新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第07讲 抛物线(分层精练）（2份，原卷版+解析版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由于抛物线的方程为，
所以，，则
所以抛物线的焦点坐标是，
故选：A.
2．（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，
因为点在上，且到直线的距离为，
可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以.
故选：B
3．（2023秋·高二单元测试）抛物线的准线方程是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】抛物线化为标准方程，
所以准线方程是，
所以，
解得.
故选：B.
4．（2023春·云南楚雄·高二云南省楚雄彝族自治州民族中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为在抛物线上，且，则（ ）
A．2B．4C．8D．12
【答案】B
【详解】由题意可得，则．
故选：B.
5．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
抛物线中时可得，且
则，取（如图）

，
,又对称性可知.
故选；C.
6．（2023秋·高二课时练习）抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】抛物线即，其焦点坐标为，
设关于直线的对称点的坐标是，
则，解得，则，
故选：A．
7．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（ ）
A．10B．9C．8D．5
【答案】B
【详解】设，，
联立得，
则.
所以.
当且仅当，即，时，上式取等号，
故.
故选：B
8．（2023春·四川凉山·高二统考期末）已知直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，在轴的同侧，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】由已知抛物线的焦点的坐标为，
直线的方程为，
联立，消得，
设，则，
所以，
圆的圆心坐标为，半径为1，
由已知可得，
所以

故选：A.
二、多选题
9．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（ ）
A．
B．
C．直线的斜率为
D．的面积为
【答案】ABD
【详解】由题意得，又，故解得，所以抛物线的方程为，焦点，故A，B正确；

由抛物线定义及，所以代入抛物线方程可得得，
所以，故C不正确；
则的面积，故D正确.
故选：ABD.
10．（2023·河北·统考模拟预测）已知抛物线C：的焦点为点在上，且弦的中点到直线的距离为5，则（ ）
A．B．线段的长为定值
C．两点到的准线的距离之和为14D．的最大值为49
【答案】CD
【详解】由抛物线的焦点为，
所以，则，A错误；
设，，
则由弦的中点到直线的距离为5，可得，
所以，当过点时，由抛物线的定义可得；
当时，，
所以的长不是定值，B错误；
两点到的准线的距离之和与相等，值为14，C正确；，当且仅当时等号成立，
故的最大值为49，D正确．
故选：CD．
三、填空题
11．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）抛物线上的点到焦点的距离为 .
【答案】3
【详解】由得抛物线的准线为，焦点为，
因为点在抛物线上，所以，得，
所以点到焦点的距离为，
故答案为：3
12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的的准线与轴交于点，，是的焦点，是上一点，，则 .
【答案】
【详解】抛物线的准线为，
由题意，，
设，则，，
因为，所以，
所以，，
代入得，解得（负值舍），
所以.
故答案为：
四、解答题
13．（2023春·海南·高二统考学业考试）已知抛物线：的焦点坐标为．
(1)求的方程；
(2)直线：与交于A，B两点，若（为坐标原点），求实数的值．
【答案】(1)
(2)7
【详解】（1）由抛物线的定义可得，所以，
所以抛物线的方程为．
（2）设，．
联立方程组得消去得，
由，得．
所以，．
所以，
解得或（舍去）．
故实数的值为7．
14．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大，
即动点到点的距离等于它到直线的距离，
，两边平方，
化简可得.
（2）设、，由，消去得，
则，所以，，
所以，
所以，即.
B能力提升
1．（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）已知抛物线：的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（ ）
A．12B．14C．15D．16
【答案】D
【详解】由题意可得，，则，抛物线方程为，准线方程.
由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
设，，其中，，
由，得.
∴在点处的切线方程为，化简得，①
同理可得在点处的切线为，②
联立①②得，由的横坐标为4，得，
将的方程代入抛物线方程，可得，
∴，，得，
∴，
则.
故选：D.

2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，

过点作准线，垂足为点，则，
由，得，
则，
则，
则，
根据抛物线的对称性可得直线的斜率为.
故选：C
3．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）南宋晩期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图一所示，这只杯盏的轴截面如图二所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，则该杯盏的高度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

依题意可得，设抛物线的标准方程为，
则，解得，所以抛物线的标准方程为，
可设，代入抛物线方程，可得，
所以该杯盏的高度为cm.
故选：C.
4．（2023春·浙江衢州·高二统考期末）设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，，与相交于点，且，则的面积为 .
【答案】/
【详解】由得，
又因为为，的中点，
所以，所以，
所以为的三等分点，且，
又因为，所以，且，所以，
不妨设，，且在第一象限，
，所以，
因为点，在抛物线上，
所以，
所以根据相似关系可得，，
所以，则.
故答案为：．

C综合素养
1．（2023春·湖南长沙·高二雅礼中学校考期末）已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．
(1)求点到抛物线焦点的距离；
(2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【详解】（1）将点代入抛物线方程，则，
抛物线焦点，
则点到抛物线焦点的距离等于点到抛物线准线的距离．
（2）存在，证明如下：
如图，设，．

把代入得，，
由根与系数的关系得，．
，点的坐标为．
假设存在实数，使，则．
又是的中点，．
由（1）知，
．
轴，，
又
．
，
两边同时平方得：，
解得，即存在，使．
2．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为.过焦点的直线与抛物线交于A，B，的最小值为12.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过点的另一直线与曲线相交于，两点，，，且与的面积的和为，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)2或-2
【详解】（1）依题意抛物线的焦点为，
则时，直线l与x轴垂直，
不妨取，则，
因为，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）因为抛物线的方程为，所以，
则直线的方程为，设，，
联立消去得，
由韦达定理，得，，
所以.
因为点C，D在曲线上，且，
所以根据抛物线的对称性知.
因为，所以点到直线的距离，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以直线的斜率为2或.