新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第05讲 椭圆(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc16061" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc16061 \h 1
\l "_Tc13678" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc13678 \h 3
\l "_Tc26765" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26765 \h 5
\l "_Tc30923" 高频考点一：椭圆定义辨析 PAGEREF _Tc30923 \h 5
\l "_Tc15795" 高频考点二：利用椭圆定义求椭圆标准方程 PAGEREF _Tc15795 \h 7
\l "_Tc30405" 高频考点三：椭圆中焦点三角形问题 PAGEREF _Tc30405 \h 10
\l "_Tc14884" 高频考点四：椭圆中最值问题 PAGEREF _Tc14884 \h 14
\l "_Tc21109" 高频考点五：椭圆的标准方程 PAGEREF _Tc21109 \h 18
\l "_Tc6054" 高频考点六：椭圆中长轴、短轴、焦距 PAGEREF _Tc6054 \h 21
\l "_Tc15702" 高频考点七：椭圆的离心率问题 PAGEREF _Tc15702 \h 23
\l "_Tc19819" 高频考点八：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题 PAGEREF _Tc19819 \h 28
\l "_Tc14059" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc14059 \h 32
第一部分：知识点必背
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；
若，的轨迹无图形
定义的集合语言表述
集合.

知识点二：椭圆的标准方程和几何性质
1、椭圆的标准方程
知识点三：常用结论
1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
（4）椭圆通经长=
第二部分：高考真题回归
1．（2023·全国（甲卷文）·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
3．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：椭圆定义辨析
典型例题
例题1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
【答案】A
【详解】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
例题2．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）设满足：，则点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．线段D．不存在
【答案】B
【详解】∵表示为到定点的距离之和为5，即，
∴点的轨迹为椭圆.
故选：B.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点、在上，若，则的最大值为（ ）
A．9B．20C．25D．30
【答案】C
【详解】根据椭圆定义可得：，
因为，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以，则的最大值为25，
故选：C.
例题4．（2023春·上海虹口·高二上外附中校考期中）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则
【答案】4
【详解】由椭圆的方程，可知，
又是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，，
又，则.
故答案为：4.
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知点，动点P满足，则点P的轨迹为（ ）
A．椭圆B．直线C．圆D．线段
【答案】A
【详解】 ，
故，
又，
根据椭圆的定义可知：P的轨迹为椭圆.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线
【答案】C
【详解】解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，
当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；
当 时，，此时动点 的轨迹是线段．
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）
A．8B．9C．16D．18
【答案】C
【详解】由椭圆的定义可得，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时取得等号，
故选:C.
4．（2023秋·四川成都·高二统考期末）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 .
【答案】14
【详解】设左、右焦点为, 设，
由题得
因为，所以.
所以点P与另一个焦点的距离等于14.
故答案为：14
高频考点二：利用椭圆定义求椭圆标准方程
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知圆，圆，动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故选：D
例题2．（2023·上海·高二专题练习）方程，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12，
即，
所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，
则，，
所以，，
故方程为.
故选：B.
例题3．（2023秋·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期末）方程化简后为 ．
【答案】
【详解】解：∵，
故令，，
∴，
∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，
即，，，
∴方程为.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】错解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：D.
错因：
忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.
正解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B.
2．（2023·高二课时练习）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】因为M到顶点和的距离的和为，
所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（），
则，，所以，，
M的轨迹方程为.
故答案为：.
3．（2023·高二课时练习）已知A（－3，0），B（3，0），△ABC的周长为16，求顶点C的轨迹方程．
【答案】
【详解】因为△ABC的周长为16，
所以，设，
因此顶点C的轨迹是以A（－3，0），B（3，0）为焦点不与横轴相交的椭圆，
设，
所以，
所以顶点C的轨迹方程为.
高频考点三：椭圆中焦点三角形问题
典型例题
例题1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，则的面积等于（ ）
A．18B．10C．9D．6
【答案】C
【详解】据题意，四边形是矩形，设，，
则有，，由此可得，
所以的面积是，
又的面积与的面积相等，所以的面积等于9.
故选：C．
例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）在椭圆上有一点，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【答案】C
【详解】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；
当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；
当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点，
所以符合条件为直角三角形的点有6个，
故选：C.
例题3．（2023春·西藏林芝·高二校考期末）短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于、两点，则的周长为
【答案】20
【详解】由椭圆的短轴长为8，可得，所以，
又由离心率为，即，结合，可得，
如图所示，由椭圆的定义，可得，
则的周长为 .
故答案为：.

例题4．（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求
(1)
(2)的面积
【答案】(1)48
(2)24
【详解】（1）因为椭圆方程为，则，
即，可得，
因为，则
即，所以.
（2）由（1）得，
因为，所以.

