域,值域均为,故C错误,D正确.
故选:BD.
10．（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由解得，
所以，
函数图象如图所示，
由图可知函数的单调减区间为和，
故选：AC
三、填空题
11．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________.
【答案】
【详解】由已知函数为幂函数，
得，解得或，
当时，，定义域为，函数图像不经过原点，
当时，，定义域为，且，函数图像经过原点，
综上所述：，
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】由题意，可得，即，
当时，，所以在上恒成立，
只需，
当时有最小值为1，则有最大值为3，
则，实数的取值范围是，
故答案为：
四、解答题
13．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知幂函数的图象经过点．
(1)求的解析式，并指明函数的定义域；
(2)设函数，用单调性的定义证明在单调递增．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）设，则，，
则，
的定义域是；
（2）由（1）知，任取，则
，
，，，，
，即，
在上单调递增．
14．（2023秋·江西赣州·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是幂函数，所以，即
解得或2，
因为在上单调递增，所以，即；
（2）由（1）知即，要使此不等式在上恒成立，
只需使函数在上的最小值大于0即可，
因为在上单调递减，
所以，
由，解得，所以实数的取值范围是.
15．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数
(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
【详解】（1）函数的对称轴，
函数在区间上单调
依题意得或，
解得或，
所以实数的取值范围为.
（2）由，
即，
即，
令
得方程的两根分别为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
B能力提升
1．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.
【答案】
【详解】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，
当x≥1时，函数为增函数，且
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]
3．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知函数
①当时，不等式的解集为______；
②若是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【详解】①时，，由得x无解，或.
故所求解集为；
②是定义在R上的增函数等价于单调递增，单调递增，且，
则有，故实数m的取值范围为.
故答案为：；.
4．（2023秋·北京房山·高三统考期末）若函数存在最小值，则的一个取值为______；的最大值为______.
【答案】 0（答案不唯一） 4
【详解】对于，在上递减，上递增，在R上的最小值为0；
对于，开口向上且对称轴为，
所以，在上递减，上递增，在R上的最小值为；
综上，对于f(x)：当时，在上递减，上递增，
此时恒成立，所以不存在最小值；
当时，在上递减，上递增，此时最小值为0；
当时，在上递减，,上递增，且，
又，
若时，，此时最小值为0；
若时，，此时最小值为0；
若时，，此时最小值为0；
若时，，此时最小值为0；
若时，，此时不存在最小值；
综上，，故m的最大值为4.
故答案为：0（答案不唯一），4
C综合素养
1．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）设表示函数在闭区间上的最大值.若正实数满足，则正实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】函数的图像如下：
的对称轴为，；当时，，
分类讨论如下：
（1）当时，，,
依题意，，而函数在时是增函数，此时，故不可能；
（2）当时，，
依题意，，即，
令，解得：，
则有：并且，解得：；
或者并且，无解；
综上：
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）已知为常数，函数在区间上的最大值为，则____．
【答案】或##3或1
【详解】解：函数的图象是由函数的图象纵向对折变换得到的，
故函数的图象关于直线对称，
则函数的最大值只能在或处取得，
若时，函数取得最大值3，
则，，
当时，时，，满足条件；
当时，时，，不满足条件；
若时，函数取得最大值3，
则，，或，
当时，时，，不满足条件；
当时，时，，满足条件；
综上所述：值为1或3；
故答案为：1或3．
3．（2023秋·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数为偶函数，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，记函数在上的最大值为，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）解：依题设，
由，得，
，得恒成立，
∴，
得，
所以，又，
所以，
∴；
（2）解：由题意可得：，，
若，则，则在[0,1]上单调递增，
所以；
若，当，即时，在[0,1]上单调递增，
当，只须比较与的大小，
由，得：，此时，
时，，此时，
综上，，
时，，
时，，
时，，
综上可知：的最小值为．
4．（2023秋·重庆铜梁·高一校联考期末）已知定义在上的函数，满足.
(1)求的解析式.
(2)若在区间上的最小值为6，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）由，
令，即，，
则，，
所以.
（2）函数对称轴为，
当，即时，函数在上单调递减，
则此时，，解得或（舍去）.
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
则此时，，不符合题意.
当时，函数在上单调递增，
则此时，，解得（舍去）或.
综上所述，或.