新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第06讲 双曲线(精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第06讲 双曲线(精讲）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第06讲双曲线精讲原卷版doc、新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第06讲双曲线精讲解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc15178" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc15178 \h 1
\l "_Tc11705" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc11705 \h 3
\l "_Tc775" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc775 \h 3
\l "_Tc30650" 高频考点一：双曲线定义理解 PAGEREF _Tc30650 \h 3
\l "_Tc3195" 高频考点二：利用双曲线定义求方程 PAGEREF _Tc3195 \h 4
\l "_Tc17303" 高频考点三：双曲线中最值问题 PAGEREF _Tc17303 \h 5
\l "_Tc5205" 高频考点四：双曲线中的焦点三角形 PAGEREF _Tc5205 \h 6
\l "_Tc32090" 高频考点五：双曲线标准方程 PAGEREF _Tc32090 \h 7
\l "_Tc14399" 高频考点六：双曲线焦点、焦距、实轴、虚轴 PAGEREF _Tc14399 \h 8
\l "_Tc20129" 高频考点七：等轴双曲线 PAGEREF _Tc20129 \h 9
\l "_Tc31612" 高频考点八：双曲线的渐近线 PAGEREF _Tc31612 \h 10
\l "_Tc5462" 高频考点九：双曲线的离心率 PAGEREF _Tc5462 \h 11
\l "_Tc21813" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc21813 \h 12
第一部分：知识点必背
知识点一：双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小.
(1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;
(2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.
知识点二：双曲线的标准方程和简单几何性质
知识点三：等轴双曲线
（，）当时称双曲线为等轴双曲线
①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为；
④等轴双曲线的方程，；
知识点四：双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）
第二部分：高考真题回归
1．（2023·全国（甲卷文理）·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国（乙卷文理）·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
4．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：双曲线定义理解
典型例题
例题1．（多选）（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（ ）
A．当时，点的轨迹为一直线
B．当时，点的轨迹为一射线
C．当时，点的轨迹不存在
D．当时，点的轨迹是双曲线
例题2．（2023·宁夏银川·银川一中校考一模）已知点，则满足下列关系式的动点的轨迹是双曲线的上支的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的两个焦点分别是，双曲线上一点到的距离是12，则到的距离是（ ）
A．17B．7C．7或17D．2或22
练透核心考点
1．（2023春·福建福州·高二校联考期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1B．17C．1或17D．8
2．（2023·全国·高二专题练习）已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·上海·高二专题练习）已知，两点，则满足的动点的轨迹方程为 .
高频考点二：利用双曲线定义求方程
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）动点与点与点满足，则点的轨迹方程为 ．
例题3．（2023·高二课时练习）若动点满足，则点的轨迹方程为 .
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（ ）
A．（）B．（）
C．D．
2．（2023秋·福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .
3．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 .
高频考点三：双曲线中最值问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
例题2．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知点，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点，则点和点距离的最大值为（ ）
A．2B．C．3D．4
例题3．（2023秋·浙江杭州·高二校考期末）已知点，点是双曲线左支上的动点，为其右焦点，是圆的动点，则的最小值为 ．
练透核心考点
1．（2023春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校联考期末）过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为 ．
3．（2023·高二课时练习）已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线右支上的任一点，，则的最大值为 ．
高频考点四：双曲线中的焦点三角形
典型例题
例题1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
例题2．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线，、是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为 ．
例题3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知直线过双曲线：的左焦点，与双曲线的左右两支分别交于两点，若，其中，则的取值范围为 .
练透核心考点
1．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点是双曲线上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·陕西安康·高二校联考期末）设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是
3．（2023·全国·高三对口高考）设，分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则 ， ；
高频考点五：双曲线标准方程
典型例题
例题1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）若双曲线的焦点在轴上，若该双曲线的焦距为4，则等于（ ）
A．1B．C．4D．10
例题2．（2023秋·湖南永州·高二统考期末）若双曲线：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（多选）（2023秋·江苏南京·高二校考期末）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
例题4．（2023·全国·高三专题练习）经过两点，的双曲线的标准方程为 ．
练透核心考点
1．（2023春·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或B．
C．D．
2．（2023秋·河南洛阳·高二统考期末）若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为（ ）
A．或 B． C．D．
3．（多选）（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线E可能为抛物线B．当时，曲线E为圆
C．当或时，曲线E为双曲线D．当时，曲线E为椭圆
4．（2023秋·高二课时练习）若方程表示双曲线，则m的取值范围是 ．
高频考点六：双曲线焦点、焦距、实轴、虚轴
典型例题
例题1．（2023春·湖北孝感·高二统考开学考试）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线过双曲线的一个焦点，则双曲线实轴长为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）双曲线的虚轴长为（ ）
A．3B．6C．D．
例题3．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，
(1)求双曲线标准方程；
(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
练透核心考点
1．（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的实轴长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·上海静安·高二统考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为 .
高频考点七：等轴双曲线
典型例题
例题1．（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）和椭圆有相同焦点的等轴双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）等轴双曲线的焦距为 .
例题3．（2023春·内蒙古通辽·高二校联考开学考试）双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是 .
练透核心考点
1．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）过点的等轴双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为
3．（2023·高二课时练习）如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为，那么此双曲线的标准方程为 ．
高频考点八：双曲线的渐近线
典型例题
例题1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知双曲线，过的右顶点且与一条渐近线平行的直线交轴于点，的面积为2，则的焦距为（ ）
A．B．C．4D．
例题2．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·上海松江·高二上海市松江一中校考期末）已知，双曲线的两个焦点为，，若椭圆的两个焦点是线段的三等分点，则该双曲线的渐近线方程为 .
练透核心考点
1．（2023春·贵州铜仁·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）
A．9B．C．3D．
2．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（ ）

A．3B．C．D．
3．（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）已知是双曲线的左焦点，点，直线与双曲线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为 .
高频考点九：双曲线的离心率
典型例题
例题1．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右顶点，是的焦点，点为的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线与直线的斜率之比为3，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
例题2．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的右支上，满足轴，为坐标原点且，则离心率（ ）
A．2B．C．D．
例题3．（2023春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线的斜率为，则双曲线的离心率为 .
练透核心考点
1．（2023春·广西南宁·高二南宁三中校考期末）直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，则离心率（ ）
A．4B．3C．D．
2．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北·校联考三模）已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知双曲线：的左焦点为，点M在双曲线C的右支上，，若周长的最小值是，则双曲线C的离心率是 .
第四部分：数学文化题
1．（2023春·四川成都·高二成都七中校考开学考试）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudi完成的．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．4B．C．2D．
2．（2023春·陕西安康·高二统考期末）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）

A．B．24C．32D．
3．（2023春·广东揭阳·高二校联考阶段练习）如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其离心率为，上顶点坐标为(,)，那么该双曲线的方程可以为（ ）

A．B．
C．D．
4．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（ ）
A．B．C．D．标准方程
（）
（）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，，
间的关系