新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第08讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29086" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc29086 \h 1
\l "_Tc7277" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc7277 \h 3
\l "_Tc24206" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc24206 \h 9
\l "_Tc6193" 高频考点一：内切球 PAGEREF _Tc6193 \h 9
\l "_Tc21544" 角度1：等体积法 PAGEREF _Tc21544 \h 9
\l "_Tc27347" 角度2：独立轴截面法 PAGEREF _Tc27347 \h 11
\l "_Tc30605" 高频考点二：长方体、正方体外接球问题 PAGEREF _Tc30605 \h 18
\l "_Tc3547" 高频考点三：补形法 PAGEREF _Tc3547 \h 20
\l "_Tc18797" 角度1：墙角型 PAGEREF _Tc18797 \h 20
\l "_Tc16246" 角度2：对棱相等型 PAGEREF _Tc16246 \h 21
\l "_Tc13967" 高频考点四：单面定球心法 PAGEREF _Tc13967 \h 26
\l "_Tc2900" 角度1：底面是等边三角形 PAGEREF _Tc2900 \h 26
\l "_Tc19913" 角度2：底面是直角三角型 PAGEREF _Tc19913 \h 30
\l "_Tc14158" 角度3：底面是普通三角型 PAGEREF _Tc14158 \h 32
\l "_Tc20091" 高频考点五：双面定球心 PAGEREF _Tc20091 \h 44
第一部分：知识点必背
1、球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：
即：，可求出.
2、内切球独立截面法
如图，在三棱锥中，是其内切球球心，求其内切球的半径
①在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中
②在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中和
③利用相似性求出内切球半径.
3、正方体、长方体外接球
①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；
设长方体一个顶点出发的三条边长分别为，，，则外接球半径；
②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；
设正方体边长为，则外接球半径；
4、墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）
①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
③正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
5、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；
②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；
③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.
6、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥中：
①选定底面，定外接圆圆心
②选定面，定外接圆圆心
③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
2．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，

(当且仅当，即时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高.
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．
故选：C.
3．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
4．（2023·全国（乙卷文）·统考高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．
【答案】2
【详解】如图，将三棱锥转化为直三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，则，
因为，即，解得.
故答案为：2.
5．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．
【答案】12
【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，

由题意可知，为球心，在正方体中，，
即，
则球心到的距离为，
所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，
所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.
故答案为：12
6．（2023·全国（甲卷文）·统考高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．
【答案】
【详解】设球的半径为.
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；

分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，
连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.
综上，.
故答案为：
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：内切球
角度1：等体积法
典型例题
例题1．（河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题）正四棱锥中，底面边长，侧棱，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当小球与正四棱锥各面相切时半径最大，此时小球表面积的最大，
设小球的半径为，

由底面边长，侧棱，可得正四棱锥的高，
所以，
又侧面面积为，底面面积为，
，解得，
小球表面积的最大值为．
故选：D．
例题2．（2023春·山东菏泽·高一统考期中）已知正三棱锥中，，，，则正三棱锥内切球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为三棱锥为正三棱锥，所以，
设，
因为，所以，
因为，所以，
因为，，
所以，
所以，得，得，
所以，
设点为的重心，由 ，
所以,
设正三棱锥内切球的半径为，设为正三棱锥内切球的球心，
因为，
所以，
所以，
解得
故选：C

角度2：独立轴截面法
典型例题
例题1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，
过点作的垂线，垂足为，设球的半径为，则，
设圆台的母线为，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，，
圆台的侧面积为，解得，则，即，
则球的表面积.
故选：A.
例题2．（2023春·江苏·高一专题练习）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，圆与AB切于点D，设球的半径为，
则，且，
有，即，得，
所以水的体积，
所以水的体积与球的体积之比是.
故选：D.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设，
即，
由条件可知，，
在中，，即，解得：，
所以圆锥内切球的体积.
故选：D
考点一练透核心考点
1．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设内切球O的半径为R，则，∴．
如图，连接AC与BD，设交点为F，取AD的中点E，连接PE，PF，EF．
根据等体积法得，
∴，整理得，又，
解得，．∴，，．
在中，．
∴点Q在以点F为圆心，为半径的圆上，其周长为．
故选：C．
2．（2023·广东深圳·校考一模）已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________.
【答案】
【详解】在中，，
故，即，
则折成的三棱锥中，，，，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c
则，解得，
此长方体的外接球是三棱锥的外接球，
设外接球的直径，即，
又因为三棱锥是长方体切掉四个角，
故三棱锥，
三棱锥四个侧面是全等的，
，
设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故，
则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为.
故答案为：.
3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在正四棱锥框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切．若，且OP＝2，则球O的表面积为______．

