新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29442" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc29442 \h 1
\l "_Tc29019" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc29019 \h 2
\l "_Tc87" 高频考点一：利用空间向量求点到直线的距离 PAGEREF _Tc87 \h 2
\l "_Tc19834" 高频考点二：利用空间向量求点到平面的距离 PAGEREF _Tc19834 \h 6
\l "_Tc28476" 高频考点三：立体几何中的折叠问题 PAGEREF _Tc28476 \h 10
\l "_Tc18471" 高频考点四：立体几何综合问题 PAGEREF _Tc18471 \h 15
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第一部分：知识点必背
知识点一：点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
知识点二：点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用空间向量求点到直线的距离
典型例题
例题1．（2023秋·湖北·高二统考期末）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．3B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______．
例题3．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱的棱长均为2，，．
(1)证明：平面平面；
(2)设为侧棱上的点，若平面与平面夹角的余弦值为，求点到直线距离．
练透核心考点
1．（2023·江苏南京·统考二模）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．
(1)求证：；
(2)若点到直线的距离为，求的值．
2．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.
(1)若平面平面，求证： ；
(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.
3．（2023秋·辽宁锦州·高二渤海大学附属高级中学校考期末）如图，平行六面体中，底面是菱形，且.
(1)求与所成角的余弦值；
(2)若空间有一点P满足：，求点P到直线的距离.
4．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为4，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______ .
高频考点二：利用空间向量求点到平面的距离
典型例题
例题1．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考期中）已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
例题2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离等于_____.
例题3．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点是半圆弧上一动点（点与点，不重合），为弧的中点，.

(1)证明：；
(2)若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点到平面的距离.
例题4．（2023·北京通州·统考三模）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

(1)证明：.
(2)若是等腰直角三角形，，，点在棱AD上（与A，D不重合），若二面角的大小为，求点到面的距离.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在几何体中，菱形所在的平面与矩形所在的平面互相垂直．
(1)若为线段上的一个动点，证明：∥平面
(2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
练透核心考点
1．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若为AB的中点，求证：直线平面；
(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．

3．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点，点是线段上的点（不包括两个端点）.

(1)设平面与平面相交于直线，求证：；
(2)是否存在一点，使得二面角的余弦值为，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由；
(3)当为线段的中点时，求点到平面的距离．
4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.

(1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点到平面的距离.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：；
(2)若点为棱上不与端点重合的动点，且与平面所成角正弦值为，求点到平面的距离.
高频考点三：立体几何中的折叠问题
典型例题
例题1．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知梯形CEPD如下图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点满足时，平面平面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形的边长为2，.将菱形沿对角线折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为________.
例题3．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为边的中点，在边上，且，沿将进行折叠，使点运动到点的位置，如图2，连接，，，，使得.

(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
例题4．（2023·新疆阿克苏·校考一模）如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿，折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱．
(1)若点在棱上，且，证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
例题5．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）如图1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图2），使平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
练透核心考点
1．（2023春·福建南平·高一福建省政和第一中学校考期中）等腰直角三角形ABC斜边上的高，以为折痕将与折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：

①；②；折叠后的立体图形中，BC与平面ABD所成夹角为60；折叠后连接各点可形成一个四面体，它的外接球半径为．其中正确结论的序号是________．
2．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）如图1，直角梯形中，，，，为的中点，现将沿着折叠，使，得到如图2所示的几何体，其中为的中点，为上一点，与交于点，连接.

(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角.
3．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．

(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．

4．（2023春·湖北·高一赤壁一中校联考阶段练习）设矩形的周长为，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去交DC于点P.
(1)证明△ADP的周长为定值，并求出定值；
(2)在探讨△ADP面积最大值时，同学们提出了两种方案：①设AB长度为，将△ADP面积表示成的函数，再求出最大值；②设，将△ADP面积表示成的函数，再求出最大值，请你选择一种方案（也可选择自己的方案），求出△ADP面积的最大值.
5．（2023·高二单元测试）如图，分别是矩形上的点，，，把四边形沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体．
(1)当点在棱上移动时，证明：；
(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
高频考点四：立体几何综合问题
典型例题
例题1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.

(1)求证：平面；
(2)若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
例题2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
①与平面所成角相等；②三棱锥体积为；③

(1)平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求点到平面的距离.
例题3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，，，且.

(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
练透核心考点
1．（2023·四川内江·校考模拟预测）在直角梯形中，，，，直角梯形绕直角边旋转一周得到如下图的圆台，已知点分别在线段上，二面角的大小为．

(1)若，，，证明：平面；
(2)若，点为上的动点，点为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．
2．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）如图在几何体中，底面为菱形，.

(1)判断是否平行于平面，并证明；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面与平面所成角的大小；
（ii）求点到平面的距离.
条件①：面面
条件②：
条件③：
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
3．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）如图，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于的点.

(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；
(2)若四棱锥的体积为，设平面平面，求的最小值.