新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第04讲 幂函数与二次函数（高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc7221" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc7221 \h 2
\l "_Tc22738" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc22738 \h 2
\l "_Tc7433" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc7433 \h 3
\l "_Tc18734" 高频考点一：幂函数的定义 PAGEREF _Tc18734 \h 3
\l "_Tc26004" 角度1：求幂函数的值 PAGEREF _Tc26004 \h 3
\l "_Tc19540" 角度2：求幂函数的解析式 PAGEREF _Tc19540 \h 3
\l "_Tc18670" 角度3：由幂函数求参数 PAGEREF _Tc18670 \h 4
\l "_Tc21118" 高频考点二：幂函数的值域 PAGEREF _Tc21118 \h 4
\l "_Tc16872" 高频考点三：幂函数图象 PAGEREF _Tc16872 \h 5
\l "_Tc28875" 角度1：判断幂函数图象 PAGEREF _Tc28875 \h 5
\l "_Tc18537" 角度2：幂函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc18537 \h 7
\l "_Tc16813" 高频考点四：幂函数单调性 PAGEREF _Tc16813 \h 8
\l "_Tc3770" 角度1：判断幂函数的单调性 PAGEREF _Tc3770 \h 8
\l "_Tc4467" 角度2：由幂函数单调性求参数 PAGEREF _Tc4467 \h 9
\l "_Tc20054" 角度3：由幂函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc20054 \h 9
\l "_Tc119" 高频考点五：幂函数的奇偶性 PAGEREF _Tc119 \h 10
\l "_Tc18409" 高频考点六：二次函数 PAGEREF _Tc18409 \h 11
\l "_Tc20352" 角度1：二次函数值域问题 PAGEREF _Tc20352 \h 11
\l "_Tc30891" 角度2：求二次函数解析式 PAGEREF _Tc30891 \h 12
\l "_Tc28745" 角度3：由二次函数单调性（区间）求参数 PAGEREF _Tc28745 \h 14
\l "_Tc22335" 角度4：根据二次函数最值（值域）求参数 PAGEREF _Tc22335 \h 15
\l "_Tc862" 角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题 PAGEREF _Tc862 \h 16
\l "_Tc15534" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc15534 \h 18
\l "_Tc30115" ①开放性试题 PAGEREF _Tc30115 \h 18
\l "_Tc583" ②劣够性试题 PAGEREF _Tc583 \h 18
\l "_Tc17213" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc17213 \h 19
\l "_Tc25445" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc25445 \h 19
\l "_Tc21185" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21185 \h 20
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第一部分：知识点必背
1、幂函数
（1）幂函数定义
一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．
（2）五种常见幂函数
（3）幂函数性质（高频考点）
幂函数，在
①当时，在单调递增；
②当时，在单调递减；
2、二次函数
形如的函数叫做二次函数.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：幂函数的定义
角度1：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中学校考开学考试）已知幂函数的图象过点，则（ ）．
A．B．4C．D．8
例题2．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）若函数是幂函数，且在上单调递增，则___________.
练透核心考点
1．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
2．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
角度2：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．0
例题2．（2023秋·北京·高一校考期末）若点在幂函数的图像上，则的值为__________.
练透核心考点
1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则_________.
2．（2023·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则___________．
角度3：由幂函数求参数
典型例题
例题1．（2023·湖南湘西·高一统考）已知幂函数的图像不过原点，则实数的值为（ ）
A．1B．2
C．－2D．1或2
例题2．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考）已知函数是幂函数，则实数__________.
练透核心考点
1．（2022秋·四川宜宾·高一统考期末）若是定义域为的幂函数，则_________.
2．（2023春·陕西咸阳·高一校考开学考试）已知幂函数在上为增函数，则___________.
3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一校考）已知函数，为何值时,
(1)是幂函数；
(2)是二次函数.
高频考点二：幂函数的值域
典型例题
例题1．（2022·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·江苏·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
练透核心考点
1．（2022秋·广东广州·高一广州市第一一三中学校考期末）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·高一课时练习）函数，其中，则其值域为___________.
高频考点三：幂函数图象
角度1：判断幂函数图象
典型例题
例题1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·山东临沂·高一校考期末）下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
练透核心考点
1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·山东·高一山东师范大学附中校考期末）已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）函数的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
角度2：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）当时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________．
例题2．（2023·高一课时练习）幂函数的图像恒过定点______．
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）函数恒过定点______．
2．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是___________．
高频考点四：幂函数单调性
角度1：判断幂函数的单调性
典型例题
例题1．（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2023·江苏·高三统考学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（ ）
A．-2B．C．2D．3
例题3．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）若幂函数为减函数，则实数的值为______.
