新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9745" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc9745 \h 1
\l "_Tc5379" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc5379 \h 3
\l "_Tc14690" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc14690 \h 9
\l "_Tc9940" 高频考点一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系 PAGEREF _Tc9940 \h 9
\l "_Tc1089" 高频考点二：根据直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系求参数 PAGEREF _Tc1089 \h 13
\l "_Tc6750" 高频考点三：相切问题 PAGEREF _Tc6750 \h 16
\l "_Tc11725" 高频考点四：由中点弦确定直线方程 PAGEREF _Tc11725 \h 20
\l "_Tc3934" 高频考点五：由中点弦确定曲线方程（离心率） PAGEREF _Tc3934 \h 25
\l "_Tc32636" 高频考点六：弦长问题 PAGEREF _Tc32636 \h 30
\l "_Tc30557" 高频考点七：三角形面积（周长）问题 PAGEREF _Tc30557 \h 37
\l "_Tc25341" 高频考点八：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题 PAGEREF _Tc25341 \h 47
\l "_Tc25225" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc25225 \h 52
第一部分：知识点必背
知识点一：直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
知识点二：直线与双曲线的位置关系
代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
知识点三：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：
若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长

弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
第二部分：高考真题回归
1．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
2．（2023·全国（甲卷文理）·统考高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
3．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，
故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则.，易知
则令,
令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证.
法二：不妨设在上，且，

依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，
则联立得，
，则
则，
同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而
故
①当时,
②当 时,由于,从而,
从而又,
故,由此
，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
典型例题
例题1．（2023·全国·高三对口高考）若直线被圆所截的弦长不小于2，则与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意，圆的圆心为，半径为.
设直线方程为，直线到圆心的距离为，
由弦长公式得，所以.
由点到直线的距离公式得，，即.
对于选项A，直线到该圆圆心的距离为，
取，满足条件，而，直线与圆没有公共点，故A排除；
对于选项B，当时，对于直线有，，，
联立椭圆方程得，所以必有公共点；
当时，联立直线与椭圆方程得，
，
所以必有公共点；故B正确；
对于选项C，联立直线与抛物线方程得，
若时，则，有解；
若时，，取，则，方程无解，此时无公共点，故C错误；
对于选项D，当时，对于直线有，，，
联立双曲线方程得，
取，则直线：，与双曲线不存在公共点，故D排除.
故选：B.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
【答案】C
【详解】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.
故选：C
例题3．（2023·高二课时练习）过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（ ）．
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【详解】解；双曲线方程为：，
当k不存在时，直线为x＝4，与1的图象有且只有一个公共点，
当k存在时，直线为：y＝k（x﹣4）+4，代入双曲线的方程可得：
，
（1）若＝0，k时，y＝（x﹣4）+4与双曲线的渐近线yx平行，
所以与双曲线只有1个公共点，
（2）k时， ，
即k，此时直线y（x﹣4）+4与双曲线相切，只有1个公共点．
综上过点P（4，4）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．
故选：D.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【详解】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有两个交点．不满足要求，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，消得，，
当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意；
当时，由，可得，
即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．
故选：B.
练透核心考点
1．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）直线与曲线的公共点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分；
一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行；
当时，曲线，即，椭圆的左半部分；
画出曲线和直线的图像，如图所示：

根据图像知有个公共点.
故选：B
2．（2023·重庆·统考二模）已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．无数条
【答案】A
【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.
①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；
②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.
若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.
故选：A.
3．（2023春·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【详解】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；
当直线斜率时，易知满足条件；
当直线斜率存在且时，设直线方程为，即，
，整理得到，，
，解得，直线方程为.
综上所述：满足条件的直线有2条.
故选：C
4．（2023·高二课时练习）抛物线的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．以上都有可能
【答案】B
【详解】设，，则的中点坐标为，，所以中垂线的斜率为，所以直线的中垂线方程为，代入，可得
∴，∵线段FA的中垂线与抛物线相切.
故选：B
高频考点二：根据直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系求参数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三对口高考）已知实数，满足：，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．5
【答案】B
【详解】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，
假设直线与椭圆相切，则，即，
所以，可得，即，
要使在x轴上截距最大，即.
故选：B.
例题2．（多选）（2023春·江苏南通·高二期末）双曲线的离心率为，若过点能作该双曲线的两条切线，则可能取值为（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】AC
【详解】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，
设切线方程是，
由得，
显然时，所得直线只有一条，不满足题意，所以，
由得，整理为，
由题意此方程有两不等实根，
所以，，
则为双曲线的半焦距，，
即，
代入方程，得，此时，
综上，e的范围是
故选：AC

