新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第05讲 指数与指数函数（高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13954" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc13954 \h 2
\l "_Tc31885" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc31885 \h 3
\l "_Tc11657" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc11657 \h 3
\l "_Tc27114" 高频考点一：指数与指数幂的运算 PAGEREF _Tc27114 \h 3
\l "_Tc31929" 高频考点二：指数函数的概念 PAGEREF _Tc31929 \h 4
\l "_Tc2726" 高频考点三：指数函数的图象 PAGEREF _Tc2726 \h 5
\l "_Tc29504" 角度1：判断指数型函数的图象 PAGEREF _Tc29504 \h 5
\l "_Tc4611" 角度2：根据指数型函数图象求参数 PAGEREF _Tc4611 \h 9
\l "_Tc15611" 角度3：指数型函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc15611 \h 10
\l "_Tc13180" 角度4：指数函数图象应用 PAGEREF _Tc13180 \h 11
\l "_Tc551" 高频考点四：指数（型）函数定义域 PAGEREF _Tc551 \h 12
\l "_Tc30285" 高频考点五：指数（型）函数的值域 PAGEREF _Tc30285 \h 13
\l "_Tc21850" 角度1：指数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc21850 \h 13
\l "_Tc12778" 角度2：指数型复合函数值域 PAGEREF _Tc12778 \h 14
\l "_Tc27266" 角度3：根据指数函数值域（最值）求参数 PAGEREF _Tc27266 \h 15
\l "_Tc25490" 高频考点六：指数函数单调性 PAGEREF _Tc25490 \h 15
\l "_Tc9929" 角度1：由指数（型）函数单调性求参数 PAGEREF _Tc9929 \h 15
\l "_Tc19749" 角度2：判断指数型复合函数单调性 PAGEREF _Tc19749 \h 16
\l "_Tc22654" 角度3：比较大小 PAGEREF _Tc22654 \h 17
\l "_Tc4058" 角度4：根据指数函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc4058 \h 18
\l "_Tc8064" 高频考点七：指数函数的最值 PAGEREF _Tc8064 \h 19
\l "_Tc18835" 角度1：求已知指数型函数的值域 PAGEREF _Tc18835 \h 19
\l "_Tc4535" 角度2：根据指数函数最值求参数 PAGEREF _Tc4535 \h 20
\l "_Tc12767" 角度3：含参指数（型）函数最值 PAGEREF _Tc12767 \h 21
\l "_Tc17569" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc17569 \h 23
\l "_Tc23521" ①开放性试题 PAGEREF _Tc23521 \h 23
\l "_Tc27645" ②结构不良试题 PAGEREF _Tc27645 \h 23
\l "_Tc11457" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc11457 \h 24
\l "_Tc32539" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc32539 \h 24
\l "_Tc21072" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21072 \h 25
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第一部分：知识点必背
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：指数与指数幂的运算
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若，则______
例题2．（2023·全国·高三专题练习）=____________
例题3．（2023·全国·高三专题练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A．51.2%B．48.8%C．52%D．48%
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄．某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务，已知每期利率为p，若存m期，本利和为5.4万元，若存n期，本利和为5.5万元，若存期，则利息为（ ）
A．5.94万元B．1.18万元C．6.18万元D．0.94万元
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________
3．（2023·全国·高三专题练习）若，=______________
高频考点二：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2023·河北·高三学业考试）已知函数（，且）的图象经过点，则（ ）
A．B．2C．D．4a的值为
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若：函数是指数函数，，则是的（ ）条件
A．充要条件B．充分不必要
C．必要不充分D．既不充分也不必要
例题3．（2023·高一课时练习）已知函数是指数函数，求实数的值．
练透核心考点
1．（2023秋·云南大理·高一统考期末）已知函数（a>0且）的图象过点（2,4），（4,2），则（ ）
A．B．=2C．=3D．=6
2．（2023·高一课时练习）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号）
①﹔②；③；④（a为常数，，）；⑤；⑥﹔⑦．
（2023·高一课时练习）当时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是______．
高频考点三：指数函数的图象
角度1：判断指数型函数的图象
典型例题
例题1．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
例题2．（2023秋·河南安阳·高一统考期末）已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）当时，函数与函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数（且）与函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
角度2：根据指数型函数图象求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例题2．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）已知函数，若，则的取值范围是______
例题3．（2023·高一课时练习）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（ ）
A．2B．C．D．
例题4 ．（2022·高一课时练习）函数（，且）的图像经过第二､三､四象限，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象如图所示，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022·高一课时练习）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．（-∞，-2）B．（-∞，-2]
C．（3，+∞）D．[3，+∞）
3．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．（多选）（2022·高一单元测试）已知函数且，的图象不经过第三象限，则的范围可能为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
角度3：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·山东烟台·高一统考期末）函数（且）的图象过定点（ ）
A．（0，－2）B．（0，－1）C．（1，－2）D．（1，－1）
例题2．（2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末）函数且）的图象经过一个定点，这个定点的坐标是______.
例题3．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数且的图象过定点，且点在直线上，则的最小值是______.
练透核心考点
1．（2023春·黑龙江佳木斯·高一校考开学考试）函数（，且）的图象必经过点的坐标________．
2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）已知且，函数的图像恒经过一个定点，此定点的坐标为______．
3．（2023秋·广东广州·高一统考期末）函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是_____；若点P在直线上，则的最小值为______.
