新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第06讲 函数y＝Asin（ωx＋φ)的图象及其应用（高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc24222" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc24222 \h 2
\l "_Tc17724" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc17724 \h 4
\l "_Tc14980" 高频考点一：函数的图象变换 PAGEREF _Tc14980 \h 4
\l "_Tc20407" 高频考点二：根据图象确定函数的解析式 PAGEREF _Tc20407 \h 8
\l "_Tc8105" 高频考点三：五点法作图 PAGEREF _Tc8105 \h 16
\l "_Tc29984" 高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用 PAGEREF _Tc29984 \h 28
\l "_Tc2313" 角度1：图象与性质的综合应用 PAGEREF _Tc2313 \h 28
\l "_Tc9172" 角度2：函数的零点（方程的根）的问题 PAGEREF _Tc9172 \h 34
\l "_Tc21904" 角度3：三角函数模型 PAGEREF _Tc21904 \h 44
\l "_Tc26863" 第四部分：高考新题型 PAGEREF _Tc26863 \h 51
\l "_Tc26697" ①开放性试题 PAGEREF _Tc26697 \h 51
\l "_Tc25670" ②探究性试题 PAGEREF _Tc25670 \h 53
\l "_Tc20190" ③劣够性试题 PAGEREF _Tc20190 \h 55
\l "_Tc19804" 第五部分：数学思想方法 PAGEREF _Tc19804 \h 61
\l "_Tc18751" ①函数与方程的思想 PAGEREF _Tc18751 \h 61
\l "_Tc6387" ②数学结合的思想 PAGEREF _Tc6387 \h 64
第一部分：知识点必背
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数,的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数,的图象上,五个关键点是:
2、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·统考高考真题）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故选：A．
2．（2022·浙江·统考高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
3．（2022·全国（甲卷文）·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的图象变换
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【详解】解：因为，
而，
所以将向右平移个单位即可得图象.
故选：D
例题2．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】由于函数，
故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.
故选：D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】C
【详解】因为，所以只需将的图像上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图像．
故选：C
例题4．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【详解】由题有，
则，得，结合，得.
故选：B
例题5．（2023·全国·高三专题练习）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为，
故将已知转化为要得到函数的图象，
又，
所以将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象.
故选：D
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）为了得到函数的图像，可以将函数的图像上（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位
D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位
【答案】B
【详解】由可知，函数的图像每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图像，再向右平移个单位，得函数的图像.
故选：B
2．（2023·河南·统考模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】A
【详解】因为，
所以只需将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为.
将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，
所以有，所以，
所以有，.
对于A项，令，即，解得，A项错误；
对于B项，令，即，解得，B项正确；
对于C项，令，即，解得，C项错误；
对于D项，令，即，解得，D项错误.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：，，，，则“同形”函数是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】C
【详解】，，
因为正弦型函数的图象经过若干次平移后，振幅不改变，
所以只有与的振幅相同，故只有这两个函数是“同形”函数，
故选：C
5．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，
由题意可得，可得，当时，，
故选：D.
高频考点二：根据图象确定函数的解析式
典型例题
例题1．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】C
【详解】解：由题意可得，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以只需将的图象向左平移个单位，即可得的解析式.
故选：C.
例题2．（多选）（2023秋·广东汕头·高二统考期末）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于点对称
B．的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】BD
【详解】由题图可得，，故，
所以，又，即，
所以，，又，所以，所以.
对于A：当时，，故A错误；
对于B：当时，，故B正确；
对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数，
的图像，故C中说法错误；
对于D：当时，，则当，即时，单调递减；当，即时，单调递增，
因为，，，
所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是.
故选：BD.
例题3．（2023春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）已知函数部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求曲线的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图象可知的最大值为1，最小值-1，故；
又且，∴，
将点代入得，，
∴，即，又，∴，
所以；
（2）由的图象向右平移个单位长度得到函数，
令得，
∴曲线的对称轴为，
∵曲线的对称轴只有一条落在区间上，
∴.
例题4．（2023春·山东日照·高一日照一中校考阶段练习）已知函数的图象如图所示.
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知：，所以，所以，
，由图易得,则，
又，则，则，，
所以，，
所以.
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由题.
当时，.
因为对任意的恒成立，
则，即
所以.