例题3．（2023春·湖北武汉·高二武汉市吴家山中学校联考期中）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：,
当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；
当时，0时，，∴，
∴x＝1时，，即切线斜率，
∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是，
即．
故答案为：．
3．（2022·高二课时练习）曲线上点到直线距离的最小值为 ．
【答案】/
【详解】令与相切，联立整理可得，
所以，可得，
当，此时与的距离，
当，此时与的距离，
所以曲线到直线距离的最小值为.
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
【答案】/
【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，
即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．
故答案为：.
高频考点四：由中点弦确定直线方程
典型例题
例题1．（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为．
则，，
两式相减得，
又，，，
代入解得．
故选：D．
例题2．（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【答案】/2.25
【详解】设，
则
两式相减得，
由线段的中点坐标为，
即，
.
故答案为：
例题3．（2023秋·四川乐山·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由定义知，解得.
所以抛物线的方程为.
（2）设，，
显然点在抛物线C内，且是线段的中点，
所以,
因为两点在抛物线上，
所以，由，得，
所以，
故所求直线的方程为，即.
例题4．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线，圆：，双曲线：．
(1)直线与圆有公共点，求的取值范围；
(2)若直线与交于，两点，且点为的中点，若存在，求出方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）由已知得，圆：，∴圆心，半径，
∵与圆有交点，
则圆心到的距离，
整理可得，，
解得，．
（2）设存在直线，由题意可知，直线斜率不存在时不成立.
设、，
因为是的中点，所以，．
又，在双曲线上，所以，
两式相减得，
整理可得，，
又，∴，∴，
∴方程为，经检验，该直线与双曲线交于两点.
但不在上，
∴不存在这样的直线．
练透核心考点
1．（2023秋·四川凉山·高二统考期末）若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则满足，
两式作差得，即，
又被点平分，故，且直线的斜率存在，
所以，整理得，即，
则所在直线方程为，
化简得.
故选：A.
2．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，则，，
故，
由于线段的中点坐标为，
故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，
故，即，
所以直线的斜率为.
故选：C
3．（2023春·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：设，，由题意可知，
则，两式相减，得，
因为是弦AB的中点，所以，，
所以，即，直线AB的斜率为2，
所以弦AB所在直线的方程为，即，
故选：C.
4．（2023·高二课时练习）双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为 .
【答案】
【详解】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，
设弦的两端分别为，，
则有，两式相减得，
所以，
又因为弦的中点为，所以，
故直线斜率，
则所求直线方程为，整理得，
由得，
，故该直线满足题意，
故答案为：
5．（2023秋·广西北海·高二统考期末）已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由椭圆的定义知，，∴，
又∵椭圆的离心率，∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点，
设，，当时，不合题意，故，
∵为线段的中点，∴，∴，
又∵，均在椭圆上，∴，
两式相减，得，即，
∴，∴，即，
∴直线的方程为，即．
高频考点五：由中点弦确定曲线方程（离心率）
典型例题
例题1．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则从而，
故．由题意可得，
则，从而，故椭圆C的离心率．
故选：A.
例题2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为直线，所以，
由题可知的垂直平分线的方程为，
将与联立可得，即的中点坐标为．
设，，则，且，，
两式作差可得，
即，所以，
则双曲线的离心率为．
故选：D
例题3．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是 .
【答案】
【详解】设点、，
由题意可得，，，
直线的斜率为，
则，两式相减得，
所以，
由于双曲线的一个焦点为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
练透核心考点
1．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】关于直线对称，，
又中点纵坐标为，中点横坐标为；
设，，则，
两式作差得：，即，
；
又，，，解得：，
椭圆的离心率.
故选：A.
2．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.
可取，则满足条件的抛物线方程为.
故答案为：（答案不唯一）
3．（2023·甘肃兰州·校考一模）若椭圆的中心在原点，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ．
【答案】
【详解】法一：（直接法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆方程为，由，消去，
得，
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，
则
由题意知，解得．
所求椭圆方程为．
法二：（点差法）椭圆的中心在原点，一个焦点为，设椭圆的方程为．
设直线与椭圆相交所得弦的端点分别为，，
则
得
，
即，
又弦的中点的纵坐标为1，故横坐标为-2，
，代入上式得，解得，故所求的椭圆方程为．
故答案为：
4．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 .
【答案】/
【详解】如图，取的中点，连接，则，
所以，设直线的倾斜角为，则，
所以，
所以直线的斜率为.设，则.
由，得到.，
所以，所以，则.
故答案为：
高频考点六：弦长问题
典型例题
例题1．（2023春·江西新余·高二统考期末）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意设椭圆的方䄇为，
因为椭圆经过点且短轴长为2，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得直线的方程为，
设，将直线代入，
得，易得，所以，，
所以.

