新高考数学二轮专题圆锥曲线精练第24讲 定值问题（2份，原卷版+解析版）

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1．已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线”交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可设双曲线的方程为
点，且点在轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点
双曲线的一个焦点为可得的另一个焦点为（1分）
由（3分）
，又，所以（4分）
双曲线的方程为
（Ⅱ）关于抛物线的类似命题为：过抛物线的焦点作与轴不垂直的任意直线交抛物线于点，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，定值是2（6分）
证明如下：由于直线与轴不垂直，可设直线的方程为
联立方程可得
由题意与有两个交点，，则，△
设，，，
则，，
线段的中点的坐标（8分）
的垂直平分线的方程为
令可得，即，
（9分）
（10分）
（Ⅲ）过圆锥曲线的焦点作与焦点所在的对称轴不垂直的任意直线交于，两点，线段的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点，则为定值，定值是（其中 是圆锥曲线的离心率）（13分）
（法二）由题意可设双曲线的方程为（1分）
由已知可得（3分）
解可得，
双曲线的方程为（4分）
（Ⅱ），（Ⅲ）同法一
2．已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值，说明理由．
【解答】解：中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点，
且点在轴的射影恰为该椭圆的一个焦点，
设椭圆方程为，
把代入，得：，
整理，得，
解得，或，
椭圆的方程为（4分）
“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，
线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是4” （5分）
证明如下：
由于与轴不垂直，可设直线的方程为
①当时，由．
依题意与有两个交点、，所以△．
设，，，，
则，，
所以线段的中点的坐标为，（7分）
的垂直平分线的方程为：．
令，解得，即，
所以．（9分）
又
，（10分）
所以．（11分）
②时，易得结论成立．
综上所述，结论成立．^（12分）
3．已知椭圆，离心率分别为左、右焦点，椭圆上一点满足，且△的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点．过点且平行于的直线交椭圆于点，，证明：为定值．
【解答】（1）解：方法一：由离心率，得：，
所以，
椭圆上一点，满足，
所以点为圆：与椭圆的交点，
联立方程组解得，
所以，
解得：，，所以柯圆的标准方程为：．
方法二：由椭圆定义；，
，
得到：，即，又，得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）证明：设直线的方程为：．
得，
，
设过点且平行于的直线方程：，．
4．已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆相交于，两点，且，求直线方程；（注意用两种方法作答，每种方法4分）
（3）设直线过点且与椭圆相交于，两点，不经过点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为3，
，解得，，
椭圆的方程为：．
（2）方法一（点差法），
设，，，，
，，
为的中点，
，
两式相减可得，
即，
，
，
直线方程为，即；
方法二：易知直线的斜率存在，不妨设为，
则直线的方程为，即，
由，消可得，
，
设，，，，
，，
为的中点，
，
，
解得，
即直线为，即；
（3）证明：易知直线斜率恒小于0，设直线的方程为，且，
设，，，．
由得，
，，
由（1）得，
，
，
，
，
（定值）．
5．已知椭圆，的离心率等于，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为，，过点的动直线与椭圆相交于，两点，是否存在定直线，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）椭圆，的离心率等于，点在椭圆上．
，解得，，．椭圆的方程为．
（2）当轴时，，，直线、的方程分别为，．
分别化为：，．联立解得．猜测常数．
即存在定直线，使得与的交点总在直线上．
证明：当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，，，．
联立，化为．
，．
，，，三点，，共线．
，
由于，，，要证明三点，，共线．
即证明．即证明，
而，
成立．
存在定直线，使得与的交点总在直线上．
综上可知：存在定直线，使得与的交点总在直线上．
6．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，上顶点在直线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆交于，两点，不是椭圆的顶点）．点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于，两点．
设直线，的斜率分别为，，问是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
求面积的最大值．
