湖北省部分普通高中2025届高三上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省部分普通高中2025届高三上学期12月联考数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x3-16x=0}，B={x||x-1|>2}，则A∩B=( )
A. {0}B. {-4,4}C. {-4,0}D. {4}
2.若复数z满足(2-i)z=3+i，则z的共轭复数z=( )
A. 1-iB. 1+iC. 2+iD. 2-i
3.“∀x∈[1,2]，x2+ax+1≤0"的一个充分不必要条件是( )
A. a≥-1B. a≤-2C. a≤-52D. a≤-3
4.已知A(-5,1)，B(1,1)，C(1,-2)三点，点P在圆x2+y2=1上运动，则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为( )
A. 96B. 98C. 100D. 102
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，C=2B，则csC=( )
A. -14B. -18C. 14D. 18
6.已知a=lg32，b=lg64，c=lg96，则a，b，c的大小关系是( )
A. b>c>aB. c>a>bC. c>b>aD. a>b>c
7.已知函数f(x)=ln( 1+x2-x)+x3，函数g(x)满足∀x∈R，g(x-4)+g(-x)=0，若函数h(x)=f(x+2)-g(x)恰有2025个零点，则所有零点之和为( )
A. -4050B. -4048C. -2026D. -2024
8.记数列{an}的前n项和为Sn，若an+12=an2+2an+1，且a1=0，则|S20|的最小值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知平面向量a=(1,2)，b=(3,1)，则( )
A. (a-b)⊥aB. a//b
C. a与b的夹角是π4D. a在b上的投影向量是(32,12)
10.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，点O是顶点A在底面BCD内的射影，M为AO的中点，则( )
A. BM⊥CM
B. BM⊥AD
C. 点D到平面BCM的距离为 22
D. 三棱锥M-BCD的外接球体积为 6π
11.已知函数f(x)=asin(sinx)+bcs(csx)(ab≠0,x∈R)，则下列说法错误的是( )
A. f(x)的图象关于直线x=3π2对称
B. 存在a，b，使得f(x)为奇函数
C. 当a=b=1时，∃x0∈[0,π]，使得f(x0-π2)0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使得∠PF1F2=45∘，∠PF2F1=105∘，则C的离心率e=________.
14.对任意实数a，b，c，d，均有(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)，当且仅当ad=bc时等号成立，这个不等式称为柯西不等式．若关于x的方程e2x+e-2x+λ(ex+e-x)=1-μ有实根，则λ2+μ2的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知Snn+1=an+n.
(Ⅰ)证明：{an}是等差数列；
(Ⅱ)若a1，a4，a6成等比数列，求Sn的最大值．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，O，M，N分别为棱AD，PC，PD的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，四边形ABCD是边长为4的正方形.
(Ⅰ)求证：OM//平面PAB;
(Ⅱ)求平面OMN与平面OMD夹角的余弦值.
17.(本小题12分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，左、右顶点分别为A，B，且E上存在点P，使得直线PA与PB的斜率之积为-34.
(Ⅰ)求E的方程.
(Ⅱ)过点F作直线l1交E于G，H两点(与A，B均不重合)，过原点O作直线l1的平行线l2交E于M， N两点，是否存在常数λ，使得|MN|2=λ|GH|恒成立?若存在，求出λ的值;若不存在，请说明理由.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+lnx.
(Ⅰ)记f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=g(x)，证明：当x>0时，f(x)≤g(x)1时，xf(x)-x2>(a-2)x-a，求实数a的最大整数值.
19.(本小题12分)
16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.
积化和差：
sinαsinβ=12[cs(α-β)-cs(α+β)]，csαcsβ=12[cs(α-β)+cs(α+β)]，
sinαcsβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)]，csαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)].
和差化积：
sinα+sinβ=2sinα+β2csα-β2，sinα-sinβ=2csα+β2sinα-β2，
csα+csβ=2csα+β2csα-β2，csα-csβ=-2sinα+β2sinα-β2.