练透核心考点
1．（2023春·湖南长沙·高二长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知点是椭圆上一点，且在轴上方，，分别为椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】椭圆化成标准形式为,
是椭圆左、右焦点，,
设是椭圆上一点,则
解得，
的面积.
故选：B.
2．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】已知椭圆的离心率为，则，即.
，则，
，
设，则，
因为,
所以，
解得所以，
所以，
则直线的斜率为.
故选：B.
3．（2023秋·高二课时练习）一椭圆的短半轴长是，离心率是，焦点为，弦AB过，则的周长为 ．
【答案】12
【详解】因为椭圆的短半轴长是，所以.离心率是，所以.
由可得，即.
根据椭圆的定义，
可得的周长为.
故答案为：12.
4．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 .
【答案】/
【详解】椭圆，即，所以，，，
因为，所以点为短轴顶点，所以.
故答案为：
高频考点四：椭圆中最值问题
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】B
【详解】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
例题2．（2023春·广东汕尾·高三汕尾市城区汕尾中学校考期末）已知是椭圆：的左焦点，是椭圆上任意一点，是圆：上任意一点，则的最小值 .
【答案】-2
【详解】解：椭圆方程为： ，
，，，
又圆方程可化为：，
圆心坐标为，半径，
设椭圆的右焦点为，则，
当且仅当，，，共线时，取得等号，
的最小值为，
故答案为：.
例题3．（2023春·上海浦东新·高二华师大二附中校考开学考试）已知点为椭圆上的一动点，则的最小值为 ;
【答案】
【详解】设，则，，
所以
，因为在上单调递减，
所以当时，有最小值，所以有最小值，
故答案为：
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】根据椭圆的定义：，
取得最小值时，
即最小，
如图所示：，当，，共线时取得最小值．
的最小值为：﹒
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【详解】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.
又,，，
故，
当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故选：C.
2．（2023·上海·高二专题练习）设、是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于、两点，则的最大值为 .
【答案】
【详解】由题意，椭圆，可得，即，
根据椭圆的定义，可得，
则，
所以，
当垂直于轴时，取得最小值，此时取得最大值，
此时，所以的最大值为.
故答案为：.
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ．
【答案】
【详解】解：设，
，
，
，
当时，取得最大值，
故答案为：
4．（2023·高二课时练习）已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为 .
【答案】
【详解】由题意，，，所以为左焦点，为右焦点，
所，
当且仅当M､D､A共线时取等号.
故答案为：.
高频考点五：椭圆的标准方程
典型例题
例题1．（2023秋·高二课时练习）椭圆与椭圆的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
【答案】B
【详解】对于椭圆，则，且焦点在x轴上，
所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为，
对于椭圆，因为，则，
可得，且焦点在y轴上，
所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为，
所以A、C、D错误，B正确.
故选：B.
例题2．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为方程表示椭圆，
所以有，
解得或．
故选：C
例题3．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：双曲线的焦点坐标为：，
即椭圆的焦点为，
又长轴长为6，即，
所以椭圆的方程为，
故选：B
例题4．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的面积为，以的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知：且，则，.
所以椭圆标准方程.
故选：B
练透核心考点
1．（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据题意可设椭圆方程为，
易知，且，解得；
所以，故椭圆方程为.
故选：A
2．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为的周长为，所以，则，
又,的中点为 ，所以M的坐标为，
故，则，
结合，，解得，
所以椭圆C的标准方程为，
故选：A
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由椭圆的几何性质，因为，可得，
所以，，则，所以椭圆的方程为.
故选：A.
4．（2023春·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的 条件．
【答案】必要不充分
【详解】若方程表示椭圆，
则且，
且，
是方程表示椭圆的必要不充分条件，
即P是Q的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分．
高频考点六：椭圆中长轴、短轴、焦距
典型例题
例题1．（2023·全国·高三对口高考）椭圆：的焦距为（ ）
A．8B．C．4D．
【答案】B
【详解】由，得，
所以椭圆：的焦距为为.
故选：B.
例题2．（2023·高二课时练习）椭圆的方程为，则此椭圆的长半轴的长为______，短轴长为______，焦距为______，顶点坐标为______，焦点坐标为______，离心率为______．
请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像．
【答案】答案见解析
【详解】解：化椭圆方程为标准方程得，
则，
所以长半轴长为5，短轴长为6，焦距为8，
顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，
图像如图所示：
练透核心考点
1．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由可得，
故该椭圆焦点在轴上，
，
所以，，
故焦点坐标为，
故选：D
2．（2023·高二课时练习）椭圆的长半轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ．
【答案】 5 8 6 /0.6
【详解】由可得，椭圆标准方程为；
即，所以；
因此长半轴长为，短轴长为，焦距为，离心率
故答案为：5，8，6，
高频考点七：椭圆的离心率问题
典型例题
例题1．（2023春·云南昆明·高二统考期末）已知椭圆分别是的左，右焦点，为上一点，若线段的中点在轴上，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于线段的中点在轴上,是的中点，所以轴，
，，所以，
由椭圆定义可得，
故选：A

例题2．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）已知椭圆的右顶点为，，为上关于坐标原点对称的两点，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知：，
设，则，可得，
则，
又因为点在椭圆上，则，整理得，
可得，即，
所以C的离心率.
故选：A.
例题3．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知椭圆的下焦点为，右顶点为，直线交椭圆于另一点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由得，所以，
把代入椭圆得，化简得，
则椭圆的离心率为.
故选：C.
例题4．（2023春·河南安阳·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆，点为椭圆上一点，若的最小值为6，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【详解】由题可知，所以，，
则，
当点在的延长线上时，等号成立，所以，
所以，因为，所以椭圆的离心率为.
故答案为：.