【解答】解：上顶点在直线上，，
由得，即，
椭圆的方程为；
存在实数，使得．
设，，，，则，
直线的斜率，
，直线的斜率，
设直线的方程为，由题意知，，
由得，
，
由题意知，，
直线的方程为，令，得，即，，
即，
存在常数使得结论成立．
直线的方程，
令，得，
即，由知，，
的面积为
由于，
当且仅当时等号成立，此时取得最大值，
面积的最大值为．
7．已知椭圆的离心率为，为椭圆的右焦点，是右准线与轴的交点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上顶点的直线交椭圆另一点，交轴于点，若，求直线的方程；
（3）设点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，试问是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，，由，解得，，
所以，
所以椭圆的方程：；
（2）由（1）知，设，，由，，，得，
所以，
代入椭圆方程得，解得．所以，，
因此的方程为：；
（3）设直线的方程，，，，，
联立方程组，消去，整理得：，
则，，，
所以，
直线的方程为，又，
令，则，
所以点的坐标为，
即，所以．
因此为定值，定值为0．
8．已知椭圆的右焦点为，过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点．
（1）若，求点坐标；
（2）问：是否为定值．
【解答】解：（1）椭圆的右焦点为，
过作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点，
，设，
由椭圆的第二定义得：，
解得，
，在椭圆上，
，解得，
，或，．
（2）设直线的方程为，不妨取，，
把，代入直线，得，
直线的方程为，
联立，得，
解得，，，，
，
的中点，，
直线的方程为，
令，得，，
，
，
故为定值．
9．已知椭圆的离心率为，、是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一个动点，且△面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作与轴不垂直的直线交椭圆于，两点，第一象限点在椭圆上且满足轴，连接，，记直线，，的斜率分别为，，，探索是否为定值，若是求出；若不是说明理由．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，△面积的最大值为，
，解得，，
故椭圆的方程为．
（2）设，，，，
轴，
．
设直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，，
，
，
故为定值，定值为．
10．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，且椭圆截直线所得弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围；
（3）试问在轴上是否存在一点，使得恒为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意椭圆过点，且椭圆的离心率为，
则满足方程组，解得，，
所以椭圆方程为，
（2）设直线的方程为，
联立方程，
消去整理得，△，
设点，，，，，，的中点，，
则，
所以，
的垂直平分线的方程为，
令得，
因为，
所以，
所以点的横坐标的取值范围为．
（3）假设存在，设，．
结合第（2）问知：，
所以
所以
设
则对任意恒成立，
所以，解得，，
所以存在点，使得为定值．
11．在平面直角坐标系中，椭圆．
（1）若椭圆的焦点在轴上，求实数的取值范围；
（2）若，
①是椭圆上的动点，点的坐标为，求的最小值及对应的点的坐标；
②过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：是定值，并求出这个定值．
【解答】解：（1）由题意得，，解得，
所以实数的取值范围是；
（2）因为，所以椭圆的方程为，
①设点坐标为，则，
因为点的坐标为，
所以，，
所以当时，的最小值为，此时对应的点坐标为；
②由，，得，即，
从而椭圆的右焦点的坐标为，右准线方程为，离心率，
设，，，，的中点，，
则，，
两式相减得，，即，
令，则线段的垂直平分线的方程为，
令，则，
因为，所以，
因为．
故，即为定值．
12．已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作斜率为，的椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求三角形面积的最大值；
（3）若，
①求证：直线经过定点，并求出定点的坐标．
②求证：点到直线，的距离的平方和为定值．
【解答】（1）解：由题意，且右焦点，
，
．
所求椭圆方程为：；
（2）解：设，，，，设方程为．
由，得．
，．
三角形面积
，当且仅当时，取等号；
（3）①证明：由题意，，令直线的斜率为，则的斜率为，
设，，直线的方程为，
代入椭圆方程并化简得．
，．
；
同理可得，．
直线的斜率，
直线的方程为，
即，此时直线过定点；
②证明：直线的方程为，即，
直线的方程为，即．
则点到距离的平方，到距离的平方．
点到直线，的距离的平方和为，为定值．
13．已知椭圆中，以为中点的弦所在直线的方程是．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，证明：为定值．
【解答】解：（1）设，，，，则，
两式相减得，，
所以，
即．
又所在直线的方程是，所以，，，
所以，．
故椭圆的方程是．
（2）设直线交椭圆于，，，，
由，消去得，．
因此，．