角度4：指数函数图象应用
典型例题
例题1．（2023·高三课时练习）已知实数，满足等式，下列五个关系式：
①；②；③；④；⑤．
其中不可能成立的关系式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例题2．（多选）（2023秋·陕西铜川·高一铜川市耀州中学校考期末）函数（且），图像经过2，3，4象限，则下列结论正确的是（ ）
B．C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的零点个数为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东广州·高二校考期末）已知函数，，当时，取得最大值，则函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
高频考点四：指数（型）函数定义域
典型例题
例题1．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）函数的定义域是_______．
例题2．（2023·高一课时练习）函数的定义域为______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为，则实数的取值范围是______．
练透核心考点
1．（2023秋·北京丰台·高三统考期末）函数的定义域是___________．
2．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_______
高频考点五：指数（型）函数的值域
角度1：指数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试）当时，函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数在的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·高一课时练习）当时，函数的值域为______．
练透核心考点
1．（2022秋·广西·高二统考学业考试）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．4
2．（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域为___________.
3．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）函数的值域为________.
角度2：指数型复合函数值域
典型例题
例题1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·高三课时练习）函数的值域为______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为________.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则其值域为__________.
练透核心考点
1．（多选）（2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域为B．值域为
C．在上单调递增D．在上单调递减
2．（2023·高一单元测试）已知满足，求函数的最大值及最小值．
3．（2023春·北京·高一校考开学考试）函数的对称轴方程为___________，函数值域为___________.
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数且的值域是，则实数 ____.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（，）的最大值为，则实数_________.
练透核心考点
1．（2023·高三课时练习）若函数的值域为，试确定的取值范围______.
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
高频考点六：指数函数单调性
角度1：由指数（型）函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列各条件中，为“函数是上的减函数”的充要条件的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为常数）．若在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·河北·高三学业考试）函数 在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ）
B．C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知指数函数（，且），且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河北邢台·高一宁晋中学校考期末）若函数在R上是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递减，则k的取值范围为____________．
角度2：判断指数型复合函数单调性
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是
A．B．C．D．
例题3．（2023秋·广东·高一统考期末）函数的单调递增区间为__________.
练透核心考点
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）函数的减区间是________；
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间是_______．
3．（2023·高一课时练习）函数的单调递减区间是_________.
角度3：比较大小
典型例题
例题1．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试）已知，则（ ）
B．C．D．
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）下列大小关系不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
角度4：根据指数函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）若，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
例题2．（2022秋·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校考期末）不等式的解集是
A．B．C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
B．C．D．
练透核心考点
1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试）已知关于x的不等式 ，则该不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）若，则有（ ）
A．B．C．D．
3．（2021秋·福建三明·高一校联考期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2019秋·甘肃张掖·高一张掖市第二中学校考阶段练习）不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高频考点七：指数函数的最值
角度1：求已知指数型函数的值域
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）若函数（且）在上的最大值为4，最小值为，实数的值为（ ）
A．B．C．D．或
例题2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）已知函数，则其值域为___________.
例题3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知函数的定义域是，设，
(1)求的定义域；
(2)求函数的最大值和最小值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数恒过点，则函数在上的最小值是_____.
3．（2023·高一课时练习）已知函数
（1）作出其图象；
（2）由图象指出单调区间；
（3）由图象指出当取何值时函数有最小值，最小值为多少？
角度2：根据指数函数最值求参数
典型例题
例题1．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如果函数（，）在区间上的最大值是14，则的值为（ ）
A．3B．C．-5D．3或
例题3．（2022秋·广东茂名·高一校联考期末）设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
练透核心考点
1．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（ ）
A．B．1C．或2D．2
2．（2023·高一课时练习）已知，且，若函数在区间上的最大值为10，则________.
3．（2022秋·云南楚雄·高三统考期末）已知奇函数在上的最大值为，则__________．
角度3：含参指数（型）函数最值
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知函数、奇函数和偶函数的定义域均为R，且满足，若函数（，且）.
(1)求的解析式；
(2)求在R上的最大值.
例题2．（2022春·辽宁锦州·高二义县高级中学校考阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值.
练透核心考点
1．（2022秋·安徽阜阳·高一安徽省阜阳第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若，求在区间上的最大值.
2．（2022秋·广西桂林·高一校考期中）已知函数在区间上有最大值和最小值.
(1)求，的值；
(2)若不等式在时有解，求实数的取值范围.
3．（2022秋·浙江台州·高一临海市学海中学校考阶段练习）已知函数
(1)当时，求不等式的解集；
(2)求函数在上的最小值．
．
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）写出一个同时具有下列性质①②的函数______．
①；②在上为增函数．
2．（2023·福建·统考一模）写出一个同时满足下列三个性质的函数__________．
①若，则；②；③在上单调递减．
3．（2023秋·广东佛山·高一统考期末）写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式：______．
①定义域为；②值域为；③是奇函数．
②结构不良试题
1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中．若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．已知全集，集合是不等式的解集，集合是函数在上的值域．
(1)求集合；
(2)若是成立的______条件，判断实数是否存在．
2．（2023·高一课时练习）在①；②函数为偶函数：③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．
问题：已知函数，，且______．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2023秋·河南郑州·高一统考期末）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（ ）
A．B．C．D．
②分类讨论的思想
1．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知函数，，与函数，，对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
2．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）已知函数.
(1)当时，利用单调性定义证明在上单调递增；
(2)若存在，使，求实数的取值范围.
3．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）已知函数且.
(1)判断的奇偶性，并证明你的结论.
(2)当时，函数的值域为，求.底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究