运用上面的公式解决下列问题：
(Ⅰ)证明：cs2α-sin2β=cs(α+β)cs(α-β);
(Ⅱ)若α+β+γ+ω=π，证明：sin(α+β)sin(α+γ)=sinαsinω+sinβsinγ;
(Ⅲ)若函数f(x)=sinx2+sin3x4+sin5x6+⋯+sin99x100，x∈(0,2π)，判断f(x)的零点个数，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题.
化简A，B，由交集运算即可求解.
【解答】
解：A={x|x3-16x=0}={-4,0,4}，B={x||x-1|>2}={x|x>3或x⋯>a9>a10=0>a11>a12>⋯，
所以当n=9或n=10时，Sn取得最大值，
S9=S10=(18+0)×102=90，
故Sn的最大值为90.
【解析】本题主要考查数列的前n项和及Sn与an的关系，等差数列的概念及前n项和公式，属于中档题.
(Ⅰ)由数列的递推关系可得：an+1=an-2，得{an}是公差为-2的等差数列；
(Ⅱ)由题意可得，当n=9或n=10时，Sn取得最大值，根据等差数列的求和公式求解即可.
16.【答案】(I)证明：因为O，N分别为棱AD，PD的中点，
所以ON//PA，
因为ON⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以ON//平面PAB，
同理MN//平面PAB，
因为ON∩MN=N，
所以平面OMN//平面PAB，
因为OM⊂平面OMN，所以OM//平面PAB;
(Ⅱ)解：取BC的中点E，连接OE，则OE⊥AD，
∵PO⊥平面ABCD，AD，OE⊂平面ABCD，∴PO⊥AD，PO⊥OE，
以O为原点，直线OE，OD，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，M(2,1,1)，N(0,1,1)，D(0,2,0)，
∴OM=(2,1,1)，ON=(0,1,1)，OD=(0,2,0)，
设平面OMN的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则m⋅OM=0,m⋅ON=0,即2x1+y1+z1=0,y1+z1=0,
令y1=1，则m=(0,1,-1)，
同理得平面OMD的一个法向量为n=(1,0,-2)，
记平面OMN与平面OMD的夹角为θ，则csθ=|cs|=|m⋅n|m||n||= 105，
故平面OMN与平面OMD夹角的余弦值为 105.
【解析】本题考查面面平行的判定与性质，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.
(I)证明平面OMN//平面PAB，由面面平行的性质得出结论；
(II)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式得出结论.
17.【答案】解：(I)设P(x0,y0)，由题知A(-a,0)，B(a,0)，
则kPA⋅kPB=y0x0+a⋅y0x0-a=y02x02-a2=-34，
又点P在E上，所以y02=b2(1-x02a2)，所以y02x02-a2=-b2a2=-34，即b2a2=34.
又抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，所以a2-b2=1，
解得a=2，b= 3，所以E的方程为x24+y23=1.
(Ⅱ)由题知F(1,0)，l1的斜率不为0，设l1:x=my+1，l2:x=my，G(x1,y1)，H(x2,y2)，M(x3,y3)，
联立l1与E的方程得(3m2+4)y2+6my-9=0，所以y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,
所以GH= 1+m2|y1-y2|=12(1+m2)3m2+4.
联立l2与E的方程得(3m2+4)y2=12，所以y32=123m2+4，
所以MN2=4|OM|2=4(1+m2)y32=48(1+m2)3m2+4.
所以λ=|MN|2|GH|=4，所以存在λ=4，使得|MN|2=4|GH|恒成立.
【解析】本题考查椭圆的方程与几何性质及弦长，属于较难题.
(1)设P(x0,y0)，由题知A(-a,0)，B(a,0)，则kPA⋅kPB=y02x02-a2=-34，又抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，则a2-b2=1，联立方程可解出a，b，从而得到椭圆E的标准方程；
(1)通过联立直线与椭圆方程，求出MN与GH长，可解出λ.
18.【答案】解：(Ⅰ)由题可知f(1)=1，f'(x)=1+1x，所以f'(1)=2，所以g(x)=2x-1，
令h(x)=f(x)-g(x)=lnx-x+1，则h'(x)=1-xx，
易知h(x)的定义域为(0,+∞)，由h'(x)>0得0