【答案】
【详解】在正四棱锥中，，则是正三角形，
于是，所以，
因为球O与侧棱PA，PB，PC，PD均相切，
则由对称性知，平面截正四棱锥得等腰直角三角形，
截球O得球O的大圆，且圆O与直角边都相切，如图，

显然平分角，因此球O的半径，
所以球O的表面积为.
故答案为：
4．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．
【答案】
【详解】设球的半径为，则圆锥的高为，取圆锥的轴截面，其中为圆锥的顶点，
设球心为，如下图所示：

设圆分别切、于点、，则为的中点，
由题意可得，，则，
又因为，所以，，同理可得，所以，，
又因为，故为等边三角形，故，
所以，圆锥的侧面积为，
因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为.
故答案为：.
5．（2023·全国·高一专题练习）如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为__________.

【答案】
【详解】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球．
小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形如图所示：

由题意知：，则，，
，
小球滚动形成的圆柱的高为
则小球滚动形成的几何体的体积为：，
容器的体积为，
则小球无法碰触到的空间部分的体积为.
故答案为：．
6．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）球O为正四面体的内切球，，是球O的直径，点M在正四面体的表面运动，则的最大值为__________．
【答案】/
【详解】
如图，为中点，为中心，平面，
设球O的半径为r，，
正四面体中，易求得
所以正四面体的高为，
所以根据体积公式得：
，解得，
因为点M在正四面体的表面运动，
所以，
所以
．
故答案为：．
高频考点二：长方体、正方体外接球问题
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】半径为R的球内接一个正方体，设正方体的棱长为，
该球即为正方体的外接球，直径长度为正方体的体对角线长，
则，即，
所以正方体的体积为.
故选：C
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．
【答案】
【详解】由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，
所以，所以
所以外接球的表面积.
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题知，正方体的棱长为，且正方体的顶点都在同一球面上，
设正方体的外接球半径为，
所以，
所以该球的体积为，
故选：A
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）若棱长分别为，2，3的长方体的顶点都在同-球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】长方体的体对角线的长度为，
因为长方体的顶点都在同一球面上，故该球为长方体的外接球，故其直径为，
故表面积为.
故选：B.
3．（2021·山东·高三学业考试）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．14πB．28πC．42πD．56π
【答案】A
【详解】长方体的长，宽，高分别为3，2，1，设外接球的半径为，则，
解得，
所以．
故选：．
4．（2021春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为64，则这个球的表面积是__________.
【答案】
【详解】解：正四棱柱高为4，体积为64，
所以底面积为16，则底面正方形边长为4，
所以正四棱柱的对角线长即球的直径为，
球的半径为，球的表面积，
故答案为：.
高频考点三：补形法
角度1：墙角型
典型例题
例题1．（1991·全国·高考真题）在球面上有四点、、、，如果、、两两垂直，且，则这个球的表面积是
【答案】/
【详解】依题意，两两垂直，且，
由此补形成正方体如下图所示，
则四面体的外接球，也即是正方体的外接球，
所以求的半径为，
所以球的表面积为.
故答案为：
例题2．（2023·全国·高一专题练习）三棱锥中，已知两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【详解】以线段为相邻的三条棱为长方体，连接,,,即为三棱锥，
∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，
∴则其外接球直径为长方体对角线的长，
设外接球的半径为，则,
解得,
则.
故答案为:.
角度2：对棱相等型
典型例题
例题1．（多选）（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知四面体中，，，，为其外接球球心，与，，所成的角分别为，，，有下列结论正确的是（ ）
A．该四面体的外接球的表面积为
B．该四面体的体积为10
C．
D．
【答案】AD
【详解】
依题意，把四面体补成长方体，如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
则，，，解得，，；
由于四面体的外接球就是长方体的外接球，
所以球的半径，
可得该四面体的外接球的表面积为，故A正确；
该四面体的体积等于长方体的体积去掉四个三棱锥的体积，
则，故B错误；
四面体的外接球的球心O是长方体体对角线的中点，
则，，分别等同于长方体的体的体对角线AE与面对角线AB，AC，AD所成的角，
则，
即，故C错误；
，，是边长为5，，的三角形的三个内角，
故，故D正确.
故选：AD.
例题2．（多选）（2023·江苏·高一专题练习）已知三棱锥中，，分别是的中点，是棱上（除端点外）的动点，下列选项正确的是（ ）
A．直线与是异面直线；
B．当时，三棱锥体积为；
C．的最小值为；
D．三棱锥外接球的表面积.
【答案】ACD
【详解】对A，是平面内直线BA外一点，是平面外一点，两点连线与是异面直线，故A正确；
对B，将三棱锥放入长方体中，如图，
因为，所以，所以，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，即，解得，
显然三棱锥体积等于长方体体积减去长方体角上4个相同的三棱锥的体积，
，所以，故B错误；
对D，因为三棱锥外接球即为长方体的外接球，所以外接球半径，所以外接球的表面积，故D正确；
对C，将三棱锥侧面展开在一个平面上，连接，交于,
如图，
由余弦定理，，
,
所以，,
所以，
在中，,
所以，即当P点运动到M点时，的最小值为，故C正确.
故选：ACD
考点三练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线，
设长方体的同一顶点三条棱长分别为,且长方体的面对角线长为，
则,
长方体体对角线为长方体外接球直径，即为三棱锥外接球的直径，
，它外接球半径等于，
所以球的表面积为.
故选:A.
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设四面体的外接球的半径为,
则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，
则 故，
故四面体ABCD外接球的体积为，
故选：C
3．（2022秋·辽宁沈阳·高一新民市第一高级中学校考期末）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的体积是_______________.
【答案】
【详解】空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，
则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,
所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线长为
所以这个球面的体积.
故答案为:
