新高考数学一轮复习高频考点精讲精练第十五讲 第三章 一元函数的导数及其应用（基础卷）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）设函数，则（ ）
A．5B．C．2D．
【答案】A
【详解】
故选：A
2．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数满足（为的导函数），则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【详解】，
当时，，解得，
故，所以.
故选：D
3．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像特征，则函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】令，则，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除；
当时，，，由，得，令，得，所以函数在上递减，在上递增，故排除、；
故选：D
4．（2023春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）曲线在处的切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】，所以，因此切线的斜率为，
又，由点斜式可得切线方程为，
故选：B
5．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）函数在区间上单调递减，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】， 函数在区间上单调递减，
∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
而 在区间上单调递减，，∴k的取值范围是 ，
故选：B．
6．（2023春·重庆江北·高二字水中学校考阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由，
设，则，
所以在上是增函数，
又，所以，即，
故选：B.
7．（2023春·四川泸州·高二泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点求的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，令，即有两个左右异号的实根，
所以在上有两个交点，
令，记在上单调递减，且，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，
所以，当趋向于时趋向；当趋向于时趋向，
综上，当，即时在上有两个交点.
故选：A
8．（2023·吉林长春·校联考一模）已知函数，若关于x的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
，，
关于的方程有且仅有四个相异实根，
根据对称性知，时，有且仅有两个相异实根，
即在上有两个不相等的实数根，
化简得：.
令，，
由，得，由，得，
在为减函数，为增函数，
又时，，
时，，的简图如图所示：
直线恒过点， ，，
时，此时直线相切，直线与曲线只有一个公共点， 此时方程在上有一个实数根，不符合题意；
由图可知当或时，直线与均有两个公共点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
∴关于的方程有且仅有四个相异实根时， 的取值范围为.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】因为的定义域为R，
，
令得：或，
所以在区间，上单调递增．
故选：AC．
10．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处有最小值
B．1是的一个极值点
C．当时，方程有两异根
D．当时，方程有一根
【答案】BC
【详解】对AB，，则，
故在处有唯一极大值，即最大值，B对A错；
对CD，，又，.
故当时，图象与图象有两个交点，即方程有两异根；
当，图象与图象无交点，即方程无根，C对D错.
故选：BC
11．（2023·全国·模拟预测）对函数，公共定义域内的任意x，若存在常数，使得恒成立，则称和是伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）
A．存在常数，使得与是伴侣函数
B．存在常数，使得与是伴侣函数
C．与是伴侣函数
D．若，则存在常数，使得与是伴侣函数
【答案】AD
【详解】A选项：由题意得，
故存在，使得恒成立，故A正确；
B选项：由题意得，
由于为单调递增函数，且值域为，
因此不存在，使得恒成立，故B错误；
C选项：由题意得，
令函数，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，不满足，故C错误；
D选项：令，则，
所以为常函数，（点拨：若两个函数的导函数相同，则两个函数相差一个常数）
不妨令，故存在，使得恒成立，故D正确.
故选：AD
12．（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）若为正实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】解：对于A选项，因为函数在上单调递减，故当时，，故A选项错误；
对于B选项，由于函数在上单调递增，故当时，，故B选项正确；
对于C选项，令，则，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以与大小不定，故C选项错误；
对于D选项，令，则在上恒成立，故函数在上单调递增，
所以，当时，，即，故D选项正确.
故选：BD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，则___．
【答案】
【详解】由已知得，，
.
故答案为：.
14．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________.
【答案】##
【详解】，，
在处的切线与垂直，，解得：.
故答案为：.
15．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数，如果存在点，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点满足，则称为的双重不动点．则下列函数中，①；②；③具有双重不动点的函数为_______________．（将你认为正确的函数的代号填在横线上）
【答案】①③
【详解】对于①，，，所以，
又，，则是的双重不动点；
对于②，，，，令，
当时，由基本初等函数图象易知，所以，当时，显然成立，
所以不存在，使得，故函数不是具有双重不动点的函数；
对于③，，，则，又，，所以是函数的双重不动点；
综上，具有双重不动点的函数是①③.
故答案为：①③.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的最大值为_________；若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为____________.
【答案】 ##
【详解】①定义域为，，当时，单调递增，当时，单调递减，
故是函数的极大值也是最大值；
②当时，，当时，，当时，，
由即，解得或，显然只有一个解，
所以方程有两个不同的解，所以，解得，故t的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数在处取得极值．
(1)求，的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由函数，可得，
因为在处取得极值，可得，即，
整理得，解得，
经检验，当时，，
令，解得或；令解得，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
所以在处取得极值，且
符合题意，所以.
（2）解：由（1）得，函数且，
则，即切线的斜率为且，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
18．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
则曲线在点处的切线方程为，
即.
（2），即.
令，由条件可知，对任意的恒成立.
因为，所以在上单调递增.
因为，所以当时，，所以.
故实数的取值范围为.
19．（2023春·天津武清·高二天津市武清区城关中学校联考阶段练习）已知，函数，.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数的减区间是，求a的值；
(3)若函数在上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)4
(3)
【详解】（1），
当时，，
，
在点处的切线方程为，即
（2）函数的减区间是(-1，4)，
而
令，当时，，单调递减，，
当时，，单调递减，不符合题意，
当，无实数解，不符合题意,
故.
（3）=
令，所以，
令得，
当时，；当时，
故在上递减；在上递增
所以，即，
所以，
实数的取值范围是.
20．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数，且．
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若函数在区间上有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，∴，解得：，
∴，则，
∴在点处的切线方程为：，
即．
（2）由（1）知：，则，
∴当时，；
当时，；
∴在，上单调递增，在上单调递减，
又，，，，
∴，，
由，有，即函数与的图像有三个交点，
则有实数m的取值范围为．
21．（2023·北京房山·统考一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在处取得极值，求的单调区间；
(3)求证：当时，关于x的不等式在区间上无解.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为和，单调递减区间为
(3)证明见解析
【详解】（1）由可得，
当时，，，
在点处的切线方程为；
（2）因为在处取得极值，所以，解得，
检验如下：
令，解得或，
若或时，则；若，则.
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，
故在处取得极小值，满足题意，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（3）由（1）知，由时，得，因，
当时，当时，，即函数在上单调递减，则，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解；
当时，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
于是得在上的最大值为或，而，，
，即，
因此不等式不成立，即不等式在区间上无解，
所以当时，关于的不等式在区间上无解.
22．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设函数，其中．函数是函数的导函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，函数有且仅有一个零点，且；
(3)若，讨论函数的零点个数（直接写出结论）．
【答案】(1).
(2)证明见解析.
(3)①当时，有1个零点；②当时，有2个零点.
【详解】（1）当时，，
则，，
所以，
所以，即：，
所以在点处的切线方程为.
（2）证明：∵的定义域为，，，
则（），
令（），
则，
又∵，，
∴，
∴在上单调递减，
又∵，，，
∴，，即：，
∴，，
∴在上有唯一零点，且，
即：有且仅有一个零点，且.
（3）①当时，的定义域为，则，
∴由零点存在性定理知，在上单调递增，
又∵，，
∴在上有唯一零点.
②当时，由（2）知，在上单调递减，且有且仅有一个零点，，
∴，即：，
∴，，
∴在上单调递增 ，在上单调递减，
∴，
又∵，，
令（），
则，
∴在上单调递减，
又∵，
∴，即：，
∴由零点存在性定理知，在上有2个零点.
综述：①当时，有1个零点；
②当时，有2个零点.