新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线(分层精练）（2份，原卷版+解析版）

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A夯实基础
一、单选题
1．（2023·上海·高二专题练习）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【详解】，在椭圆内，
恒过点，直线与椭圆相交.
故选：A.
2．（2023·上海·高二专题练习）过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为，联立，得①.
当，即时，①式只有一个解；
当时，则，解得；
综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】由题意得：，准线方程为，
设，则中点的横坐标为，
故，解得：，
由抛物线的焦半径可知：.
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【详解】设点的横坐标分别为，则.
由过抛物线的焦点的弦长公式知：.
故选：C
5．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知点A，B在抛物线上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，、，，
，．
又，，
，
即．
又，均为正数，．
，即．
由抛物线对称性，知点、关于轴对称．
，则．
，将其代入抛物线方程中得，解得，
等边三角形的边长为，所以面积为，
故选：A
6．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设,则，相减得，
由于,所以，
所以,将其代入中可得，
所以 ,故,
故选：C
7．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得．
因为，
所以．又因为，所以，
故双曲线的方程为，
所以两条渐近线的方程为．
设，则，
故．
不妨设，则，
所以，
所以．
故选：B．
8．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知双曲线（，）的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，
在双曲线（，）中，离心率，
∵，解得：，
∴，
是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，
设，
∴，解得：，
∵直线的斜率分别为，，且 ，
∴，
∴
故选：B.

二、多选题
9．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】ABD
【详解】因为抛物线经过点，所以，解得，故A正确；
所以抛物线方程为，则焦点，
设直线，则，消去整理得，
则，所以，，
则，
，
所以，故B正确；
所以，，所以，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
10．（2023春·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）抛物线焦点为，且过点，直线，分别交于另一点和，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．直线CD过定点
C．上任意一点到和的距离相等D．
【答案】CD
【详解】抛物线过点，所以，，故D正确；
所以抛物线，上任意一点到和准线的距离相等，故C正确；
设，，设，则，
所以的方程为，即，
联立，得，
当时，，得，
代换，得到，
所以，故A错误；
直线CD：，即，不过定点，故B错误.
故选：CD
三、填空题
11．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知抛物线上的两个不同的点、的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为 .
【答案】
【详解】由题意，直线的斜率存在，
设直线的方程为，
因为点，的横坐标恰好是方程的根，
所以，，
联立，消得，
则，，
所以，，所以，，经检验，符合题意，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
12．（2023·全国·高三对口高考）已知，分别是椭圆的左、右焦点，为其过点且斜率为1的弦，则的值为 ．
【答案】/
【详解】由知，，
，则，
，
则所在直线方程为，
即，
联立，得，
设，
则，，
，
.
故答案为：
四、解答题
13．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)平面上点B满足，过与平行的直线交于两点，若，求椭圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题设及，不妨设，
所以，，解得或（舍去），从而，
直线的方程为，整理得，
原点到直线的距离为，将代入整理得，
即，
所以离心率.
（2）由（1）问可设椭圆方程为，则，
因为，所以为平行四边形，
所以直线过点，则斜率为，
则设直线方程为，
联立椭圆方程得，显然，则，
则，解得（负值舍去），
所以，所以椭圆方程为.

14．（2023·陕西西安·统考二模）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当四边形为平行四边形时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得椭圆的半焦距，
又，则，，
椭圆的方程为.
（2）由（1）得椭圆的方程为，
由题意得直线的方程为，即，
联立消去得，
设，则.
四边形是平行四边形，
设，则，即，
，
又，即，解得
B能力提升
1．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知点是抛物线上的一点，若以抛物线的焦点为圆心，以为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，当的面积为时，则等于（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【详解】
依题意，所以为等边三角形，
设准线与轴交点为，则，，
则圆的半径，
，解得（负值舍去）.
故选：C.
2．（2023·江西·统考模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（ ）

A．6B．8C．D．29
【答案】C
【详解】由，可得的纵坐标为，设，则，解得，
由题意反射光线经过抛物线的焦点，
所以直线的方程为，整理可得，
由消去整理得，解得，，
则，所以，所以.
故选：C
3．（2023·全国·模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点.若，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，因为以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点，则，
又因为，所以，，又为的中点，所以在直角中，，所以，所以渐近线，即，又，所以，故以为直径的圆的方程为，联立，解得或，即，同理可得，由双曲线的对称性，易知四边形为矩形，所以四边形的面积为.
故选：A.
C综合素养
1．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆的离心率为，是上一点．
(1)求的方程；
(2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，解得，，，
故的方程为．
（2）设，，则
则，即．
因为线段的中点坐标为，所以，，
则．
故直线的方程为，即．

2．（2023春·广东河源·高二龙川县第一中学校考期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，且的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
依题意有，，，
，，，
所求椭圆方程为；
（2）设，，
①当轴时，；
②当与轴不垂直时，
设直线的方程为，
坐标原点到直线的距离为，
则，即．
把代入椭圆方程，整理得，
，
，
结合，消去，可化为，，
当且仅当，即，，时，等号成立，
又当不存在时，，
综上所述，的最大值为2，
所以的面积的最大值为．

3．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知椭圆的长轴长为4，上顶点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知条件得，解得，
上顶点坐标为，，解得或，
由于，则，
所以的方程为；
（2）由（1）得，设，，
联立可得，其中，
，，
设直线的方程为，
联立解得
点在直线上，则，即，
同理可得，
所以
令，则,
此时，当时有最小值，即.