新高考数学二轮专题圆锥曲线精练第26讲 四边形面积问题（2份，原卷版+解析版）

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1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为
A．B．
C．D．
二．填空题（共2小题）
2．设、为椭圆的左右焦点，过椭圆的中心任作一直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于 ．
3．设，是椭圆的两个焦点，过，分别作直线，．且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），则四边形面积的最大值为 ．
三．解答题（共15小题）
4．已知椭圆的离心率，过右焦点作与轴垂直的直线，与椭圆的交点到轴的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于、两点、不在轴上），若，求四边形面积的最大值．
5．已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，椭圆的右顶点为，且满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为（其中的直线过点，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围．
6．已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点；
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积．
7．如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，已知，且．
（Ⅰ）求、的方程；
（Ⅱ）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值．
8．已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．
（Ⅰ）求焦点的坐标，并证明直线过点；
（Ⅱ）求四边形面积的最小值．
9．已知，，曲线上任意一点满足直线与直线的斜率之积为．
（1）求曲线的标准方程；
（2）已知直线过（与轴不重合）且交于，两点，过且垂直于直线的直线交于，两点，求四边形面积的取值范围．
10．平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．
11．过椭圆右焦点的直线交于，两点，且椭圆的长轴长为短轴长的倍．
（1）求的方程；
（2），为上的两点，若四边形的对角线分别为，，且，求四边形面积的最大值．
12．已知双曲线的离心率，点、分别是曲线的两条渐近线、上的两点，△为坐标原点）的面积为9，点是曲线上的一点，且．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设点是此双曲线上的任意一点，过点分别作、的平行线交、于、两点，试证：平行四边形的面积为定值．
（3）若点是此双曲线上不同于实轴端点的任意一点，设、分别为双曲线的左、右焦点），且，，试求的变化范围．
13．已知，为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的垂线，在轴上方交双曲线于点，且．
（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；
（2）过点的直线和双曲线的右支交于，两点，求△的面积最小值；
（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于，两点，求平行四边形的面积．
14．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和．
（1）求四边形的面积；
（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和．请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由．
15．已知的两个顶点坐标是，，的周长为，是坐标原点，点满足．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若互相平行的两条直线，分别过定点和，且直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，若四边形的面积为，求直线的方程．
16．如图，为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，且．
（1）求，的方程；
（2）过作的不垂直于轴的弦，为的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值．
17．已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于，两点，与椭圆相交于，两点，如图所示．
①若，求圆的方程；
②设与四边形的面积分别为，，若，求的取值范围．
18．已知椭圆的左右焦点分别为，，点，是椭圆的左右顶点，点是椭圆上一动点，△的周长为6，且直线，的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若、为椭圆上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的取值范围．