4．（2020秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为________．
【答案】8π
【详解】由于平面，所以，而，
所以是长方体一个顶点引出的三条棱，
设球的半径为，则，所以，
所以球的表面积为.
故答案为：
高频考点四：单面定球心法
角度1：底面是等边三角形
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，点在上，，过点作三棱锥外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意知，和为等边三角形，如图所示，
取中点为E，连接，则，由平面平面，
平面平面，故平面，
，
球心O在平面的投影为的外心，
过O作于H，易得，
则在中，，
所以外接球半径，连接，
因为，
所以H，O，M三点共线，
所以，
当M为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，
此时，截面圆半径，
所以截面圆周长的最小值为，
故选:D．
例题2．（多选）（2023·全国·高一专题练习）正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【详解】设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，
由题知：，解得.
当外接球球心在线段上时，如图所示：
，，
所以.
当外接球球心在线段的延长线上时，如图所示：
，，
所以.
故选：AB
例题3．（2023春·江苏·高一专题练习）在三棱锥中，已知平面，且是边长为的正三角形，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为___________.
【答案】
【详解】取,,的中点,,，连结,,，交于点，
则，
设三棱锥的外接球的半径
由外接球表面积为可得
设三棱锥的外接球的球心为，
连结，则平面，
过作，交于，，
，故
所以,故三棱锥的体积为
故答案为：
例题4．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，侧棱，，，则此三棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【详解】因为，所以点在底面的射影为的外心，
所以球心在直线上，设三棱锥外接球的半径为，因为，
所以，，由可得，
，解得，
故此三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．
角度2：底面是直角三角型
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得，
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，则球心O在直线上．
连接OA，则，
因为，所以；
因为，所以.
因为，所以球心在线段上．
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
所以三棱锥的外接球表面积为.
故选：B．
例题2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知直三棱柱外接球的表面积为，，若外接圆的圆心在上，半径，则直三棱柱的体积为______．
【答案】3
【详解】解：如图，
外接圆的圆心在AC上，
为AC的中点，且是以为直角的直角三角形，
由半径，得，又，．
把直三棱柱补形为长方体，设，
则其外接球的半径．
又直三棱柱外接球的表面积为，
，即．
，解得．
直三棱柱的体积为．
故答案为3．
角度3：底面是普通三角型
典型例题
例题1．（2023秋·四川乐山·高二统考期末）在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设外接圆的半径为，圆心为，
根据正弦定理，则，故，
设三棱锥外接球的半径为,
由，可知为等腰三角形，
过作于，则为中点，由平面，平面，
故，则共面，
平面，平面，，
又，故，于是四边形为平行四边形，
四边形为为矩形，则，
故外接球的表面积.
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，将三棱锥补成以AC为侧棱的直棱柱，设△BCS外接圆圆心为，半径为r，设△ADE外接圆圆心为，连接，，，取的中点O，则点O为三棱锥外接球球心，连接CO，设该三棱锥外接球半径为R，在△BCS中，，所以.在中，，所以该三棱锥外接球体积为，
故选：B.
例题3．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球表面积为__________．
【答案】
【详解】如图，设外接球的球心为O，设的外接圆圆心为，
平面，，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，即，
则在中，，
则三棱锥的外接球表面积为.
故答案为：.
考点四练透核心考点
1．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知正三棱锥的侧棱长为，点，分别在线段，（不包括端点）上，且，，若点为三棱锥的外接球的球面上任意一点，则点到平面距离的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【详解】取的中点，连接，如图所示：
在正三棱锥中，，
所以，
下底面为等边，
所以，
由，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，，
所以，
所以，
由，
所以平面，
又平面，
所以，所以，
所以，
设三棱锥的外接球球心为，外接圆的圆心为，
连接，则在正三棱锥中，底面为正三角形，
所以一定在上，且一定在上，
同时平面，
在中由正弦定理得：
，
在中，，
在中，，
设球体的半径为，
所以，
所以，
所以三棱锥的外接球的球面上任意一点到平面距离的最大值为：
，
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则外接圆圆心在DE上，且，
解得，设三棱锥外接球球心为O，
连接，，过作，垂足为，
由平面平面，得，故四边形为矩形，
因为，
所以，
且，
所以，设三棱锥外接球半径为R，
有，
又，
所以，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设正三棱柱，取三棱柱的两底面中心，，
连结，取的中点，连结，则为正三棱柱外接球的半径．
∵是边长为的正三角形，是的中心，
∴．
又∵，
∴．
∴正三棱柱外接球的表面积．
根据题意可知，当球半径是底面正三角形内切圆的半径时，此时正三棱柱内的球半径最大，即，
所以正三棱柱内 半径最大的球表面积为，
所以该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为，
又，则，
由得，解得，
所以表面积为．
故选：D．
5．（2023春·山东临沂·高一校考阶段练习）在三棱锥中，平面，若，，，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径为，
由题意，根据正弦定理可得，所以，
记外接球的球心为，的外接圆圆心为，
根据球的性质，可得平面，
则因为平面，所以；
又，所以，因此，
所以此三棱锥的外接球的体积为.
故选：D.
6．（2023秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图所示：
设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以是等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
7．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”．在堑堵中，，四边形是边长为4的正方形，则堑堵外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设堑堵外接球的半径为，
因为，四边形是边长为4的正方形，
则正方形的中心为外接球的球心，
如图，可得，
则堑堵外接球的表面积．
故选：．