例题5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）已知椭圆，过左焦点作直线在轴上方交椭圆于点，过右焦点作直线交直线于点（在椭圆外），若为正三角形，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】因为为正三角形，
所以，
因为轴，所以，，
所以，
又，所以，
在中，，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：.

练透核心考点
1．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）椭圆：的左焦点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与交于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为以为圆心，为半径的圆与交于点，
所以，，因为，所以，
又由定义可得，所以，所以
故选：B．

2．（2023春·湖北武汉·高二校联考期末）已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为椭圆C：的左､右顶点分别为，，
因此以为直径的圆的半径为，圆心坐标为，
又该圆与直线相切，如图，

所以圆心到直线的距离等于半径，即，则，
因此，即，
所以离心率为.
故选：C.
3．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）椭圆：的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为 ；
【答案】
【详解】由题可得，设.则，又，则.
则.
故答案为：
4．（2023春·江西上饶·高二校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，.点在椭圆上，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，△的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为9，则椭圆的离心率为 .
【答案】/0.5
【详解】由已知及平面几何知识得：圆心、在的角平分线上，如图，
设圆、与轴的切点分别为，，
由平面几何知识得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，
所以，
由椭圆的定义知，则，
有，，
，，
又圆与圆的面积之比为，所以圆与圆的半径之比为，
因为，所以，
即，整理得，故椭圆的离心率.
故答案为：
高频考点八：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题
典型例题
例题1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知向量、和单位向量满足，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】设，，由可得，
化简可得，即.
设，则由，
可得，
故的轨迹为以为焦点，的椭圆，其方程为.
设夹角为，则，
由圆与椭圆的性质可得，，，，
故当同向，均与轴负同向时，取得最大值.
故选：C.

例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，若点满足且，则的最小值为（ ）.
A．3B．C．D．1
【答案】C
【详解】由椭圆方程可得出焦点，因为，所以，由勾股定理得
，即求的最小值可先求的最小值.
设，由图像得，则代入
，所以当取最小，
即，，
故选：C
练透核心考点
1．（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解法一：
由题意知，，设.
则.
因为，所以，所以，
所以．
解法二：
由题意知，．
设，取线段AF的中点N，则，连接MN.
则.
因为，所以，所以，
所以．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】D
【详解】设，由可知，，
，，
，
，时，的最小值为，解得.
当时，的最大值为.
故选：D
第四部分：数学文化题
1．（2023春·湖北恩施·高二利川市第一中学校联考期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为28，则椭圆的长轴长为（ ）
A．5B．8C．4D．10
【答案】B
【详解】椭圆的蒙日圆的半径为．
因为，所以为蒙日圆的直径，
所以，所以．
因为，当时，等号成立，所以面积的最大值为．
由面积的最大值为28，得，得，故椭圆的长轴长为8．
故选：B．

2．（2023·河北·校联考一模）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为，
由室内地面是面积为的圆，故，①对；
且，则，又不全相等，故，②错；
若，则，可得，与不全相等矛盾，③错；
若，则，故，④对.
故选：B.
3．（2023·河北沧州·统考三模）某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，，分别为该椭圆的两个焦点，为该椭圆过点的一条弦，且的周长为.若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为（ ）

A．米B．米C．米D．米
【答案】B
【详解】根据题意，画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如下，

根据椭圆的定义的周长为，
即①
由该椭球横截面的最大直径为2米，可知米，得
又因为，所以②
②联立可得，，
所以该椭球的高为米.
故选：B
4．（2023·湖南·校联考模拟预测）挪威画家爱德华·蒙克于1893年创作的《呐喊》是表现主义绘画的代表作品，刻画了一个极其痛苦的表情．画作局部如下图所示，人像的脸近似为一个椭圆，下巴近似为一个圆，圆心在椭圆的下顶点上，椭圆与圆有两个交点，，椭圆的两焦点与圆的圆心在同一直线上，记椭圆的中心为．连接直线，，，经测量发现与圆相切，圆的半径为，．记该椭圆的离心率为，为不超过的最大整数，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】如图建立平面直角坐标系，
连接，依题意，，且，
所以，所以，
设椭圆方程为，，则，
又，所以，所以，
则，解得，
所以，
所以离心率，所以，则.
故选：B
焦点位置
焦点在轴上
焦点在轴上
标准方程
（）
（）
图象
焦点坐标
，
，
的关系
范围
，
，
顶点
，，
，
轴长
短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：轴、轴 对称中心：原点
离心率
，