新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第09讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题 (高频精讲）（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc139" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc139 \h 2
\l "_Tc24452" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc24452 \h 2
\l "_Tc2415" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc2415 \h 5
\l "_Tc28634" 高频考点一：周长（边长）定值 PAGEREF _Tc28634 \h 5
\l "_Tc9731" 角度1：求周长 PAGEREF _Tc9731 \h 5
\l "_Tc17786" 角度2：求边的代数和 PAGEREF _Tc17786 \h 10
\l "_Tc26286" 高频考点二：周长（边长）最值 PAGEREF _Tc26286 \h 14
\l "_Tc29690" 角度1：周长最值 PAGEREF _Tc29690 \h 14
\l "_Tc27215" 角度2：边的最值 PAGEREF _Tc27215 \h 21
\l "_Tc6612" 角度3：边的代数和最值 PAGEREF _Tc6612 \h 27
\l "_Tc19498" 高频考点三：周长（边长）取值范围 PAGEREF _Tc19498 \h 37
\l "_Tc18726" 角度1：周长取值范围 PAGEREF _Tc18726 \h 37
\l "_Tc21031" 角度2：边的代数和取值范围 PAGEREF _Tc21031 \h 40
\l "_Tc17268" 角度3：锐角三角形中周长（边长）取值范围 PAGEREF _Tc17268 \h 49
第一部分：知识点必背
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
2．（2022·全国（乙卷文）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【详解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
3．（2022·全国（乙卷理）·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
4．（2022·北京·统考高考真题）在中，．
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，
可得，因此，.
（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.
由余弦定理可得，，
所以，的周长为.
5．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值
角度1：求周长
典型例题
例题1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)已知的面积为，设为的中点，且，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知中，，
由正弦定理边角关系得：，
，
，，
，
又，
所以，即.
（2）在中，为中线，，
，
，
，
，，
的周长为.
例题2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）在中，延长到，使，在上取点，使，
(1)设，用表示向量及向量．
(2)若，且的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）是的中点，则，
故，
（2）由余弦定理得
而，
得，故，得，
的周长为．
例题3．（2023·全国·模拟预测）在中，角,,所对的边分别为，，，，为边上一点，.
(1)若，求的面积；
(2)若为的平分线，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，
∴，
由正弦定理可得，，
∴，
即，
结合，得，
∵，∴，
在中，，
由余弦定理可得，，
即，解得，
∴；
（2）由AD为的平分线知，，
在与中，由正弦定理可得，
①，
②，
∵，∴，
结合①②，可得，
在与中，由余弦定理可得，
，，
又，
∴，解得，
∴，∴的周长为.
练透核心考点
1．（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）在中，角对应的边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得:
代入式子，
化简得，，
，
，即，
因为，所以.
（2），
由余弦定理得，
的周长为．
2．（2023春·天津和平·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求角C；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，∴；
（2）、∴，
∴；
（3）由余弦定理得，由面积公式得，
则，∴的周长为.
3．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求B的值；
(2)若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，由余弦定理可得，
又，所以．
（2）因为，所以，
由余弦定理可得：
所以，
所以△ABC的周长为．
角度2：求边的代数和
典型例题
例题1．（2023春·云南丽江·高一丽江第一高级中学校考阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
(1)若，求的值；
(2)若的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意在中，，，，
由正弦定理可得.
（2）由，，，即，
解得，
由余弦定理，
可得.
例题2．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）在①；②；
③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在中，内角,,的对边分别为，，，且_______．
(1)求角；
(2)若的内切圆半径为，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选择①：由已知得，
所以，
在中，，所以．
选择②：由已知及正弦定理得，
所以，所以，
因为，所以．
选择③：由正弦定理可得，
又，所以，则，
则，故．
又因为，所以，
解得．
（2）由余弦定理得，①
由等面积公式得．
即．
整理得，②
联立①②，解得，
所以．
例题3．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，且的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由又及正弦定理，得，
因为中，
所以，
由于，所以，即，
又，故.
（2）由题意可知，解得，
根据余弦定理可得，
即，解得.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求A；
(2)若，，角A的平分线交BC于点D，求AD.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理得，
因为，则，
所以，即．
又，所以，即，
因为，所以，
所以，得．
（2）因为是角的角平分线，
所以，
即，
结合（1）得，
解得．
2．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，，，.
(1)求的值；
(2)若点D在边BC上且的面积为，求.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
则，故，，
由余弦定理得：，所以；
（2）由（1）知，又，
所以，
因此，，
所以D是BC的中点，故.
3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）设的内角、、的对边分别为、、，
(1)确定角B的大小；
(2)若为锐角三角形，，的面积为，求的值．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
因为，所以，则，
因为，所以或．
（2）若为锐角三角形，由（1）得，
因为的面积为，所以，
由余弦定理得，
所以，
解得，所以．
高频考点二：周长（边长）最值
角度1：周长最值
典型例题
例题1．（2023·四川南充·统考二模）在中，内角,,的对应边分别为，，,已知，且的面积为，则周长的最小值为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】B
【详解】由题设及三角形内角和性质：，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，即，
，则，则，解得,则，
所以，则，
又仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，则，
设，则，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数，
故，故，当且仅当时取等.
故选：B
例题2．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，则周长的最小值为______．
【答案】##
【详解】由题可得，，即，
又，所以，则，
因为，所以，则，
所以，即，
又因为，，
所以，整理得，
所以，
解得或（舍去），
所以，当且仅当时，等号成立，
则，
故周长的最小值为.
故答案为：.
例题3．（2023·河北邯郸·统考一模）已知函数在上单调．
(1)求的单调递增区间；
(2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）由题意可得，
因为在上单调，
所以，解得，
因为，
所以，即，
令，
解得，
即的单调递增区间是；
（2）因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
由余弦定理可得，
即，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，解得，
则，即△ABC周长的最大值为9．
例题4．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形内接于圆，内角，对角线的长为7，圆的半径为.
(1)若，，求四边形的面积；
(2)求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示，连结，
在中，，，
所以，
因为，所以，则，
因为，所以为等边三角形，
，
，，
在中，，即，
又，
，
.
（2）设，，
则在中，，，则，即，故，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
，则，
，故，当且仅当时，等号成立，
所以，即周长的最大值为.
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且的面积为，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，
即，，则，则
解得,所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，
所以，
设，则，
根据复合函数单调性及增函数加增函数为增函数的结论得：
在上为单调增函数，故，
故，
当且仅当时取等.
故选：C.
2．（2023·四川广安·统考二模）中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则周长的最大值为______.
【答案】
【详解】因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为、，则，所以，，故，
由余弦定理可得
，
所以，，即，故，
当且仅当时，等号成立，故周长的最大值为.
故答案为：.
3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在中，.
(1)求；
(2)若，求周长的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，，所以，即有，
又因为，所以.
（2）因为，，
所以由余弦定理可得，
当时，等号成立，所以，
故周长的最小值9.
4．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；
(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.
【答案】(1)7
(2)2＋.
【详解】（1）∵a，b，c依次成等差数列，且公差为2，
∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，
∵C＝，由余弦定理得
cs ＝＝＝－，
整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，
又a＝c－4>0，则c>4，∴c＝7.
（2）设B＝θ，外接圆的半径为R，则πR2＝π，
解得R＝1，由正弦定理可得
＝＝＝2R＝2，
∴＝＝＝2，
可得b＝2sin θ，a＝2sin ，c＝，
∴△ABC的周长＝2sin θ＋2sin ＋
＝2sin θ＋2sin cs θ－2cs sin θ＋
＝sin θ＋cs θ＋＝2sin ＋，
又θ∈，∴