新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第07讲 函数的图象（高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29621" 第07讲 函数的图象(精讲） PAGEREF _Tc29621 \h 1
\l "_Tc17737" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc17737 \h 2
\l "_Tc21511" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc21511 \h 4
\l "_Tc12108" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc12108 \h 6
\l "_Tc4406" 高频考点一：画出函数的图象 PAGEREF _Tc4406 \h 6
\l "_Tc12730" 高频考点二：函数图象的识别 PAGEREF _Tc12730 \h 15
\l "_Tc22805" 高频考点三：函数图象的应用 PAGEREF _Tc22805 \h 20
\l "_Tc30016" 角度1：研究函数的性质 PAGEREF _Tc30016 \h 20
\l "_Tc9019" 角度2：确定零点个数 PAGEREF _Tc9019 \h 22
\l "_Tc9801" 角度3：解不等式 PAGEREF _Tc9801 \h 23
\l "_Tc30924" 角度4：求参数的取值范围 PAGEREF _Tc30924 \h 25
\l "_Tc9772" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc9772 \h 29
第一部分：知识点必背
1、平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
④(，且)的图象(，且)的图象.
3、伸缩变换
①.
②.
4、翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）
5、图象识别技巧（按使用频率优先级排序）
①特殊值法（观察图象，寻找图象中出现的特殊值）
②单调性法（；；，；通过求导判断单调性）
③奇偶性法
④极限（左右极限）（；；；；）
⑤零点法
⑥极大值极小值法
第二部分：高考真题回归
1．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
2．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
3．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：画出函数的图象
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】先作出函数的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得解.
如图所示：
故答案为C
例题2．（2023·全国·高三对口高考）作出下列函数的图像：
(1) (2)； (3)； (4)；
(5)； (6)； (7)．
【详解】（1）函数，则其图象可看作由反比例函数的图象，
先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示：
（2），其图象如图：
（3）设，其图象如图：
（4）设，其图象如图：
（5）设，其图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到，
而，其图象可由的图象保留时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，
则图象如图示：
（6）的图象可由函数的图象保留x轴上方的部分不变，
将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，图象如图：
（7）设，则其图象可由的图象向左平移1个单位，
再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【答案】B
【详解】，
作出其图象如图所示：
由图象可知，函数的增区间为和.
故选:B
2．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）函数，若函数，有三个不同的零点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【详解】当时，根据对勾函数可得在上单调递增，在上单调递减，故此时最小值；
当时，根据在上单调递减，故此时最小值；
作出对应的图象，如图所示
函数有三个不同的零点，可看作与有三个不同的交点，
从图象可得到实数m的取值范围是
故答案为：
3．（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知函数，试画出的图象，并根据图象解决下列两个问题．
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值．
【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2）.
【详解】的图象如图所示．
(1) 在和上是增函数，在上是减函数，
∴单调递增区间为，；单调递减区间为；
(2)∵，，
∴在区间上的最大值为.
4．（2023·高一课时练习）已知函数.
（1）用分段函数的形式表示该函数;
（2）在所给的坐标系中画出该函数的图像,并根据图像直接写出该函数的定义域、值域(不要求写作图及解答过程)
【答案】（1）（2）图见解析，定义域，值域
【详解】（1）
当,;
当,
（2）由（1）得:
画出函数的图像,如图:
根据函数图像可知:定义域,值域.
5．（2023·全国·高三专题练习）利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)偶函数
(4)非奇非偶函数
(5)偶函数
【详解】（1）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；
（2）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故为偶函数；
（3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，
再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得的图象，如图实线部分．
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图，
由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图，
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
高频考点二：函数图象的识别
典型例题
例题1．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由函数的定义域为,所以A.C选项错误;
当,函数为一次函数,故B选项错误,D选项正确;
故选:D.
例题2．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）已知函数，则函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由函数解析式可知，当时，为二次函数一部分，
当时，为反比例函数一部分，结合图像即可得到C正确
故选:C
例题3．（2023·河南焦作·统考模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意知函数的定义域为，
因为，所以为奇函数，故排除A；
因为，所以排除B；
因为，所以排除D；
故选：C.
例题4．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】图像过点，，排除AD；当时，，排除C.
故选：B.
例题5．（多选）（2023秋·湖南娄底·高三校联考期末）函数 的图象的大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】解：因为，
当时，在上单调递增，且当趋于时，趋于；
在上单调递减，当趋于时，趋于,故排除D；
当时，在上单调递减，当趋于时，趋于；在上单调递增，当趋于时，趋于,故排除C.
故选：AB.
练透核心考点
1．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数定义域为R，因为函数，
所以函数为偶函数，故A，C错误；
又，即函数过原点，故B错误；
故选：D.
2．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）函数的部分图像大致为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】可得，
令，定义域为，且，
则为奇函数，图象关于原点对称，
是由向右平移2个单位所得，的图象关于对称，故BC错误；
当时，，，故D错误.
故选：A.
3．（2023秋·云南德宏·高一统考期末）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为，
所以函数是定义在上的偶函数，排除选项C；
令可得，所以或或，
所以函数的零点有，排除A；
当时，，排除选项B；
选项D符合以上特征，
即数在上的图象大致为选项D中的图象.
