新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第09讲 立体几何与空间向量 章节总结（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18854" 第一部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc18854 \h 2
\l "_Tc20438" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc20438 \h 4
\l "_Tc18650" 高频考点一：空间位置关系证明的传统法与向量法 PAGEREF _Tc18650 \h 4
\l "_Tc26243" 角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系 PAGEREF _Tc26243 \h 4
\l "_Tc12572" 角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系 PAGEREF _Tc12572 \h 6
\l "_Tc28036" 高频考点二：空间角的向量求法 PAGEREF _Tc28036 \h 10
\l "_Tc3817" 角度1：用传统法求异面直线所成角 PAGEREF _Tc3817 \h 10
\l "_Tc25939" 角度2：用向量法求异面直线所成角 PAGEREF _Tc25939 \h 10
\l "_Tc14072" 角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数）） PAGEREF _Tc14072 \h 11
\l "_Tc30028" 角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数）） PAGEREF _Tc30028 \h 13
\l "_Tc19122" 高频考点三：距离问题 PAGEREF _Tc19122 \h 20
\l "_Tc23245" 角度1：点到直线的距离 PAGEREF _Tc23245 \h 20
\l "_Tc30026" 角度2：点到平面的距离（等体积法） PAGEREF _Tc30026 \h 21
\l "_Tc4695" 角度3：点到平面的距离（向量法） PAGEREF _Tc4695 \h 22
\l "_Tc20180" 高频考点四：立体几何折叠问题 PAGEREF _Tc20180 \h 24
第一部分：高考真题回归
1．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）

A．B．
C．D．
2．（2023·全国（乙卷理）·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
5．（2023·全国（甲卷文）·统考高考真题）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
6．（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：空间位置关系证明的传统法与向量法
角度1：用传统法证明空间的平行和垂直关系
典型例题
例题1．（2023·浙江·统考模拟预测）已知四棱锥中，，，，为中点.

(1)求证：平面；
(2)设平面与平面的夹角为，求三棱锥的体积.
例题2．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在直角梯形中（如图一），，，.将沿折起，使（如图二）.

(1)求证：平面平面；
(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.
例题3．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.

(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；
(2)若，求四棱锥的体积.
例题4．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在中，分别为的中点，，如图①，以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图②．
(1)证明：；
(2)若平面，且，求点C到平面的距离
例题5．（2023·四川凉山·三模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，且直线与底面所成的角为．
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离．
角度2：利用向量证明空间的平行和垂直关系
典型例题
例题1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
例题2．（2023·北京密云·统考三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
例题3．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，，，，为边上的点，，，将沿直线翻折到的位置，且，连接，．
(1)证明：；
(2)Q为线段PA上一点，且，若二面角的大小为，求实数的值．
考点一练透核心考点
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC=AA1=2.
(1)求证：DE∥平面A1BC；
(2)求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值.
2．（2023·山东·校联考二模）如图，在正三棱台ABC—DEF中，M，N分别为棱AB，BC的中点，.
(1)证明：四边形MNFD为矩形；
(2)若四边形MNFD为正方形，求直线BC与平面ACFD所成角的正弦值.
3．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面平面，，是棱上的一点.
(1)是否存在点，使得平面？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求多面体ABCDEF的体积.
4．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为棱AB，的中点，，，.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
5．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，为的中点.
(1)证明：.
(2)求二面角的平面角的余弦值.
6．（2023·天津和平·统考一模）在如图所示的几何体中，平面平面；是的中点.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
高频考点二：空间角的向量求法
角度1：用传统法求异面直线所成角
典型例题
例题1．（2023·河北·模拟预测）在正方体中，点为的中点，点为的中点，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是棱上一点，则当截面的周长最短时，与所成角的余弦值等于______．

例题3．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥中，，，且，点，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为__________，与所成角的余弦值为__________.
角度2：用向量法求异面直线所成角
典型例题
例题1．（2023·河南安阳·统考三模）在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，，是线段上的动点，则当线段最短时，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知在正方体中，，平面平面，则直线与所成角的余弦值为__________．
角度3：用向量法解决线面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
典型例题
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，正方体中，分别为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
例题2．（2023·广东深圳·统考模拟预测）在正方体中，如图、分别是，的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求直线与所成角的正弦值．
例题3．（2023·山东德州·三模）图1是直角梯形，，，，，，四边形为平行四边形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．

(1)求证：平面平面；
(2)在线段上存在点使得与平面的正弦值为，求平面与所成角的余弦值．
例题4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥中，若已知，，点在底面的射影为点，则
(1)证明：
(2)设，则在线段PC上是否存在一点，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由.
角度4：用向量法解决二面角的问题（定值+探索性问题（最值，求参数））
典型例题
例题1．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.

