新高考数学二轮专题圆锥曲线精练第16讲 弦长问题及长度和、差、商、积问题（2份，原卷版+解析版）

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1．椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为．抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于，，与交于，．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的右焦点，由题意可得，可得，
再由，所以可得，
所以，
所以椭圆的方程为：；
因为抛物线的焦点，所以，
所以抛物线的方程：，
所以椭圆的方程为：，
抛物线的方程：；
（2）设直线的方程为：，并设，，，，，，，，
联立整理可得：，
，，
所以，
，
联立整理可得：，
，所以，
得，要使其为定值，则对应比成比例，
所以可得，
即时，为定值．
2．椭圆的右焦点到直线的距离为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，过作与轴垂直的直线交椭圆于，两点，交抛物线于，两点，且．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于、两点，交抛物线于，两点，请问是否存在实常数，使为常数．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆、抛物线的公共焦点，
由点到直线的距离公式得
解得，故，即，
由，
得，
，即，
又，解得
故椭圆的方程为，
抛物线的方程为．
（2）设，，，，，，，．
把直线的方程，与椭圆的方程联立，得，
整理得
，
把直线的方程，与抛物线的方程联立，得，
得
，
要使为常数，
则，解得
故存在，使得为常数．
3．已知椭圆的右焦点到直线的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）给出定点，，对于椭圆的任意一条过的弦，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由右焦点到直线的距离为5，可得：，解得．
又，，联立解得，．
椭圆的标准方程为．
（2）当直线与轴重合时，．
当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，，，，．
联立，化为：，△，
，．
，同理可得：．
．
综上可得：．
4．已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于、两点，且，求直线的斜率的取值范围．
【解答】解：椭圆的右焦点为，
设直线的方程为，，，，．
由，
得，
直线过焦点，△，
且，，
，
同理，
故．
由，
，
解得．
所以直线的斜率的取值范围是，，．
5．已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，△的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）我们知道抛物线有性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆的定义，可得，，
△的周长为，
，，
椭圆的方程为，
将代入得，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，得，依题意可知直线的斜率不为0，
故可设直线的方程为，
消去，整理得，
设，，，，
则，，
不妨设，，
，
同理，
所以，
，
即，
所以存在实数，使得成立．
6．已知椭圆，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点、的距离之和为4，且的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为椭圆的标准方程为，记的最大值为．
由题意知解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）因为，当直线的斜率不存在时，，
则，不符合题意；
当直线的斜率存在时，直线的方程可设为．
由，消得．
设，，，，则、是方程的两个根，
所以，，
（法一），，
，
当时，取最大值为3，所以的取值范围．
又当不存在，即轴时，取值为．
所以的取值范围，
（法二）
，
当时，取最大值为3，所以的取值范围．
又当不存在，即轴时，取值为．
所以的取值范围．
7．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，
所以，解得，
由椭圆的定义可得△的周长为，
又因为△的周长为8，
所以，解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，
联立，得，
设，，，，
所以，，
设的中点为，，
所以，，
当时，线段的垂直平分线的方程为，
令，得，
所以，
，
所以，
当时，直线的方程为，
此时，，
所以，
综上，．
8．设、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的点，且，坐标原点到直线的距离是．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）过椭圆的上顶点作斜率为的直线交椭圆于另一点，点在椭圆上，且，求证：存在，使得．
【解答】解：（Ⅰ）是椭圆上的点，且，
所以点，
又，
直线的方程为；
坐标原点到直线的距离是，
得，
，
即；
解方程得或（不合题意，舍去）；
故所求椭圆离心率为；
（Ⅱ）证明：由椭圆离心率为，①
；②
由①②得；
椭圆，
其上顶点为；
故直线的方程为，
与椭圆方程组成方程组，消去，
得，
解得，
所以，
；
又，
，