练透核心考点
1．（多选）（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．周期为
B．直线是图像的一条对称轴
C．点是图像的一个对称中心
D．将的图像向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图像
【答案】AC
【详解】由函数图像可知，，最小正周期为，
，将点代入函数解析式中，得：，
又，，
故．
对于选项A：函数的最小正周期为，故A正确；
对于选项B：令，即，因此其对称轴为，，无论取何值，，故B不正确；
对于选项C：令，所以，即的对称中心为，点是图像的一个对称中心，故C正确；
对于选项D：将的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，该函数不是偶函数，故D不正确；
故选：AC.
2．（2023春·湖北十堰·高一校考阶段练习）如图，是函数的一段图象．
(1)求此函数的解析式；
(2)分析一下该函数的图象是如何通过的图象变换得来的？
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由图象知函数的最大值为，最小值为，
所以，
又，，
所以．
所以
因为当时，，
所以
所以，所以．
所以所求函数的解析式为．
（2）把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
然后纵坐标保持不变､横坐标缩短为原来的，得到的图象，
再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，
最后把函数的图象向下平移1个单位长度，得到的图象．
3．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标；
(2)先将的图象的向上平移1个单位，再保持横标不变、纵标缩短到原来的倍，最后向右平移个单位，得到的图象，求函数在上的单调增区间.
【答案】(1)；对称中心坐标为
(2)
【详解】（1）根据图象及可知，解得，
且，可得，所以，
把点代入得，
即，又因为，所以，
即的解析式为；
令，即，解得
故所求对称中心坐标为．
（2）将的图象的向上平移1个单位可得，
再保持横标不变、纵标缩短到原来的倍可得，
再向右平移个单位可得
即可得到
由，
解得，
因为，所以时，可得的增区间为．
4．（2023春·广东江门·高一江门市棠下中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．，，．
(1)求的解析式；
(2)将的图象先向右平移个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数为，求在上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为2，最小值为
【详解】（1）由图象可得：，故，且，解得，
可得，
∵的图象过点，则，
可得，且，则，
∴，解得，
可得，
又∵的图象过点，则，
解得，
故.
（2）将的图象先向右平移个单位，得到；
再将图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到，
故，
∵，则，
∴，可得，
故在上的最大值为2，最小值为.
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高一成都外国语学校校考阶段练习）已知函数.
(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象；
(2)解不等式.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意，列表如下：
画出在区间上的图象如图：
（2）不等式，即，所以，
所以，即，
故的解集为.
例题2．（2023春·北京·高一北京二十中校考阶段练习）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)用“五点法”画出在一个周期内的图象，并直接写出函数在区间上的取值范围.
【答案】(1)
(2)图象见解析，
【详解】（1）设最小正周期为，则
所以，当时
故答案为：
（2）
易知函数在区间上的取值范围为：
例题3．（2023秋·福建厦门·高一统考期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据做出函数在一个周期内的图像；
(2)将的图形向右平移个单位长度，得到的图像，若的图像关于轴对称，求的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）
由表中数据可得，，，所以，则，
当时，，则，所以
（2）由题意可得，，
因为的图像关于y轴对称，
则，，
解得，
且，所以当时，
例题4．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知函数为奇函数，且相邻两个对称轴之间的距离为.
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)若时，方程有解，求实数的取值范围.
(3)将函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向上平移一个单位，得到函数的图象.填写下表，并用“五点法”画出在上的图象.
【答案】(1)最小正周期；单调递增区间为
(2)
(3)表格和图象见解析
【详解】（1）相邻两个对称轴之间的距离为，的最小正周期；
，
，解得：，，
为奇函数，，解得：，
，，；
令，解得：，
的单调递增区间为.
（2）当时，，，则；
若方程有解，则的取值范围为.
（3）向左平移个单位长度得：，
将横坐标伸长到原来的倍得：，
将向上平移一个单位得：；
补全表格如下：
则在上的图象如下图所示：
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）已知函数，.
(1)在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：
完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)图表见解析
(2)
(3)
【详解】（1）
函数图象如图所示，
（2）令，
得，
所以函数的单调递增区间为
（3）因为，所以，
所以.
当，即时，；
当，即时，.
所以函数在区间上的值域为.