例题2．（2023春·浙江杭州·高二校考阶段练习）椭圆的方程为，短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与圆相切，且与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意得：，，结合，
解得：，
故椭圆方程为；
（2）直线l：与圆相切，
故，即，
联立与得：，
设，
，，
则，
将代入上式得：
解得：，
因为，所以，故，则，
所以直线l的方程为或.
例题3．（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程及弦的长.
【答案】（1）；（2）；.
【详解】解：（1）根据题意，焦点在轴上，且，，所以，
双曲线的标准方程为；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为，设，，
则，化简可得，
因为有两个交点，所以
化简可得恒成立，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，
所以直线方程为，即.
此时，
∴．
例题4．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2．
(1)求抛物线的方程和点坐标；
(2)过点的直线交抛物线于、，若的角平分线与轴垂直，求弦的长．
【答案】(1)抛物线方程为：， 点坐标为（2，1）
(2)4
【详解】（1）由可得：p＝2，
故抛物线方程为：，
当y＝1时，，
又因为x＞0，所以x＝2，
所以点坐标为（2，1）；
（2）由题意可得直线l的斜率存在，设直线方程为，，，
由，得，
所以，，，
因为的角平分线与y轴垂直，所以，
所以，即，
即，
所以，，，
所以.
练透核心考点
1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）若椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线过点，且被椭圆截得的线段长为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）抛物线的焦点，双曲线，即的焦点，
依题意，，
所以椭圆的方程为.
（2）因为点在x轴上，又椭圆的短轴长，则直线不垂直于y轴，设直线的方程为：，
由消去x并整理得：，
设直线被椭圆截得的线段端点为，则有，
于是，
即有，解得，
所以直线的方程为.
2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知双曲线的焦点为，且其渐近线为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点作斜率为的弦，求的周长.
【答案】(1)
(2)54
【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
由题意得，解得，
所以双曲线方程为；
（2）依题意得直线的方程为，设，
联立，得，则，
所以，
因为，
所以，所以A，B两点都在双曲线左支上，
又，由双曲线定义，，
从而，
的周长为.
3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）
直线方程为，将其代入抛物线可得，
由已知得，解得，
故抛物线的方程为．
（2）
因为，若直线分别与两坐标轴垂直，
则直线中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意，
所以直线的斜率均存在且不为0．设直线的斜率为，
则直线的方程为．
联立，得，则，
设，
则，设，则，则，
所以，同理可得，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
故的最小值为6．
4．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题意可知：，
解得：.
（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为，
由题意知直线斜率不为0，设直线为：，
联立直线与抛物线：，消得：，
则
则
所以，
解得，
所以直线为：或
高频考点七：三角形面积（周长）问题
典型例题
例题1．（2023春·广西河池·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以所求直线的方程为或．

例题2．（2023·河北·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点在轴上滑动，点在轴上滑动，、两点间距离为．点P满足，且点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设，是上的不同两点，直线斜率存在且与曲线相切，若点为，那么的周长是否有最大值．若有，求出这个最大值，若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)有，最大值为
【详解】（1）设点坐标为，点,的坐标分别为,．
由题意，得
则，，
又因为、两点间距离为，则
整理得点的轨迹为椭圆，其方程：．
（2）因为直线的斜率存在，设，，
设直线：，因为，是椭圆上的不同两点，所以
由直线与曲线相切可得，得，
联立可得，
所以，，
所以
，
∵，
同理
所以的周长
当时，的周长
当时，的周长，
（法一）由
设，则，，
当，即时，最大值为．
此时，，所以，即或，
此时直线：或，
所以的周长最大值为．
（法二）
当，即时，等号成立，则或，
此时直线：或，
所以的周长最大值为．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点是双曲线在第一象限内的一点，，过点的直线交轴于点，若为坐标原点，且面积是面积的倍，求直线的方程
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设双曲线C：，
由已知可知，双曲线的渐近线方程为.
因为C的一条渐近线方程为，
所以，即．
又，
所以，
所以，
故双曲线C的方程为．
（2）设，，，
则，.
因为，
所以，
即.
联立可得，所以.
则，
所以．
设点，则，
解得，所以．
当时，直线l的方程为，即；
当时，直线l的方程为，即．
例题4．（2023春·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，圆，过C上一点作的切线，该切线经过点．
(1)求的方程；
(2)若与相切的直线，与相交于，两点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，则．
设该切线的斜率为k，则．
由题可知，，因为该切线经过点，所以，
解得，故C的方程为．
（2）设l与C相切于点，则l的方程为，即．
由（1）可知，E的方程为．则圆心到l的距离．
因为l与E相交，所以，整理得．
．
点到l的距离，
的面积，
当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．
练透核心考点
1．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，连接并交椭圆于另一点，若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）联立得，由题意得，所以.
因为椭圆的离心率，所以.
因为，所以，
故椭圆的方程为.
（2）由题意知，直线不垂直于轴.
设直线的方程为，
联立方程组，消去并整理得，
所以，
所以
因为点到直线的距离，且是线段的中点，
所以点到直线的距离为，
所以.
由，解得或（舍去），
所以，
故直线的方程为，即或.
2．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点．
(1)记直线，的斜率分别为，，求；
(2)记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．
【答案】(1)见解析
(2)或或
【详解】（1）由题意知，，，
设直线的方程为，,,，
联立，得，
，，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
，为定值．
（2）设,则，,
由于,得，
设直线，可得，
设直线，可得，
所以
，
所以由得，
当时，则，解得，此时直线方程为
当时，则，解得，此时直线方程为
故直线方程为或或
3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中中，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点，且，求与面积之和的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设动点的坐标为，由已知得，，
化简得：，故曲线的方程为.
（2）如图：