化简得；
记，
又，，
函数的零点在区间内，
存在，使得．
9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交于，两点．当时，点，，，恰在以为直径且面积为的圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）当时，直线轴，又点，，，恰在以为直径，
面积为的圆上，所以四边形为矩形，且，
所以点的坐标为．（2分）
又，所以，，．
在△中，，由，（3分）
解得，，所以椭圆的方程为．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点坐标为，
将与椭圆方程联立得，设，，，，
得，，（8分）
故．（9分）
又，（10分）
所以，
解得．（11分）
所以直线的方程为．（12分）
10．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．
【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，
所以，
椭圆上一点，满足，
所以点为圆：与椭圆的交点，
联立方程组解得，
所以，
解得：，，所以柯圆的标准方程为：．
方法二：由椭圆定义；，
，
得到：，即，又，得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）证明：设直线的方程为：．
得，
，
设过点且平行于的直线方程：，．
11．平面直角坐标系中，是椭圆的左焦点，过点且方向向量为的光线，经直线反射后通过左顶点．
求椭圆的方程；
过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，为的中点，直线为原点）与直线交于点，若满足，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）由关于对称得到点，在光线所在直线方程上，
的斜率为，，，，
椭圆的方程为；
（Ⅱ）由得，直线，联立，
得，
，，，
直线与直线垂直，，则，解得．
12．如图，已知抛物线，点，，，，抛物线上的点，，过点作直线的垂线，垂足为．
（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；
（Ⅱ）求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知，，
所以，
故直线斜率的取值范围是：；
（Ⅱ）由知，，
所以，，
设直线的斜率为，则，即，
则，，
联立直线、方程可知，，
故，，
又因为，
故，
所以，
令，，
则，
由于当时，当时，
故，即的最大值为．
13．已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，，且当直线垂直于轴时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，求弦长的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，，即，
，则，①
把代入，得，
则，②
联立①②得：，．
椭圆的方程为；
（2）如图，当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，得．
设，，，，
则，③
由，得，
，，，则，④
把④代入③消去得：，
当，时，，．
解得：．
．
弦长的取值范围为．
14．椭圆的左，右焦点应分别是，，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆切于点，，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点．证明：存在常数，使得，并求的值；
（3）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，，，解得，，，
所以椭圆的方程为；
（2）证明：，，，又，设的方程为，
由可得，
设，，，，则△，，，
由可得，
，
，即存在满足条件；
（3）由题意可知：，，
设，其中，，，，，，，，，，，
将向量坐标代入并化简得：
，因为，所以，
而，所以，．
15．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）原点到直线的距离为，
所以，解得，
又，得，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线即轴，
，，则；
当直线的斜率不为0时，设直线，，，，，
联立方程组，得，
由△，得，
所以，，显然，同号，
，
，
故，
，，，
且，
故的取值范围是，．
16．已知椭圆的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）原点到直线的距离为，
所以，解得，
又，得，
所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率为0时，直线即轴，
；
当直线的斜率不为0时，设直线，，，，，
联立方程组，得，
由△，得，
所以，
，
由，得，所以．
综上可得：，
即．
17．已知抛物线的方程为，，为抛物线上两点，且，其中，过，分别作抛物线的切线，，设，交于点．
如果点的坐标为，求弦长；
（Ⅱ）为坐标原点，设抛物线的焦点为，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设，，因为抛物线的方程为，
所以，则，
则过、的切线方程分别为，，
联立两条切线方程可得交点，
又由，可知，即，
所以，从而，，
因为点的坐标为，则，不妨设，则，所以，，
因此．
（Ⅱ）令，由可得，所以，
因此，
因为，所以，
所以，
令，
则，由得△，
即，解得．
即的取值范围为．
18．已知曲线；曲线．