2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．
【答案】(1)答案见解析
(2)作图见解析
【详解】（1）步骤1：把图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象；
步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．
（2）列表：
3．（2023春·湖南·高一湖南省东安县第一中学校联考开学考试）已知函数.
(1)化简函数解析式，并填写下表，用“五点法”画出在上的图象；
(2)将的图象向下平移1个单位长度，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位长度后，得到的图象，求的对称中心.
【答案】(1)表见解析，图见解析
(2)
【详解】（1）
（2）将的图象向下平移1个单位长度，得到的图象，
再将横坐标扩大为原来的4倍，得到的图象，.
再向左平移个单位长度后，得到的图象，
由得，
所以的对称中心为.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；
(2)解不等式.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)完成表格如下：
在区间上的图象如图所示：
(2)不等式，即.
由，
解得.
故不等式的解集为.
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（2023春·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习）关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最大值是
B．函数在上单调递增
C．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D．若方程在区间有两个实根，则
【答案】BCD
【详解】
.
对于A：函数的最大值是，A选项错误；
对于B：时，，是正弦函数的递增区间，故B选项正确；
对于C：函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
即函数的图象，C选项正确；
对于D：当时，，令，则，
由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：
当时，，
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是，D对.
故选：BCD.
例题2．（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）函数与的定义域为，且.若的图像关于点对称.则（ ）
A．的图像关于直线对称B．
C．的一个周期为4D．的图像关于点对称
【答案】AC
【详解】A选项：由，得，又，
所以的图像关于对称，A选项正确；
B选项：由的图像关于点对称，得，由选项结论知，
所以，从而，故，
即的一个周期为4，
因为，
所以B选项错误；
C选项：由，及，
则，得，函数的周期为C选项正确；
D选项：取，又，
与的图像关于点对称矛盾，D选项错误，
故选：AC.
例题3．（多选）（2023春·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习）将函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为到原来的，然后向左平移个单位长度得到函数图象，则（ ）
A．是函数的一个解析式
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数是周期为π的奇函数
D．函数的递减区间为
【答案】BD
【详解】由函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为到原来的，得，
再由函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象，
所以.
对于A：，故A错误；
对于B：，要求的对称轴，只需令，
则，当k=1时，解得：，
所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；
对于C：，故，
所以函数不是奇函数，故C错误；
对于D：要求函数的递减区间，只需，
解得：，即函数的递减区间为，故D正确.
故选：BD
例题4．（多选）（2023春·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知函数，则下列叙述中，正确的是（ ）．
A．函数的图象关于点对称B．函数在上单调递增
C．函数的最小正周期为D．函数是偶函数
【答案】AB
【详解】，A正确；
时，，因此此时递增，B正确；
，但不存在，C，D均不正确，
故选：AB．
练透核心考点
1（多选）（2023春·福建南平·高一校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为B．函数的一个对称中心为
C．函数在区间上单调递减D．将函数的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称
【答案】AC
【详解】，
对选项A：，正确；
对选项B：当时，，错误；
对选项C：时，，函数单调递减，正确；
对选项D：平移后的函数为，不关于轴对称，错误.
故选：AC
2．（多选）（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期是B．最小值是
C．直线是图像的一条对称轴D．在处取得最大值
【答案】ABD
【详解】，
最小正周期，A正确；
当时，即时，
取得最小值为，B正确；
函数的对称轴为，即，，
设为函数的一条对称轴，
则，解得，矛盾，C错误；
函数最大值在，处取到，即，，
取，可得，所以在处取得最大值，D正确.
故选：ABD.
3．（多选）（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考阶段练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列选项中结论正确的是（ ）
A．是函数的一条对称轴
B．函数为偶函数
C．函数在为增函数
D．函数在区间上有20个零点
【答案】BD
【详解】.
A：，因此不是函数的一条对称轴，
所以本选项说法不正确；
B：，显然函数是偶函数，所以本选项说法正确；
C：，，所以此时函数为减函数，因此本选项说法不正确；
D：，
当时，令，所以函数在区间上有20个零点，因此本选项说法正确，
故选：BD
4．（多选）（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是奇函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）的图像关于点（，0）对称
C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的图像关于直线对称
【答案】ABD
【详解】因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则，
又，
又函数是偶函数，因为，
所以，即，
又，，则.