8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
【答案】
【详解】由题知，，，，，
，又，平面，平面.
如图，设三棱锥的外接球的球心为，底面的中心为，
连接，则平面，且，
又，则外接球的半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
9．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为__________．
【答案】
【详解】如图所示：
因为平面，平面，平面，
所以，.
因为，，所以，
因为，，所以，
在中，，，，
满足，即.
因为在三棱锥中，平面，，
所以三棱锥的外接球半径，
故三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：
10．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
【答案】
【详解】取的中点，连接，，如图所示：
因为，所以为的外接圆圆心，
又因为，为的中点，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以三棱锥的外接球球心在直线上.
在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，
设，，所以，
.
在中，，
所以，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥的底面为矩形，，
则其外接球的表面积为________．
【答案】
【详解】如图取中点，底面中心为，外接球的球心为，则底面，
由因为，
所以，，
即，，，
因此有，，
，
设球的半径为，．
在直角梯形中，
在直角中，
联立得，即，故球的表面积为.
故答案为：
高频考点五：双面定球心
典型例题
例题1．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．πB．πC．πD．π
【答案】D
【详解】如图，取中点，连接，，
因为△ABD和△CBD均为边长为2的等边三角形，
所以，，则为二面角的平面角，即，
设△ABD和△CBD外接圆圆心分别为，，
则由，可得，，
分别过作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点，
记为，连接，，则由可得，
所以，则，
则三棱锥外接球的表面积，
故选：D

