新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第09讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题）(精讲）（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc10616" 高频考点一：角度1：椭圆中的直线过定点问题 PAGEREF _Tc10616 \h 1
\l "_Tc24727" 高频考点二：椭圆中存在定点满足某条件问题 PAGEREF _Tc24727 \h 4
\l "_Tc4018" 高频考点三：双曲线中的直线过定点问题 PAGEREF _Tc4018 \h 7
\l "_Tc2415" 高频考点四：双曲线存在定点满足某条件问题 PAGEREF _Tc2415 \h 10
\l "_Tc14785" 高频考点五：抛物线中的直线过定点问题 PAGEREF _Tc14785 \h 13
\l "_Tc30750" 高频考点六：抛物线存在定点满足某条件问题 PAGEREF _Tc30750 \h 15
高频考点一：角度1：椭圆中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期末）已知椭圆C：的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)直线l:交于，两点（不同于点），直线，与轴的交点分别为，，线段的中点为，证明：直线过定点，并求出定点坐标．
例题2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知点，在椭圆 上.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.
例题3．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆相交于、两点，是点关于轴的对称点．试问：直线是否恒过一定点？并说明理由．
同类题型归类练
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知动圆经过点，并且与圆相切．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)动直线过点，且与轨迹分别交于，两点，点与点关于轴对称（点与点不重合），求证：直线恒过定点．

2．（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）已知椭圆过点，长轴长为.
(1)求椭圆的方程及其焦距；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
3．（2023春·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期中）已知椭圆的离心率为，上顶点的坐标为，
(1)求椭圆C的方程．
(2)若椭圆C下顶点是B，M是C上一点（不与A，B重合），直线AM与直线交于点P，直线BP交椭圆C于点N．求证：直线MN过定点．
高频考点二：椭圆中存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1．（2023春·山东青岛·高二统考期中）中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线. 在平面上，我们把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线，，为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线的焦点，的坐标；
(2)试判断曲线上是否存在两个不同的点，（异于坐标原点），使得以为直径的圆过坐标原点.如果存在，求出，坐标；如果不存在，请说明理由.
例题2．（2023春·湖南·高二校联考期中）已知椭圆：的焦距为，，分别为的左，右焦点，过的直线与椭圆交于，两点，的周长为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得．若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
例题3．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知椭圆过点，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点．
（i）若点坐标为，直线，分别与轴交于，两点．求证：；
（ii）若点坐标为，直线的方程为，椭圆上存在定点，使直线，分别与直线交于，两点，且．请直接写出点的坐标，结论不需证明．
同类题型归类练
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知为坐标原点，，，和交点为.
(1)求点的轨迹；
(2)直线和曲线交与两点，试判断是否存在定点使？如果存在，求出点坐标，不存在请说明理由.
2．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为．曲线是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设在第一象限且在双曲线上，直线交椭圆于点，直线与椭圆交于另一点．

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设与轴交于点，是否存在点使得（其中为点的横坐标），若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆的左右焦点分别为，分别为椭圆的上，下顶点，到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别交x轴于两点．问：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
高频考点三：双曲线中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）双曲线，恰好过中的三点.
(1)求双曲线的方程；
(2)记双曲线上不同的三点，其中为双曲线的右顶点，若直线的斜率之积为1，证明：直线过定点.
例题2．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）已知双曲线C：的左顶点为，右焦点为，是直线：上一点，且不在轴上，以点为圆心，线段的长为半径的圆弧交的右支于点.
(1)证明：；
(2)若直线与的左、右两支分别交于，两点，过作的垂线，垂足为，试判断直线是否过定点.若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，,点与，构成的三角形的面积为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线（，且）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若点在直线上，试判断直线是否经过轴上的一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.
同类题型归类练
1．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且是直角三角形．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．

2．（2023春·安徽·高三安徽省定远中学校考阶段练习）已知双曲线的离心率为2，且双曲线C经过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设M是直线上任意一点，过点M作双曲线C的两条切线，，切点分别为A，B，试判断直线AB是否过定点．若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
3．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.
高频考点四：双曲线存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知是以为焦点的抛物线，是离心率为，以为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求的最大值；
(3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程：，倾斜角为的直线过点，且与曲线相交于，两点.
(1)时，求三角形的面积；
(2)在轴上是否存在定点，使直线与曲线有两个交点、的情况下，总有?如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线：，，，，，五点中恰有三点在上.
(1)求的方程；
(2)设是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点，使得,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
同类题型归类练
1．（2023春·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上，两点所成的曲线记为曲线C.
(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
(2)若时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为.设，是的两个焦点，试问：在上是否存在点N，使得的面积，并证明你的结论.
2．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知双曲线：的离心率为，并且经过点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若直线经过点，与双曲线右支交于、两点其中点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线的方程为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)设点在轴上，，在双曲线上是否存在两点，，使得当，，三点共线时，是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标和直线的方程；若不存在，请说明理由．
高频考点五：抛物线中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2023春·江西抚州·高二资溪县第一中学校考期中）设抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线交于，两点，若，求证：线段的垂直平分线过定点．
例题2．（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线，是其准线与轴的交点，过点的直线与抛物线交于，两点，当点的坐标为时，有．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
例题3．（2023·北京·高三专题练习）已知焦点为的抛物线经过点．
(1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；
(2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
同类题型归类练
1．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标中，设，，以线段为直径的圆经过原点O．
(1)求动点P的轨迹W的方程；
(2)过点作直线l与轨迹W交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为，试判断直线是否恒过定点．
2．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的任意一点.当轴时，的面积为4（为坐标原点）.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线与抛物线相交于两点，且直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.
3．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，点满足以为直径的圆均与轴相切，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)设不经过原点的直线与抛物线交于、两点，设直线、的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.
高频考点六：抛物线存在定点满足某条件问题
典型例题
例题1．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）抛物线上的点到抛物线的焦点的距离为2，（不与重合）是抛物线上两个动点，且．
(1)求抛物线的标准方程及线段的最小值；
(2)轴上是否存在点使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
例题2．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点.当直线经过点时，点恰好为线段的中点.
(1)求的方程；
(2)是否存在定点，使得为常数?若存在，求出点的坐标及该常数﹔若不存在，说明理由.
同类题型归类练
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小3.
(1)求抛物线的准线方程；
(2)若过点的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线与抛物线的准线交于点，请问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
2．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）已知抛物线，过抛物线的焦点F且斜率为的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平面内是否存在定点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．