新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第05讲 空间向量及其应用(分层精练）（2份，原卷版+解析版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·湖南衡阳·高二校考期末）如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
故选：B
2．（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）设直线，的方向向量分别为，，若，则等于（ ）
A．－2B．2C．－10D．10
【答案】C
【详解】因为，所以，，．
故选：C
3．（2023春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考期中）已知向量，，若，则（ ）
A．2B．18C．D．
【答案】B
【详解】因为，则存在实数使得，即，
解得，所以，
故选：B．
4．（2023春·高二课时练习）在平行六面体中，点在上，且，若，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【详解】
如图，
,
所以，
所以，
故选:C.
5．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）

A．B．4C．D．
【答案】A
【详解】，
，
设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，则OC⊥平面ABD，
又AO，AB，AD 平面ABD，故OC⊥AO， OC⊥AB，OC⊥AD，
，，
在中，，
则，又的方向与相同，
所以．
故选：A．
6．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得，则，即，
又，即，且，
所以.
故选：C
7．（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【详解】如图，是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，
由正方体的特征可得其外接球半径为 ,
设外接球球心为O，则
,
由于点M在正方体的棱上运动,故的最小值为球心O和棱的中点连线的长，
即为正方体面对角线的一半，为，
所以 的最小值为，
故选：C
二、多选题
8．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间中三点，，，则（ ）
A．向量与互相垂直
B．与方向相反的单位向量的坐标是
C．与夹角的余弦值是
D．在上的投影向量的模为
【答案】ABC
【详解】由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，
所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.
故选：ABC
9．（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图1，这是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面体ABCD的棱长为4，则（ ）

A．＝B．＋＋＋
C．＝0D．＝8
【答案】BCD
【详解】由题意得是正四面体ABCD外接球的球心．

设点是顶点在底面的射影，则AO是正四面体ABCD的高，OB是的外接圆半径，
取CD的中点G，AB的中点F，连接BG，GF，则O在BG上，E在FG上，
则，，
因为，即，
则，解得．
对于A，，故A错误；
对于B，因为AG＝BG＝，FG⊥AB，EG⊥CD，
所以，，
则，又，，则，
所以，故B正确；
对于C，因为AE⊥底面BCD，CD⊂底面BCD，所以AE⊥BC，所以＝0，故C正确；
对于D，因为，
所以，故D正确．
故选：BCD.
三、双空题
10．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为的中点，则__________；若，过点的直线分别交直线于两点，设（其中均为正数），则的最小值为__________.
【答案】 4
【详解】补形成正方体，如图建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为a，则，解得
则
所以
所以
所以
在平面BEF中，如图，
因为，所以
又，
所以
因为G，N，M三点共线，所以
所以
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
故答案为：4；
四、填空题
11．（2023春·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）已知，若夹角为钝角，则实数的取值范围是________．
【答案】且
【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线，
因为，所以，解得，
当与共线时，，即，则，解得，
所以且.
故答案为：且.
12．（2023春·江苏泰州·高二江苏省兴化中学校联考阶段练习）如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________．
【答案】
【详解】因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以两两垂直.
过点M作，垂足分别为G，H，连接，易证.
因为，所以
以B为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
当，的长最小，且最小值为．
故答案为：．
五、解答题
13．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知空间三点，设．
(1)求与的夹角的余弦值；
(2)若向量与互相垂直，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以空间向量的夹角公式，可得，
所以与的夹角的余弦值为.
（2）由（1）可知，.
因为向量与互相垂直，所以，
所以，所以，
所以，解得.
14．（2023秋·浙江温州·高二校考期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.
(1)若，求的值；
(2)设，，，求的值.
【答案】(1)0
(2)6
【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心，
∴，
∴，，，∴.
（2）因为，且，，，
所以，即，
因为，，，共面，所以，即.
B能力提升
1．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若，则为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，
，则，
由题设，，
所以.
故选：A
2．（多选）（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】以D为坐标原点，以为为坐标轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
，,
则，
故，
又，所以，A正确；
又，，
∵，
，B正确;
又，
故，
所以，即，C错误；
又，
则，
故 ，D正确．
故选：ABD
3．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）平行六面体的底面是菱形，且.当的值为______时，能使平面
【答案】1
【详解】解：如图所示：
设，，则，
因为平面，
平面，所以，
，，
由，得，
即，
又因为，
则有，即，
解得或(舍去)，
因此当时，能使平面.
故答案为：1
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则________.
【答案】
【详解】设，其中，
，
，，
因为、、、四点共线，则向量、、共面，
由共面向量定理可知，存在、使得，
即
，
所以，，解得.
故答案为：.
5．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知向量，，，且．
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为，所以，使得，
所以有，解得，所以，.
（2）由（1）知，，所以，.
因为，所以，
即，解得.
C综合素养
1．（2023春·高二课时练习）如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明AM⊥平面BMC.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知AD⊥BC，如图，以O为坐标原点，
以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz.
则，
可得，
∵
∴，即AP⊥BC.
（2）由（1）可得，
∵M是AP上一点，且AM＝3，
∴，
可得，
设平面BMC的法向量为，则，
令b＝1，则，即，
显然，故∥，
∴AM⊥平面BMC.
2．（2023春·高二课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：平面DEA⊥平面ECA.
【答案】证明见解析
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，
则，
所以，
设平面ECA的一个法向量是，
则，
取，则，即，
设平面DEA的一个法向量是，
则，
取，则，即，
因为，所以，
所以平面DEA⊥平面ECA.
3．（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
【答案】证明见解析
【详解】如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形，
所以AO⊥BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
平面ABC，则，
，平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，
以分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
则，
可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，
BA1∩BD＝B，平面，
所以AB1⊥平面A1BD.
4．（2023春·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）如图所示，在四棱柱中，侧棱⊥底面，,，，，为棱的中点，是的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求证：⊥平面；
(3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，.
【详解】（1）
由已知，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，连接，则，，，，
，，∴，∴∥，
又∵平面，平面，∴∥平面.
（2）由已知，，，，，
∴，，
∴，，∴，，
又∵，平面，平面，
∴平面.
（3）假设存在点，满足题意，且（），则，
，∴，
∴，
易知向量是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则
，
∵，∴解得（舍）或，
∴线段上是否存在点满足，使得直线与平面所成角的正弦值是.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为_________．
【答案】/
【详解】由题意知，，
由正方形正方形，正方形正方形，正方形，
得正方形，又正方形，所以，
建立如图空间直角坐标系，
设，()，，，
则，，
得，，
所以，，
得，
有
，
当且仅当即即时，等号成立，
所以，即线段MN的最小长度为.
故答案为：.