于是
．
故为定值，且为15．
14．如图，已知抛物线的焦点到直线的距离为．是过抛物线焦点的动弦，是坐标原点，过，两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于点．
（1）求证：．
（2）若动弦不经过点，直线与准线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得在弦运动时恒成立？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：，
由到直线的距离为，
即，故抛物线方程为，
，依题意，设直线方程为，
联立得：，
设，，，，，，
，，
；
（2）将代入得，
，，
，
，
若有成立，则有解得，
故存在，使成立．
15．已知，分别为椭圆的左、右焦点，焦距为2，过作斜率存在且不为零的直线交于，两点，且△的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．
【解答】解：（1）因为椭圆的焦距为2，
所以，解得，
由椭圆的定义可得△的周长为，
又因为△的周长为8，
所以，解得，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）证明：设直线的方程为，
联立，得，
设，，，，
所以，，
设的中点为，，
所以，，
当时，线段的垂直平分线的方程为，
令，得，
所以，
，
所以，
当时，直线的方程为，
此时，，
所以，
综上，．
16．已知圆的圆心坐标为，且该圆经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为8，求直线的方程；
（3）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之积为2，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线交圆于，两点，若直线，的斜率之和为0，求证：直线的斜率是定值，并求出该定值．
【解答】解：（1）设圆的标准为，把代入得，
故圆的标准方程为．
（2）①不存在时，根据题意，直线的方程为：；
②存在时，设直线的方程为：，
联立方程，则，
所以，
根据弦长为8，可得，
所以，所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或；
（3）当不存在时，设，，
直线，的斜率之积为2，，
，即，
点在圆上，
，
联立，无解，舍去，
当直线存在时，设直线，，，，，
①
联立方程，
所以，代入①
得，
化简得，所以直线的方程为：，所以过定点．
（4）设直线，
联立方程，
所以点的坐标为，
同理点的坐标为．
所以，
故直线的斜率是定值，且为．
17．已知圆的方程为，直线，设点，．
（1）若点为，试判断直线与圆的位置关系；
（2）若点在圆上，且，，过点作直线，分别交圆于，两点，且直线和的斜率互为相反数．
①若直线过点，求直线的斜率；
②试问：不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解答】解：（1）当点的坐标为时，直线的方程为，
圆心到直线的距离，
直线与圆相交．（5分）
（2）①由点在圆上，且，，得，即．
由题意，是圆的直径，所以点的坐标为，且．
又直线和的斜率互为相反数，所以（7分）
直线的方程为，由得：，
解得：或，所以
直线的斜率为．（10分）
②记直线的斜率为，则直线的方程为：．
将代入圆的方程得：，
化简得：，
是方程的一个根，，，
由题意知：，同理可得，，（13分）
，
，
不论直线的斜率怎样变化，直线的斜率总为定值．（16分）
18．已知椭圆的左、右焦点分别是，，直线与椭圆交于点，两点，当，是椭圆的顶点，且△的周长为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，在直线上的射影分别为，，，连接，当变化时，证明直线与相交于一定点，并求出该定点的坐标；
（3）设椭圆的左顶点为，直线，与直线分别相交于点，，试问：当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
【解答】（1）解：当时，直线的倾斜角为，
由题意得，解得，，，
椭圆的方程为；
（2）由（1）知，，直线的方程为，
设，，，，
由，可得．
．
当直线与轴垂直时，可得与的交点为的中点，
当直线与轴不垂直时，下面证明过定点，
由题意可知，
，，
．
，即过定点，
同理可证也过定点，
直线与相交于一定点，该定点的坐标为；
（3）由题意可得直线的方程为，
令，得点坐标为，
同理可得，
设为以为直径的圆上任意一点，则，
以为直径的圆的方程为．
令，则．
即，
即，
即．
即，解得或．
即以为直径的圆恒过与，
当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是定值6．
19．已知圆的圆心为，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）给定点，若过点的直线与轨迹相交于，两点（均不同于点．证明：直线与直线的斜率之积为定值．
【解答】解：（1）如图，由已知，圆心，半径．
点在线段的垂直平分线上，则，
又，，
又，，
则动点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，
从而，
故所求轨迹方程为；
（2）由已知，直线过点，且不过点，则斜率存在，
设，将其代入得，则△成立，
设，，，，则，显然，
设直线与直线的斜率分别为，，
则，
即直线与直线的斜率之积为定值．
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