例题2．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图所示，
连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、，
所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心，
又因为面面，面面，面，
所以面，
同理：面，
设等边△SDA的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O，
则面，面，
所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，
方法1：等边△SDA的外接圆半径
方法2：在等边△SDA中由正弦定理得，解得：，
又因为，
所以，
所以四棱锥外接球表面积为.
故选：C.
例题3．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，是边长为6的等边三角形，，三棱锥体积的最大值是__________；当二面角为时，三棱锥外接球的表面积是__________.
【答案】
【详解】当二面角为，且时，三棱锥的体积最大，设线段的中点为，连接，易求得.
当二面角为时，和的外接圆圆心分别记为和，
分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为.过作的垂线，垂足记为，
连接，.在中，由正弦定理得：，所以，
易知，在Rt中，，在Rt中，，
所以三棱锥外接球的半径，所以，
即三棱锥外接球的表面积是.
故答案为：27，

练透核心考点
1．（2023·河北·统考模拟预测）在三棱锥中，底面，和的外接圆半径分别为，，若三棱锥外接球的表面积与体积数值相同，，则取得最大值时，的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设和的外接圆的圆心分别为,由底面，平面,
所以,所以为直角三角形，所以为的中点，所以，
由于，所以，
设三棱锥外接球的球心为，连接,
则底面，底面,
故,，
由于三棱锥外接球的表面积与体积数值相同，设外接球的半径为,
所以,
所以，当且仅当 时取等号，
在中，由正弦定理可得，
故选：C
2．（2023·全国·高一专题练习）已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，且二面角为，则三棱锥外接球的半径为____________
【答案】
【详解】如图，设D为AB的中点，连接CD，，
由于，为正三角形，
所以,所以,
故.
设分别是，的外接圆圆心，
分别过作平面与平面的垂心，交点为，则是三棱锥外接球的球心，易知≌，
，的外接圆半径为，
所以,即，
即.
所以外接球半径为.
故答案为:.
3．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知在边长为2的菱形ABCD中，，沿对角线BD将折起，使平面平面BCD，则四面体ABCD外接球的表面积为________；若P为AB的中点，过点P的平面截该四面体ABCD的外接球所得截面面积为S，则S的最小值为________．
【答案】 /
【详解】由已知可得和均为等边三角形，取中点，连接，，
则，因为平面平面，平面平面，
平面，则平面，
分别取和的外心，，过，分别作对应面的垂线，相交于，如图，
则为三棱锥的外接球的球心，由和均为边长为的等边三角形，
可得，，
，
所以四面体的外接球的表面积为.
P为AB的中点，且，又，所以为三等分点，
取为的中点，，
，
，，
过点P的平面截该四面体ABCD的外接球所得截面面积为S，
当P为截面圆圆心时，S最小，设截面圆的半径为，
，则，
所以.

故答案为：；.