（1）试判断曲线与的交点个数；
（2）若过点直线与曲线交于两个不同的点，，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
所以，
由，得，
所以，即，
由得，解得或，
所以曲线与的交点有两个；
（2）①当直线存在斜率时，设的方程为，，，，，
由得，
△，即恒成立，
则，，
，，，
，
又，所以；
②当直线不存在斜率时，把代入得，
此时，
综合①②得的取值范围为，．
19．如图，设抛物线的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若，试写出关于的函数解析式，并求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），抛物线方程为．（4分）
（Ⅱ）设方程为，，，，，，，，，
由得，△，所以，，，
，
代入方程得：，（6分）
所以，（8分）
且直线，
由得，
则得，
代入直线方程得，
所以，（10分）
则，（12分）
令，则，
而在单调递增，在单调递减
所以（14分）
20．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围．
【解答】解：（Ⅰ）设，点坐标为，
，，，
，
，，，，
，，
因此，解得，，
椭圆的方程：；
（Ⅱ）由题意可知，整理得，
由直线与椭圆交于不同的两点、，设，，，，
由，得，
△，化简可得，
，，
，
，
，
，，
，
21．椭圆过点，，左焦点为，与轴交于点，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设圆，直线与圆相切且与椭圆交于不同两点，，当且，时，求弦长的范围，并求当弦长最大时，直线的方程．
【解答】（Ⅰ）由题意椭圆过点，，设左焦点，满足．
所以、、三点在一条直线上，
，
（Ⅱ）因为直线与椭圆交于不同两点，，设，，，
则，
联立可得，①
则韦达定理有，②
△，
因为直线与圆相切，所以，③
当且，时，
，④
将②③代入④可得
，
，，；⑤
⑥
将⑥代入⑤可得
，，；
所以，
；
22．设椭圆，为坐标原点，
（1）椭圆过，，两点，求椭圆的方程；
（2）若，两个焦点为，，为椭圆上一动点，且满足，求椭圆离心率的范围．
（3）在（1）的条件下，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的方程为：，，，
由椭圆过点、得，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）设，，，
由，得，，①，
又在椭圆上，所以，得，
代入①式得，化简得，
则有，即，
两边平方得，即，
所以，解得，即．
所以椭圆离心率的范围为：，．
（3）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且，
设该圆的切线方程为，，，，．
由，得，
则△
则，
要使，需使，
所以，所以
结合可得，解得或，
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，
所求的圆为，
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为，或，
满足，（其实与轴垂直时的切线方程结果是一样的，因为此时圆与椭圆相切）
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且．
，
①当时，
因为，所以（当且仅当时取” ” ．
当时，．
综上，的取值范围为，
23．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．
【解答】解：（1）设，则，，．
由，得．化简得，
即动点的轨迹的方程为．
（2）设，，，，
由题意知，，
因为，所以，易知，所以．①
设直线的方程为，联立消去，
得，则△，
，②，③
由①②③解得，
所以．
24．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，已知点，为坐标原点．若的最小值为3．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线，交抛物线于、两点，求的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线，而，
所以在抛物线的内部，过作准线的垂线交抛物线于一点，
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，
根据抛物线的定义有，
则，
即为 到 距离，
，，
抛物线的方程为．
（2）设，，，，，，，，
由题意 斜率必存在，设为，则，
则，则，
联立直线与抛物线得
，消去得
，
由韦达定理得
，
根据抛物线的定义有
，，
，
联立直线与抛物线得
，消去得
，
由韦达定理得
，，
根据抛物线的定义有
，，
，
，
当且仅当16 或 取等，
的取值范围为，．
25．在①离心率，②椭圆过点，③△面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
设椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，已知椭圆的短轴长为，_____．
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值．
【解答】解：（1）选择①离心率，可得，，即，
解得，，即有椭圆的方程为；
选②椭圆过点，即有，又，即，解得，
即有椭圆的方程为；
选③△面积的最大值为，可得位于短轴的端点时，取得最大值，且为，
即为，又，即，，，
即有椭圆的方程为；
（2）证明：设直线的方程为，联立椭圆方程可得，
设，，，，可得，，
可得，
设的中点为，可得，，
由题意可得，解得，
可得，
可得，即为定值．