函数最小正周期，故选项A正确；
函数图像对称点的横坐标为：，即，
令时，，故选项B正确；
又由：，得到
所以函数的单调增区间为：，
令时，得到一个增区间为：
故选项C错误；
函数图像的对称所在直线方程为；，
令时，，故选项D正确.
故选：ABD
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知函数，若存在实数满足互不相等，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】函数的图象如下图所示：
存在实数满足互不相等，不妨设，则由图可知关于对称，所以；
当时，，，则，此时；
当时，因为解得或，故而，，且由图可得，即，可得，
所以
设，则，在上单调递减，所以，所以，综上所述；
故答案为：.
例题2．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）已知函数 （）的相邻两对称轴间的距离为 .
(1)求 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变)，得到函数 的图象，记方程在 上的根从小到大依次为 ，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）函数
，
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，
所以.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，方程在区间要有5个解，
则，即.
其中，
即，
，，
解得，，，.
所以
.
因为，.
例题3．（2023春·重庆·高一校联考阶段练习）函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）令，
由图象可知：，最小正周期，，
，则，解得：，
又，，，
.
（2）由（1）得：，
当时，，
令，则在上与恰有个交点，
作出与的图象如下图所示，
由图象可知：当时，与恰有个交点，
即若在上恰有个零点，则的取值范围为.
例题4．（2023春·江西南昌·高一南昌二中校考阶段练习）定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，有
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，且对，都有恒成立.求的取值范围：
(3)若，函数在有五个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为对任意的，恒有，
令，则，即，
令，则，
所以，即，所以是奇函数；
（2）令，，则，
不妨设，则，因为，
，即，
又当时，，所以，
即，所以在上单调递增，
令，则，
令，则，，
因为，都有，
又在上单调递增，所以，都有，
即
即有
解得
（3）因为，令，则，，，
所以由，可得，
又在上单调递增，所以有五个不同的零点，
令，则，
作出函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，当或时，与交点个数为2，
当时，与交点个数为3，
由题可得必有两个不同解，且，
所以，解得或
①时，，方程为，（舍去）
②时，，方程为，此时（舍去）
③，时，则
解得
综上所述：的取值范围为
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且.若恒成立，则实数k的取值范围是__________.
【答案】
【详解】画出函数的图象，如图所示：
当时，；
当时，，当时取等号.
由，，
由图易知，当时，方程无解，
故只有时才有四个不相同的解，且.
由，解得或，
由余弦函数的性质知，关于直线对称，则，
由，即①，解得或，
从而，
令得，则，
故等价于，
故，恒成立，
所以（当且仅当时取得最小值），所以.
故答案为：.
2．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知函数的最小值为，其图像经过点，且图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上有且仅有两个实数根，，求实数的取值范围，并求出的值．
【答案】(1)
(2)，的值见解析.
【详解】（1）由题意，得，，
∴，，
∴
又函数的图像经过点，则，即，
由，得，
∴．
（2）由题意，关于的方程在上有且仅有两个实数根，，即函数与的图像在上有且仅有两个交点，
由（1）知．
设，则，
∵，
∴，
则，其函数图像如图所示，由图可知，实数的取值范围为，
①当时，，关于对称，
则，得；
②当时，，关于对称，
则，得；
综上，实数的取值范围为，
当时，的值为；当时，的值为．
3．（2023春·新疆省直辖县级单位·高一校考开学考试）已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将得到的图象向下平移个单位长度得到函数的图象．若函数在上的零点个数为，求的取值范围．
【答案】(1)函数的最小正周期为
(2)
【详解】（1）解：因为
，
所以，函数的最小正周期为.
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，
再将得到的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，再将得到的图象向下平移个单位长度得到函数的图象，
则，其中，
由可得，则直线与函数在上的图象有两个公共点，
因为，则，如下图所示：
因为，由图可知，当时，
直线与函数在上的图象有两个公共点，
因此，实数的取值范围是.
4．（2023春·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）已知函数.
(1)将函数的解析式写成分段函数;
(2)函数与直线有2个交点，求实数的范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，当时，得，
当时，得，
所以；
（2）如图，作出函数的图象，
由图可知，当函数与直线有2个交点，.
