新高考数学二轮专题圆锥曲线精练第11讲 坐标法秒解离心率问题（2份，原卷版+解析版）

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1．已知椭圆左右焦点分别为，，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，已知椭圆的离心率为，则双曲线的离心率
A．B．C．D．
【解答】解：椭圆左右焦点分别为，，椭圆的离心率为，不妨令，，则，
所以椭圆方程为：，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，
可设，，则：，解得，可得，
双曲线的离心率为：．
故选：．
2．双曲线的中心在坐标原点，右顶点，虚轴的上端点，虚轴下端点，左右焦点分别为、，直线与直线交于点，若为锐角，则双曲线的离心率的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：设双曲线的方程为，由题意可得，，，，
故直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，解得，，
即，，
，，，，
为锐角，
，，
，
即，，
故选：．
3．双曲线的中心在坐标原点，右顶点，虚轴的上端点，虚轴下端点，左右焦点分别为、，直线与直线交于点，若为钝角，则双曲线的离心率的取值范围为
A．，B．C．，D．，
【解答】设双曲线的方程为，由题意可得，，，，
故直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，解得，，
即，
，，，，
是钝角，
，，
，
即，，
又，，
故选：．
4．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于，两点在轴上方），若，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：设，，则，，
由对称性可知，
若，则，
△，
，即，，
故选：．
5．已知，分别为椭圆的左、右顶点，点，在上，直线垂直于轴且过的右焦点，直线与轴交于点，若，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，可得，，，，
．直线方程：
令，可得
，，
故选：．
6．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且垂直于轴．若，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：，分别为椭圆的左、右焦点，
设，，，
为椭圆上一点，且垂直于轴．若，
可得，即．可得．
解得．
故选：．
7．如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：设右焦点，
将代入椭圆方程可得，
可得，，，，
由，可得，
即有，
化简为，
由，即有，
由，可得，
可得，
故选：．
8．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，且，若垂直于轴，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为，，
设，，由垂直于轴可得，
由，可得，
设，由，可得，，
解得，，
将，代入椭圆方程可得，
即，即有，
则，
故选：．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：对椭圆进行压缩变换，，，
椭圆变为单位圆：，，．
延长交圆于
易知直线斜率为1，，，
设，则，，
由割线定理：
，
（负值舍去）
易知：
直线方程：
令
，即横坐标
即原椭圆的离心率．
故选：．
10．平面直角坐标系中，双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，（不同于，当取最大值时双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【解答】解：为圆心，为半径的圆的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
代入圆的方程可得，，
解得，
即有，，，，
，
当且仅当，取得等号．
则双曲线的离心率为．
故选：．
11．在平面直角坐标系中，设双曲线的左焦点为，圆的圆心在轴正半轴上，半径为双曲线的实轴长，若圆与双曲线的两渐近线均相切，且直线与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【解答】解：设圆心，双曲线的渐近线方程为，
，
直线与双曲线的一条渐近线垂直，
则，即，
则圆心坐标，
圆与双曲线的两渐近线均相切，
圆心到直线即的距离，
即，整理得，
则，
则，
即，
则，
故选：．
12．设直线与双曲线两条渐近线分别交于点、，若点满足，则该双曲线的离心率是
A．B．C．D．
【解答】解：双曲线两条渐近线分别为：，
由得，，
则点的坐标是，，
同理可求的坐标是，，
设的中点是，则的坐标是，，
因为，所以，
因为的斜率是，所以的斜率是，
则，化简得，
所以，则，
所以该双曲线的离心率是，
故选：．
13．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率是
A．B．C．D．
【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为，
分别与联立，解得，，，，
中点坐标为，，
点满足，
，
，
，
．
故选：．
14．设直线与轴交于点，与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若为中点，则该双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为，
直线与轴交于点，
由，解得，，
由，解得，，
因为为的中点，
可得，
由，，可得，
即为，
所以．
故选：．
15．设，已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，，若点满足，则该双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【解答】解：由，解得，，
由，解得，．
的中点坐标为，，
点满足，
，即，
整理得：，，
解得：．
故选：．
16．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线渐近线上存在一点，使得顺次连接，，，构成平行四边形，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．3
【解答】解：由双曲线方程知：，，渐近线方程为；
①若点在上，可设，
顺次连接，，，构成平行四边形，，即，
，即，不合题意；
②若点在上，可设，
顺次连接，，，构成平行四边形，，即，
，即，；
综上所述：双曲线的离心率．
故选：．
17．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线渐近线上一点，且，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．3
【解答】解：联立，，．
所以，，．
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
所以双曲线的离心率为2．
故选：．
18．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．
【解答】解：双曲线的左顶点为，右焦点为，点，且，
，，，
即，
即，
即，得，
故选：．
二．填空题（共7小题）
19．设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，．若点满足，则该双曲线的离心率是 ．
【解答】解：双曲线的两条渐近线方程为，则
与直线联立，可得，，，，
中点坐标为，，
点满足，
，
，
，
．
故答案为：．
20．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得，，，顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率 2 ．
【解答】解：由双曲线的方程可得，
设双曲线的半焦距为，则，
双曲线的渐近线方程为，
由平行四边形，可得在渐近线上，
由，可得，
设的方程为，
与联立，解得，，
又，即有，
化为，即为，
所以．
故答案为：2．
21．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于第一象限内的一点．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：由题意可知，经过第一象限的渐近线方程为，
过点且与渐近线垂直的直线相交于点，
，解得，
，
，即，
，
，即，
，
故答案为：．
22．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的其中一条渐近线交于点（不同于，若双曲线右支上存在点满足，则双曲线的离心率为 ．
【解答】解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：，即，右焦点，
所以到渐近线的距离，在直角三角形中可得，
所以，，所以可求得，
，因为，则可得为，的中点，所以，
把代入双曲线，
可得，整理可得，所以．
故答案为：．
23．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为 ．
【解答】解：如图，
以为直径的圆的方程为，
又圆的方程为，
所在直线方程为．
把代入，得，
再由，得，即，
，解得．
故答案为：．
24．设是椭圆的左焦点，过的直线与椭圆交于，两点，分别过，作椭圆的切线并相交于点，线段为坐标原点）交椭圆于点，满足，且，则椭圆的离心率为 ．
【解答】解：，可取，
满足，，
．
设，，，，
可得过点，的切线方程分别为：，．
联立解得．
设直线的方程为：，
，
，
解得．
故答案为：．
25．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且与圆相切的直线与双曲线的一条渐近线相交于点（点在第一象限），若，则双曲线的离心率 2 ．
【解答】解：如图，依题意可知，即可得，
，
设，由，可得，故，
，，整理可得，
，
，，
故答案为：2．