(1)证明：平面；
(2)若，，，求平面与平面所成角的大小.
例题2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.

(1)证明：平面平面；
(2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.
例题3．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.

(1)证明：；
(2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

例题4．（2023秋·福建三明·高三统考期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
考点二练透核心考点
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是______.
3．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）在棱长为2的正方体中，为底面的中心，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是________.
4．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知四面体ABCD满足，，，且该四面体的体积为，则异面直线AD与BC所成的角的大小为______．
5．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点．

(1)证明：平面．
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，在多面体中，上底面与下底面平行，且都是正方形，该多面体各条侧棱相等，且每条侧棱与底面所成角都相等．已知，垂足为点，三棱锥的体积为．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

7．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，平面与平面的交线为.
(1)证明：；
(2)已知上是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.
8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，四棱锥中，平面，，，，，为线段上一点，点在边上且.
(1)若为的中点，求四面体的体积；
(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
9．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱台中，，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)设是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．
10．（2023·河北·模拟预测）如图，在五边形中，四边形是矩形，，将沿着折起，使得点到达点的位置，且平面平面，点，分别为线段，的中点，点在线段上，且.

(1)当时，证明：平面；
(2)设平面与平面的夹角为，求的最大值及此时的值.
11．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.

(1)求证：平面平面PBC；
(2)求平面AEF与平面PDC夹角的最小值.
12．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）如图，三棱柱中，，侧面为矩形，，二面角的正切值为.

(1)求侧棱的长；
(2)侧棱上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由.
13．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点E，F，N分别为侧棱PD，PC，PB的中点，M为PD（不包含端点）上的点，，．

(1)若，求证：平面；
(2)若平面，求与平面所成角的最大值．
高频考点三：距离问题
角度1：点到直线的距离
典型例题
例题1．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是,且，，为的中点，则点到直线的距离为（ ）

A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______．
角度2：点到平面的距离（等体积法）
典型例题
例题1．（2023春·云南楚雄·高一统考期中）如图，已知在矩形中，，，为边的中点，将，分别沿着直线，翻折，使得，两点重合于点，则点到平面的距离为______．

例题2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，将边长的正方形沿对角线折起，连接，构成一四面体，使得，则点到平面的距离为_____________．

例题3．（2023春·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，点到平面距离是______．

角度3：点到平面的距离（向量法）
典型例题
例题1．（2023秋·河南省直辖县级单位·高二济源市第四中学校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，则点到平面的距离为_________．

例题2．（2023春·高二课时练习）已知直四棱柱中，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则直线与之间的距离为________.
例题3．（2023秋·高二课时练习）如图，设在直三棱柱中，，，，依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；
(2)求点到平面的距离．
考点三练透核心考点
1．（2023秋·湖北·高二统考期末）在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（ ）
A．3B．C．D．
2．（2023秋·高二课时练习）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，则P到BC的距离为__________．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知AB，CM分别为圆柱上、下底面的直径，且AB＝2，圆柱的高为，，则点M到平面ABC的距离为______.
4．（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，底面ABCD， E是PC的中点，已知，，，则P 到平面ABE的距离为___________．
5．（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，C1到平面B1BD的距离为_____．
6．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）在直三棱柱中，，，，分别为的中点.则点到平面的距离为__________.
7．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）在三棱锥中，平面平面，若棱长，且，则点到平面的距离为________．
8．（2023春·河南·高二校联考期末）在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，则点D到平面的距离为______．
9．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
高频考点四：立体几何折叠问题
典型例题
例题1．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）如图1，在直角梯形中，，，，，，为中点，现沿平行于的折叠，使得，如图2所示，则关于图2下列结论正确的有______．

①平面
②该几何体为三棱台
③二面角的大小为
④该几何体的体积为
例题2．（2023春·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）如图1，直角梯形中，，，，为的中点，现将沿着折叠，使，得到如图2所示的几何体，其中为的中点，为上一点，与交于点，连接.

(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图1，在直角梯形中，，，，，.现沿平行于的折叠，使得且平面，如图2所示.
(1)求的长度；
(2)求二面角的大小.
练透核心考点
1．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知如图甲所示，直角三角形SAB中，，，C，D分别为SB，SA的中点，现在将沿着CD进行翻折，使得翻折后S点在底面ABCD的投影H在线段BC上，且SC与平面ABCD所成角为，M为折叠后SA的中点，如图乙所示.
(1)证明：平面SBC；
(2)求平面ADS与平面SBC所成锐二面角的余弦值.
2．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）如图所示的五边形中是矩形，，，沿折叠成四棱锥，点是的中点，．
(1)在四棱锥中，可以满足条件①；②；③，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面底面；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）
(2)在（1）的条件下求直线与平面所成角的正弦值．