因为点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点，
所以当直线的斜率为0时，不适合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
由得，，，
所以，
由，得，
因为，所以，
所以，
所以，解得：或（舍去），
当时，直线的方程为，
直线过定点，且满足，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故最小值为.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，直线交抛物线于两点，，，且.
(1)求坐标原点到直线的距离的取值范围；
(2)设直线与轴交于点，过点作与直线垂直的直线交椭圆：于，两点，求四边形的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为.
联立，消去，整理得，所以，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为，
又，
所以，所以，即，
所以坐标原点到直线的距离的取值范围为.
（2）由（1）可知.
由题意及（1）可知直线的方程为.
设，
联立，消去，整理得，
则根据根与系数的关系，得，
所以，
所以四边形，
设则
四边形，
因为在上单调递增，
所以四边形,
所以四边形的面积的最小值为.
高频考点八：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题
典型例题
例题1．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线与直线的斜率之积为，且椭圆C过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点，证明：，，三点共线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）令，则，又，则，
所以，即，，
由在椭圆上，则，
联立以上两式，可得，故椭圆C的标准方程为.
（2）由题设，直线、斜率存在且不为0，，
令，则，故，，

所以，联立，整理得，
显然，则，则，
由，，即，
所以A，N，Q三点共线.
例题2．（2023春·海南·高二统考期末）已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
根据题意解得
故的方程为.
（2）由（1）知：.
当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点，
不妨取，此时，则.
当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为，
代入椭圆并消去得，
设，则.
而，
所以
.
因为，所以，
所以.
综上，的取值范围为.
练透核心考点
1．（2023春·上海黄浦·高二统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
(1)求抛物线的方程；
(2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）根据题意可设直线的方程为，

联立，得，
设，，，，则，，
，
，
解得，此时都有，
，直线的方程为，
即．
2．（2023春·广西·高三统考阶段练习）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断是否恒成立，并说明理由.
【答案】(1)
(2)恒成立，理由见解析
【详解】（1）
由已知得，故，
由得，，得，
又因，所以，
所以椭圆的标准方程；
（2）恒成立
理由：由（1），则设直线的方程为，
与椭圆方程联立，可得
得，
即，
直线与的交点，
所以，即；
，即，
又.
在中，显然，则，由，
所以，
特别的，当时，，则，
综上所述.
第四部分：数学文化题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的离心率为2，则该常数为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【详解】设，则，又由题得
.则.
则.
故选：D

2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知圆锥曲线统一定义为“平面内到定点F的距离与到定直线l的距离（F不在l上）的比值e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线”．过双曲线的左焦点的直线l（斜率为正）交双曲线于A，B两点，满足．设M为AB的中点，则直线OM斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为，
则，
所以，
设，则，
所以，，即，
所以，
所以，当且仅当即时，等号成立，
故选：C.
3．（2023·江苏·校联考模拟预测）中国国家大剧院是亚洲最大的剧院综合体，中国国家表演艺术的最高殿堂，中外文化交流的最大平台．大剧院的平面投影是椭圆，其长轴长度约为，短轴长度约为．若直线平行于长轴且的中心到的距离是，则被截得的线段长度约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设该椭圆焦点在轴上，以中心为原点，建立直角坐标系，如图所示，设椭圆的方程为：，，由题意可得，，
将，代入方程，得，
因为直线平行于长轴且的中心到的距离是，
令，得(m)，
故选：C．