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）函数的部分图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】对任意的，，则函数的定义域为，
因为，
，则函数为偶函数，排除CD选项，
又因为，当且仅当时，等号成立，排除B选项.
故选：A.
5．（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，选项A不满足；
当时，，有，选项B不满足；
当时，，则恒有，选项C不满足；
显然选项D符合题意.
故选：D
高频考点三：函数图象的应用
角度1：研究函数的性质
典型例题
例题1．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）给定函数，，.
(1)在同一直角坐标系中画出函数和的图象；
(2)，用表示，中的最大者，记为，试判断在区间的单调性.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1），图象如图所示，
（2）由（1）及的定义得，在单调递减，在单调递增，在单调递减
所以当时，在单调递减，
当时，在单调递减，在单调递增，
当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.
例题2．（2023秋·江西上饶·高一统考期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象，完成以下问题.
(1)补充完整图象，写出函数的解析式和其单调区间；
【答案】(1)图象见解析; 解析式为;
的减区间:;增区间:
【详解】（1）如图，根据偶函数的图象关于轴对称，可作出的图象；
令，则，
函数是定义在上的偶函数，
解析式为
由图象知的减区间:;增区间:
角度2：确定零点个数
典型例题
例题1．（2023春·湖北·高一校联考阶段练习）已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【详解】当时，单调递增，且，且为定义在上的奇函数,
所以,可得且在上单调递增,
由，得．
又因为，,可得,
为定义在上的奇函数,又可得,
根据题意作出满足要求的的大致图像,
由图知，直线与的图像有4个公共点，
所以有4个零点．
故选：A.
角度3：解不等式
典型例题
例题1．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）已知，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】对于，有，
当时，对数函数在上为减函数，
所以，可得，
当时，对数函数在上为增函数，
所以，可得；
所以对于，有或；
对于，有，
因为在上为减函数，所以；
对于，有，
因为在上为增函数，所以；
综上：或，即.
故选：A.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：依题意，等价于，
在同一坐标系中作出，的图象，如图所示：
如图可得的解集为：.
故选：D.
角度4：求参数的取值范围
典型例题
例题1．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有5个不同实数根，则______．
【答案】
【详解】如图，作出函数的图象，
令，
由图可知，当或时，方程有两个解，
当时，方程有三个解，
当时，方程有四个解，
因为关于x的方程有且仅有5个不同实数根，
所以关于方程的方程其中一个根，
另一个根或，
又因，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）关于的方程有四个实数解，则的取值范围是______________
【答案】
【详解】设，则函数的图象如图所示：
其中，
若关于的方程有四个实数解，函数与直线的交点有4个交点，
由图可得，所以的取值范围是.
故答案为：.
2．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考开学考试）若指数函数的图象经过点，则不等式的解集是______________________．
【答案】
【详解】由题意设函数（且），
因为的图象经过点，所以，解得，
所以，
因为，即，
所以由在上递减得，解得，
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)画出函数的图象，并写出其单调递增区间；
(2)若方程有四个解，试求实数的取值范围.
【答案】(1)图见解析，和
(2)
(1)
由题意得：，令，解得：或，可得函数图象,如下图所示
由图象可知，单调递增区间为和，
(2)
由题意可知，方程有四个解转化为函数与有四个不同的交点，分别作出函数与的图象，如图所示
由图象可知， .
所以实数的取值范围为.
4．（2023·高一课时练习）设函数.
(1)某同学认为，无论实数取何值，都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由；
(2)若是偶函数，求实数的值；
(3)在（2）的情况下，求函数的单调递增区间.
【答案】(1)观点正确，理由见解析
(2)
(3)和（和也正确）
【详解】（1）该同学的观点正确，理由如下：
，若为奇函数，则有，
，显然无实数解，不可能是奇函数.
（2）若为偶函数，则有，
即，同时平方得
又x不恒为0，
.
（3）由（2）知 ，其图象如下图所示，
由图象，知的单调递增区间为和，写成和也正确.
第四部分：数学文化题
1．（2022·全国·高三专题练习）高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数有且仅有3个零点，
即的图象与函数的图象有且仅有个交点．
而，
画出函数的图象，
易知当时，与的图象最多有1个交点，故，
作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，
所以实数的取值范围是，
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除A，C.
设题干中函数图象与轴交点的横坐标分别为，且，且.
对于B，令，即，作出和的函数图象，如图所示：
由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，符合题意；
对D，令，即，作出和的函数图象，如图所示：
由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，故D不符合题意.
故选：B.
3．（2022·天津·高三专题练习）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数在的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】，为奇函数，排除A
，，，
故选：D
4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．的值域是
C．在上是减函数D．，
【答案】AC
【详解】由题意可知，，
可画出函数图像，如图：
可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取 ，则，故D错误.
故选：AC．
5．（2022·浙江·高三专题练习）对实数a和b，定义运算“”：设函数．若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________．
【答案】
【详解】因为，
所以
由图可知，当或时，函数与的图象有两个公共点，
的取值范围是.
故答案为：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数