新高考数学二轮专题圆锥曲线精练第3讲 圆锥曲线第三定义（2份，原卷版+解析版）

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1．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：设，，，由，，
，
，由，，
，则，
直线斜率的取值范围，，
故选：．
2．椭圆的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：由椭圆可知其左顶点，右顶点．
设，，则得．
记直线的斜率为，直线的斜率为，则
直线斜率的取值范围是，，
直线斜率的取值范围是，
故选：．
3．椭圆的左、右顶点分别为、，点在上，且直线的斜率为，则直线斜率为
A．B．3C．D．
【解答】解：椭圆的左、右顶点分别为、，
点坐标为，点坐标为，
又直线的斜率为，
直线的方程为：，
代入椭圆方程可得：，
设点坐标为，则，解得，，
故直线斜率，
故选：．
4．设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由双曲线的对称性设在第一象限，如图所示：
在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以离心率
故选：．
5．已知，，为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线，的斜率记为，，则的最小值为
A．8B．4C．2D．1
【解答】解：满足为坐标原点），，关于原点对称，
设，，，，，，则，，
直线，的斜率记为，，满足，
则，
即的最小值为4．
故选：．
6．已知，，是双曲线上不同的三点，且，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意，设，，，，则，，
，
，，
两式相减可得，
，
，
，
则．
故选：．
7．已知，，是双曲线上的不同的三点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，是关于的方程的两个实数根，若，为坐标原点，则双曲线的离心率是
A．2B．C．D．
【解答】解：设点的坐标为，点的坐标为，，
因为，所以点的坐标为，，
因为，所以，即，
又，在双曲线上，所以，，
两式相减得，即，
又因为，所以，
所以，
所以，，
故选：．
二．填空题（共4小题）
8．已知、、为双曲线上不同三点，且满足为坐标原点），直线、的斜率记为，，则的最小值为
【解答】解：由为坐标原点），得为的中点，
设，，，，则，，
，，故，①
又由、、为双曲线上的点，
，，代入①，
可得．
．
当且仅当时上式“”成立．
的最小值为．
故答案为：．
9．已知，是椭圆和双曲线的公共顶点，是双曲线上的动点，是椭圆上的动点，都异于，，且，其中，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，则 ．
【解答】解：根据题意可得，，
设，，，，
因为其中，
所以，，，，，
所以，
因为，都异于，，
所以，，，
由，①
因为，②
由①②得，，
，
又因为，
所以．
故答案为：．
10．已知，椭圆和双曲线的左右顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，且满足，设直线、、、的斜率分别为、、、，则 0 ．
【解答】解：、为椭圆和双曲线的公共顶点，
、分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，
由，，
即，
可得，
则点，，三点共线．
设，，，，
则，
同理，得：，
，，，
，
．
故答案为：0．
11．已知、、是双曲线上不同的三点，且、两点关于原点对称，若直线，的斜率乘积，则该双曲线的离心率 ．
【解答】解：由题意，设，，，，则，
，，
两式相减可得
，
，
，
故答案为：
三．解答题（共4小题）
12．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接，并延长交椭圆于点，设直线的斜率为
（1）若直线平分线段，求的值；
（2）当时，求点到直线的距离；
（3）对任意，求证：．
【解答】解：（1）由题设知，，，
故，，所以线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，
所以．
（2）直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
因此，，，
于是，，直线的斜率为1，故直线的方程为．
因此，．
（3）设，，，，则，，，
，，，，
，，，．
设直线，的斜率分别为，．
因为在直线上，所以，
从而
．
因此，所以．
13．已知椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知两点，及椭圆，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，设线段的中点为，连接，试问当为何值时，直线过椭圆的顶点？
（Ⅲ）过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接并延长交椭圆于，求证：．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）连接，为坐标原点，为右焦点），
由题意知：椭圆的右焦点为
因为是△的中位线，且，
所以，
所以，
故．（2分）
在中，
即，又，解得，，
所求椭圆的方程为．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆
设直线的方程为并代入
整理得：
由△得：，（5分）
设，，，，，
则由中点坐标公式得：（6分）
①当时，有，直线显然过椭圆的两个顶点，．（7分）
②当时，则，直线的方程为
此时直线显然不能过椭圆的两个顶点，；
若直线过椭圆的顶点，则，即，
所以，解得：（舍去），（8分）
若直线过椭圆的顶点，则，即，
所以，
解得：（舍去）．（9分）
综上，当或或时，直线过椭圆的顶点．（10分）
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆的方程为，（11分）
根据题意可设，则，
则直线的方程为，①
过点且与垂直的直线方程为，②
①②并整理得：，
又在椭圆上，所以，
所以，
即①、②两直线的交点在椭圆上，所以．（14分）
法二：由（Ⅰ）得椭圆的方程为
根据题意可设，则，，
，，
所以直线，
化简得，
所以，
因为，所以，则．（12分）
所以，则，故．（14分）
14．如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
（1）若直线平分线段，求的值；
（2）求，面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
（3）对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
【解答】（1）解：由题设知，，，
故，，
线段中点坐标为．
由于直线平分线段，故直线过线段的中点，又直线过原点，
；
（2）解：，，，
设与平行的直线方程为，
联立，得．
由△，解得：．
由题意可知，当时，直线与直线的距离最大，
最大值．
即面积有最大值，等于．
由，解得，．
点坐标为；
（3）证明：设，，，，中点，，
则，，
两式作差可得：，
，即．
，，即．
．
，，
，即．
．
．
故，，三点共线．
15．椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连，并延长交椭圆于，若，求椭圆的离心率．
【解答】解：设，，，，则，，，，，
，，
，
，
，①，，②
由①②可得，
即，