练透核心考点
1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知幂函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．1或B．C．1D．
2．（2023秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的单调增区间是______.
3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数在其定义域上的单调性是______.
角度2：由幂函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·河北承德·高一统考期末）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A．3B．1或3C．4D．4或6
例题2．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考开学考试）“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
例题3．（2023秋·四川内江·高一统考期末）已知在区间上是单调增函数，则的取值范围为______.
练透核心考点
1．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为___________.
2．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）已知实数，若幂函数为偶函数，且在上严格递减，则实数__________．
3．（2023秋·安徽宣城·高一统考期末）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数__________.
角度3：由幂函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数经过点，则不等式的解集为___________．
例题3．（2023春·高一校考开学考试）已知幂函数(Z)的图象关于轴对称，且在上是单调递减函数．
(1)求的值；
(2)解不等式．
练透核心考点
1．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是______.
2．（2023·高一课时练习）关于的不等式的解集为__________.
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
高频考点五：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（2023秋·江苏常州·高一统考期末）下列幂函数中，既在区间上递减，又是奇函数的是（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）已知幂函数为偶函数，则实数的值为__________.
例题3．（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知幂函数的图像关于轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
练透核心考点
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·高一课时练习）已知幂函数的表达式为，函数的图像关于轴对称，且满足，求的值．
高频考点六：二次函数
角度1：二次函数值域问题
典型例题
例题1．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数在区间上（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
例题2．（2022秋·吉林白城·高一统考期末）函数，的值域是______.
练透核心考点
1．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）已知函数，，函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）若函数，，则的值域为___________.
3．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）已知二次函数，则的值域是___________．
角度2：求二次函数解析式
典型例题
例题1．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：__________．
①的最小值为；②的一次项系数为；③；④．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知是二次函数且，，则_____.
例题3．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）在①不等式的解集为，②当时，取得最大值4，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知函数，且__________.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求的值.
练透核心考点
1．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知二次函数的图象过点.
(1)求的解析式，并写出的单调递增区间（不要求证明）；
(2)求不等式的解集．
2．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中校考期末）设，已知函数过点，且函数的对称轴为.
(1)求函数的表达式；
(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.
角度3：由二次函数单调性（区间）求参数
典型例题
例题1．（2023秋·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（多选）（2023秋·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考期末）函数在上不单调，则实数的取值可能是（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
例题3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数，在上是减函数，则实数的取值范围是________．
练透核心考点
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数在区间不单调的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·上海崇明·高一统考期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是_____________．
3．（2023秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．
角度4：根据二次函数最值（值域）求参数
典型例题
例题1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数满足，请从下列①和②两个条件中选一个作为已知条件，完成下面问题.
①；②不等式的解集为.
(1)求的解析式；
(2)若在上的值域为，求实数的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1B．3C．D．1或3
（2023·全国·高三专题练习）函数在[1，m]内的值域为[4，0]，则实数m需满足___________.
角度5：动轴定范围，定轴动范围的最值问题
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）求函数，的最小值.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，求函数的最小值．
例题3．（2023·高一课时练习）已知二次函数满足，且
(1)求的解析式.
(2)求在，的最小值，并写出的函数的表达式.
练透核心考点
1．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知在上单调递增，求的取值范围；
(3)求在上的最小值.
2．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）已知函数．
(1)若有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)当时，求的最小值．
3．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）设函数.
(1)当时，求函数在区间的最大值和最小值：
(2)设函数在区间的最小值为，求.
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，值域为，且在上有两个零点，请写出一个满足上述条件的______.
2．（2023秋·上海闵行·高一统考期末）已知幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于y轴对称，则满足条件的幂函数的表达式可以是___________（只需写出一个正确的答案）
3．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
②劣够性试题
1．（2023秋·江西吉安·高一统考期末）给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为2．在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定．
已知二次函数满足，且 ．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
2．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）从“①，；②方程有两个实数根，；③，”这三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.
已知函数为二次函数，，，____________.
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列是函数的单调减区间的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知=min{，}，下列说法正确的是（ ）
A．在区间单调递增
B．在区间单调递减
C．有最小值1
D．有最大值1
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数.
(1)在下面的平面直角坐标系中，作出函数的图象；
(2)方程有四个不相等的实数根，求实数的取值范围.
4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数是奇函数.
(1)求实数；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
②分类讨论的思想
1．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数
(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；
(2)解不等式．
2．（2022秋·四川巴中·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知二次函数的图象过点，且最小值为．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，该函数的最小值为，求此时t的值．
3．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）已知函数.
(1)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)若，求函数的最小值.函数
图象
性质
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
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