角度3：三角函数模型
典型例题
例题1．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，若点的纵坐标为，，则时的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设y与时间t的函数关系式为，由题意可得，初始位置为，即初相为，故可得，，则，．
又函数周期是60（秒）且秒针按顺时针方向旋转，即，
所以，即，
．
令，则，解得．
故选：B
例题2．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为，其中心O到水面的距离为，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为，当水车上的一个水筒从水中（处）浮现时开始计时，经过后水筒A距离水面的高度为（单位：，在水面下时，高度为负数），则当时，_______．
【答案】
【详解】由题设，水车的角速度为．
又水车的半径为，所以中心O到水面的距离为，
设经过后水筒A距离水面的高度为，
由题意可知，由于时，水筒A在处，即，
即，由于，故取，
故后水筒A距离水面的高度可表示为．
故答案为：.
例题3．（2023春·山东济南·高一山东师范大学附中校考阶段练习）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．
(1)已知在时刻（单位：min）时点距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及2023min时点距离地面的高度；
(2)当点距离地面m及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
【答案】(1)，70m
(2)0.5min
【详解】（1）依题意，，，，则，
所以，
由可得，，，
因为，所以．
故在时刻t时点P距离地面的离度．
因此，
故2023min时点P距离地面的高度为70m．
（2）由（1）知，其中．
依题意，令，
即，所以，
解得，
则，
由，
可知转一圈中有0.5min时间可以看到公园全貌．
例题3．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考阶段练习）某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（小时）的函数近似满足（，，）．如图是函数的部分图象对应凌晨0点）．
(1)根据图象，求，，，的值；
(2)由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限，又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型（）拟合．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计这一时刻处在中午11点到12点间，为保证该企业即可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法将这一时刻所处的时间段精确到15分钟．
【答案】(1),,,
(2)
【详解】（1）由函数图象知，∴，
，
，代入，得，
则,又,
综上，,,, .
（2）由（1）知,
令，
设，则为该企业的停产时间．
当时，，则在上单调递增，
而（）为减函数，
故在上是单调递增函数．
由，
又，
则，即11点到11点30分之间（大于15分钟），
又，
则，即11点15分到1点30分之间（正好15分钟），
故估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产．
练透核心考点
1．（2023秋·浙江·高一校联考期末）如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面的高度为________m．
【答案】##
【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，
因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，
所以，解得，
因为每转一圈，所以，，
当时，，所以，所以可取，
所以，
所以当时，
故答案为：
2．（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为________米．
【答案】85
【详解】设乘客乘坐摩天轮与地面的高度与时间的关系为：，，,，
由题意可知，，，
，即，
又，即，故，
，
．
∴第7分钟时他距离地面的高度大约为85米.
故答案为：85.
3．（2023春·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）某港口的水深y（单位：m）是时间t（，单位：h）的函数，下面是该港口的水深表：
经过长时间的观察，描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象.
(1)试根据数据表和曲线，求出函数的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底同海底的距离不少于4.5m时是安全的.如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多少小时?（忽略离港所用的时间）
【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）由图象知最大值，最小值，得，，
得，即，得，此时，又当时，,
故．
（2）由，得，即，得，
得，，解得，，
，时，，时，，
故当1时至5时，或13时至17时，能够安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间为小时．
4．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)将点距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？
【答案】(1)
(2)秒．
【详解】（1）由题意可知，，
设角是以Ox为始边，为终边的角，
由条件得，
将，代入，得，
∴，∴；
（2）由题意知，即，
∴，．
即，，
∴.
答：在水轮转动的一圈内，点在水下时间为秒．
第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023·全国·校联考模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： _________．
①的周期为2；②在上为减函数；③的值域为．
【答案】（答案不唯一）
【详解】不妨设，
由的周期为2可得，当时，，
不妨令，则，
要使在上为减函数，且的值域为，
则有，解得，
所以，
故答案为：（答案不唯一）.
2．（2021春·陕西汉中·高一统考阶段练习）函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则的一个值为__________．
【答案】（答案不唯一）
【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后，
可得，
由函数与的图像重合，
所以
即
令时，可得
所以的一个值为.
故答案为：（答案不唯一）.
3．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）将函数的图象先向右平移个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则的一个可能取值为_________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】因为，
将函数的图象先向右平移个单位，可得到函数的图象，
再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，可得到函数的图象，
因为，
所以，，可得，
故的一个可能取值为.
