新高考数学二轮专题圆锥曲线精练第1讲 圆锥曲线第一定义与焦点三角形（2份，原卷版+解析版）

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A．B．C．D．
【解答】解：，，
又，，
又，，
，，
，，
，在轴上．
在△中，，
在△中，由余弦定理可得，
根据，可得，解得，．
．
所以椭圆的方程为：．
故选：．
2．若椭圆和双曲线有相同的焦点，，是两条曲线的一个交点，则的值是
A．B．C．D．
【解答】解：设在第一象限，，，
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
解得，，
则，
故选：．
3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，，△的面积为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由是双曲线右支上一点，所以，
在△中，由余弦定理有，
所以，所以，
所以，
所以，
所以离心率，
故选：．
4．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为，且，则此双曲线的离心率是
A．B．2C．4D．5
【解答】解：由题意可得：，，
解得，
，
又，
代入化简可得，，
所以，解得．
故选：．
5．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
【解答】解：把代入双曲线，
可得：，
，
，，
，
．
该双曲线的渐近线方程为：．
故选：．
6．已知双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
【解答】解：把代入双曲线双曲线，可得：，
．
，．
，，
则双曲线的渐近线方程为，
故选：．
7．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则
A．B．C．D．
【解答】解：的焦点，
等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于轴轴对称
两个边的斜率，其方程为：，
每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．
故，
故选：．
8．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的一条渐近线方程为，且，则实数的值为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由题意可知，
联立方程组，消去可得：，
设，，，，则，
，
又，，
．
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为的中点，则
A．以线段为直径的圆与轴相切
B．当时，
C．以线段为直径的圆与直线相离
D．的最小值为3
【解答】解：当直线的斜率不存在时，以线段为直径的圆与轴相切；
当直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为，联立，可得，
设，，，，
可得，，设，，
可得的横坐标为，的中点的横坐标为，，
当时，的中点的横坐标为，，得以线段为直径的圆与轴相交，故错；
以为极点，轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为，
设，，，，可得，，
可得，又，可得，，
则，故正确；
的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，，
可得线段为直径的圆与准线相切，与直线轴相交，故正确；
当直线垂直于轴，可得为通径，取得最小值4，故错误．
故选：．
10．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，，，两点，直线，分别于直线相交于，两点．则下列说法正确的是
A．焦点的坐标为
B．
C．的最小值为4
D．与的面积之比为定值
【解答】解：抛物线的方程整理可得：，所以焦点，所以不正确；
由椭圆的焦点在轴可得，直线的斜率一点存在，设直线的方程为：，
联立，整理可得：，所以，所以，故正确；
所以△，，
当轴时最小，这时直线的方程为，代入抛物线的方程可得，，所以，所以最小值为4；所以正确；
由题意可得直线，的方程分别为：，，与的交点分别为，，，，
所以；
到直线的距离，弦长，
所以，
所以，
所以与的面积之比为定值，故正确；
故选：．
三．填空题（共7小题）
11．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则的方程为 ．
【解答】解：由题意可得，设：，由可得，
由椭圆的定义可得，，，
又因为，所以在△中，，即，①
在中，，即，整理可得，②
将②代入①中可得，所以，
所以椭圆的方程为：；
故答案为：．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足为坐标原点）．若，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：取的中点，连接，
所以可得，
又因为，所以，
即，而为的中点，所以，
可得，
因为，而，所以可得：，，
在△中，由勾股定理可得，
即，
可得，
所以，
故答案为：．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的通径（过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则的内切圆方程为 ．
【解答】解：设内切圆的半径为，
椭圆，
其中，，，则，
与轴垂直，
则有，，
解得：，，
的周长，
其面积，
由内切圆的性质可知，有，解得．
圆心横坐标为，即圆心坐标为，，
则的内切圆方程是，
故答案为：．
14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，．若梯形的面积为，则 2 ．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，
设，，，，由题意可知，
由，消去得，
由韦达定理得，，
所以梯形的面积为：
所以，又，所以
故答案为2．
15．过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于，两点，，在轴上的正射影分别为，，若梯形的面积为，则 3 ．
【解答】解：抛物线方程为，设，点坐标分别为，，，，，
焦点坐标为，，
直线的方程为，
代入抛物线方程得，
，，
，
则梯形的面积为，
．
故答案为：3
16．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于，两点，又过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，若梯形的面积为，则
【解答】解：抛物线的焦点坐标为，则过焦点斜率为1的直线方程为，
设，，，，由题意可知，．
由，消去得，
由韦达定理得，，
梯形的面积为：
，
又，．
故答案为．
17．在平面直角坐标系中，双曲线．的右支与焦点为的抛物线交于，两点，已知双曲线的离心率为，若．则 4 ．
【解答】解：双曲线的离心率为，即为，
即有，即，
设，，，，
抛物线的焦点，准线为，
可得，
联立抛物线方程和双曲线方程可得：
，即，
可得，
即有，即．
故答案为：4．
四．解答题（共1小题）
18．已知椭圆过点，，椭圆与轴交于，两点，与轴交于，两点．
（1）求四边形的面积；
（2）若四边形的内切圆的半径为，点，在椭圆上，直线斜率存在，且与圆相切，切点为，求证：．
【解答】解：（1）依题意，，解得，，
所以椭圆的方程为．
故四边形的面积．
（2）证明：要证，只需证，
因为直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离，
所以，
设直线方程为：，，，，，
则，所以；①
由，得
当△，，，
所以
，
由①得，所以．