故答案为：（答案不唯一）.
②探究性试题
1．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为
(1)请写出这两个条件序号，说明理由，并求出的解析式；
(2)求方程在区间上所有解的和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）函数满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②中的最大值不一样，所以互相矛盾，
故③为函数满足的条件之一，
由③可知，，所以，故②不合题意，
所以函数满足的条件为①③；
由①可知，所以；
（2）因为，所以，
所以或，
所以或，
又因为，所以x的取值为
所以方程在区间上所有的解的和为.
2．（2022·上海·高一专题练习）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．
(1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；
(2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；
(3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)存在，或或.
【详解】（1）由已知得存在实数，使得，
∴，
∴实数m的取值范围是.
（2）由题意得“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价于：
对是任意实数，关于的方程都有解，
则对于时有解，即,∴；
反之，当时，,等价于
，显然，是此方程的解，故此方程对于任意实数都有实数解.
综上所述，“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；
（3）由已知得，，
化简得，的最小正周期为；
根据函数在上的图象可知：
①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”；
②当时，在有个“跃点”，此时；
③当或时，在上有个“跃点”，故；
综上：或或.
③劣够性试题
1．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）已知：①函数；②向量，，且，；③函数的图象经过点.请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知______，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)若，且，求的值；
(2)求函数在上的单调递减区间．
(3)请用五点作图法作出函数的图象.
【答案】(1)
(2)，
(3)图象见解析
【详解】（1）选条件
因为
，
又，所以，所以.
选条件
因为，，
所以，
又，所以，所以．
选条件③
由题意可知，，所以，所以．
又因为函数图象经过点，所以，即，
因为，所以 ，所以．
因为，，所以 ，
所以．
（2）由，
得，
令，得，令，得，
所以函数在上的单调递减区间为，．
（3）列表：
作出图象如图：
2．（2023春·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）在①是函数图象的一条对称轴，②函数的最大值为2，③函数图象与y轴交点的纵坐标是1，这三个条件中选取两个补充在下面题目中，并解答．
已知函数，___________．
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）①是函数图象的一条对称轴，所以有，
因为，所以令，即；
②函数的最大值为2，所以；
③函数图象与y轴交点的纵坐标是1，所以，
若选①②：则；
若选①③：，所以；
若选②③：，因为，所以，
则；
（2）由（1）可知，
当时，，当时，即时，函数有最大值，
当时，即时，函数有最小值，
所以函数的值域为.
3．（2023秋·安徽安庆·高一统考期末）已知函数，且满足________．从①函数的图象关于点对称；②函数的最大值为2；③函数的图象经过点．这三个条件中任选一个补充到上面的横线上，并解答下面的问题：
(1)求实数a的值并求函数的单调递增区间；
(2)已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)．
【详解】（1）由条件知
若选①，则，解得，，
由，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
若选②，则函数的最大值为，解得，，
由，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
若选③，则，
所以，，
由，解得，，
所以函数的单调递增区间为．
（2）由题意可知只需即可．
当时，，所以，
因此函数的最大值为1．
令，则，则
当即时，函数的最大值为，于是，
整理得，解得，均满足，所以；
当即时，函数的最大值为，于是，无实解；
综上所述，实数m的取值范围为．
4．（2023春·山东青岛·高一统考开学考试）已知函数（，），记其最小正周期为T，若．
(1)求φ；
(2)从①；②两个条件中任选一个，补充在下面的横线处，并解答，若在上单调，且______，求方程在上的解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【详解】（1）由题得.
因为，所以.
因为，所以.
（2）由（1）得.
如果选择①，则，
. 所以.
因为.
假设函数在上单调递增，
令,所以.
所以
因为，，所以
所以.
同理当函数在上单调递减，此时无解.
,所以，
所以或.
所以或，
因为
如果选择②，则函数的图象关于点对称.
所以,所以.
假设函数在上单调递增，同理
所以.
同理当函数在上单调递减，此时无解.
,所以，
所以或.
所以或，
因为
第五部分：数学思想方法
①函数与方程的思想
1．（2023·四川攀枝花·高三攀枝花市第三高级中学校校考阶段练习）已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以，
又因为当 时，，
因为函数在区间上有且只有两个零点，
当时，的零点只能是，
所以，
解得，
所以的取值范围为是.
故选：B.
2．（2023·河北衡水·高三校联考阶段练习）如图所示，某摩天轮上一点从摩天轮的最低点处顺时针匀速转动，经过秒后，点第一次位于摩天轮的最高点，且距离地面米，当点距离地面最低点时开始计时，若点在时刻距离地面高度（米）关于（分钟）的解析式为，则以下说法正确的是（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为米
B．摩天轮的转盘直径为米
C．若在时刻，点距离地面的高度相等，则的最小值为
D．，使得点在时刻距离地面的高度均为米
【答案】ABD
【详解】由题意得：，解得：；
摩天轮转一圈需要秒，即分钟，，；
又，，又，，
；
对于A，摩天轮离地面最近的距离为米，A正确；
对于B，摩天轮的转盘直径为米，B正确；
对于C，令，则，
若取最小值，则，关于对称，
，解得：，的最小值为，C错误；
对于D，令，即，
则或，
解得：或，
则当，时，点在时刻距离地面的高度均为米，D正确.
故选：ABD.
3．（2023·全国·高一专题练习）某港口其水深度y（单位：m）与时间t（，单位：h）的函数，记作，下面是水深与时间的数据：
经长期观察，的曲线可近似地看作函数的图象，其中A＞0，，．
(1)试根据以上数据，求出函数的近似表达式；
(2)一般情况下，该港口船底离海底的距离为3m或3m以上时认为是安全的（船停靠时，近似认为海底是平面）．某船计划靠港，其最大吃水深度（船吃水一般指船浸在水里的深度，是船的底部至船体与水面相连处的垂直距离）需12m．如果该船希望在同一天内安全进出港，问：它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
【答案】(1)，
(2)18h
【详解】（1）根据表格数据可得，则，，．
由，可知．
当时函数取最大值，即，，所以．
又因为，所以．
所以函数的近似表达式为，．
（2）由题意得，即，
因为，所以．
通过正弦函数图象可知，
当，即时，．
由于停泊时的要求恒成立，如果该船希望在同一天内安全进出港，
它至多能在港内停留．
②数学结合的思想
1．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）已知函数图象与函数图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：作出函数和的图象，
如图所示：
由图可知，取的中点，连接，则，
因为是锐角三角形，所以，
则，即，
由，得，，
即，，
则，即点A的纵坐标为，
故，
因为，
所以，
所以．
故选：A.
2．（多选）（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）水车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图是水车示意图，其半径为，中心O距水面，一盛水斗从点处出发，逆时针匀速旋转，转动一周．假设经t秒后，该盛水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h，则下列说法正确的是（ ）．
A．高度h表示为时间t的函数为：
B．高度h表示为时间t的函数为：
C．当时，该盛水斗在水面下处
D．该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为
【答案】ACD
【详解】设高度h表示为时间t的函数为，
由题意可得，所以，，
所以，所以，
则，
当时，则，所以，
则或，
又，所以，
所以，故A正确，B错误；
当时，，
所以当时，该盛水斗在水面下处，故C正确；
令，
则，所以，
则，
所以该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为，故D正确.
故选：ACD.
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）在区间内恰有4个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在内有且仅有1个极大值点
B．在内有且仅有2个极小值点
C．的取值范围是
D．在内单调递减
【答案】BCD
【详解】因为，所以，
若在内恰有4个零点，则，解得，故C正确；
由图象可知：在内有1或2个极大值点，故A错误；
在内有且仅有2个极小值点，故B正确；
当时，，
所以在内单调递减，故D正确.
故选：BCD.
4．（2023春·江西南昌·高一南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知函数，点A，B，C是它们图象相邻的三个交点，且ABC是正三角形，则正数ω的值为_____________．
【答案】##
【详解】解：在同一坐标系中，作出函数，的图象，如图所示：
其中D为AC的中点，
由，得，
则，，
又，
即，解得，
故答案为：
5．（2023春·山东威海·高一校考阶段练习）已知函数
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象
(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.
【答案】(1)图象见解析
(2)，最小值0；，最大值1
【详解】（1）由题意，令，可得：
画出在一个周期的图像如图所示：
（2）当时，，
由题意及（1）得，
在中，当时，
函数在处取最小值0，在处取最大值1.
0
0
0
0
1
0
-1
0
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