初中数学人教版（2024）八年级下册17.2 勾股定理的逆定理优质课课件ppt

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　　巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学生们以手掌大小的粘土板为练习本．只要粘土板还潮湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就是在这些建筑中发现这些泥板的．
泥板上的神秘符号实际上是一些数组．
　　经过专家的潜心研究,发现其中两列数字竟然是直角三角形的勾和弦的长,只要再添加一列数(如图左边的一列),那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长．
　　那如何判定由这些数组构成的三角形是直角三角形呢？
（2）量一量：用量角器测量上述三角形的最大角的度数．
（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
（1）画一画：下列各组数都满足a2＋b2＝c2，分别以这些数为边长画出三角形 （单位：cm），它们是直角三角形吗？ ① 3，4，5； ② 5，12，13； ③8，15，17； ④ 7，24，25．
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
因此我们需要严格的证明
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．求证：△ABC是直角三角形．
证明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1＝a＝CB，在C1N上截取C1A1＝b＝CA，连接A1B1．
在Rt△A1B1C1中，由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，∴A1B1＝AB．在△ABC 和△A1B1C1中，AB＝A1B1，AC＝ A1C1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）．∴∠C＝∠C1．∴△ABC是直角三角形．
直角三角形的判定有两法可依：（1）由角的关系：证明两内角互余或一角为直角．（2）由边的关系：利用勾股定理的逆定理判定．
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.
下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？
(1) a5，b12，c13；
(2) a6，b7，c8；
(4) a:b: c=3:4:5;
（4）解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股 定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ， b=14 ， c=15;
解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾 股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数)试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由
解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，BC边的中线AD=4，求△ABC的面积.
解：要求△ABC的面积，找到三角形的高是关键， 由已知条件AD是中线，BC=6，可得 BD=3，而△ADB的三边分别为3、4、5， 根据勾股定理的逆定理可得∠ADC=90°， 所以AD为△ABC的高，所以 △ABC的面积为 .
以△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则△ABC是直角三角形吗？
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10；7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；10，24，26等等.
像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
一组勾股数中各数的相同整数倍组成一组新的勾股数，如3,4,5各数的n倍（n为正整数）组成的数组3n，4n，5n也是勾股数.
①从表中你能发现什么规律？②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ．
我们知道3,4,5是一组勾股数，那么3k,4k,5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？
解：（1）3k,4k,5k也是一组勾股数.
因为（3k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,
所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.
勾股数拓展性质的证明：
（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么ak,bk,ck也是一组勾股数.
因为a,b,c是勾股数，则a2+b2=c2
（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2
故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一组勾股数.
前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
命题2：如果三角形的三边长a ，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
两个命题的题设和结论有何联系？
它们是题设和结论正好相反的两个命题.
两个命题的条件和结论分别是什么？
两个命题的条件和结论有何联系？
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理．
判断一个命题是真命题要证明，而判断一个命题是假命题只要举一个反例即可.
试着说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等；（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
内错角相等，两条直线平行．
如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等．
对应角相等的两个三角形全等．
在角平分线上的点到角的两边距离相等．
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角
1. 下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（　 ）．A．3，4，5； B．10，6，8； C．4，5，6；　　 D．12，13，5．
2．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平方是（　　） A．161；　　 B．289；　　C．17；　　 D．161或289．
3.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　）
A. B. C. D.
4.一个三角形的三边长分别是5,12,13，则这个三角形的面积是（ ）A. 30 B. 60 C. 78 D.不能确定5. 一个三角形的三边长的平方分别为32，42，x2，若三角形是直角三角形，则x2的值是( )A. 42B. 25 C. 7D. 25或7
6.将直角三角形的三条边同时扩大3倍，得到的三角形是（ ）.A. 锐角三角形 B. 等腰三角形C. 直角三角形 D. 钝角三角形
7.△ABC中A， B， C的对边分别是a，b，c，则 下列命题中的假命题是( ) A.如果CBA，则△ABC是直角三角形； B.如果c2=b2a2，则△ABC是直角三角形，且C90°； C.如果(ca)(ca)=b2，则△ABC是直角三角形； D.如果A  B  C=5  2  3，则△ABC是直角三角形.
8.下列四组线段，不能构成直角三角形的是( ) A. a8，b15，c17； B. a9，b12，c15； C. a ，b ，c ； D. a  b  c2  3  4.
9.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立. (1)全等三角形的对应角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等.
解：(1)对应角相等的两个三角形是全等三角形； (2)内错角相等，两直线平行； (3)绝对值相等的两个数互为相反数.
10.很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．
11.判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
解：∵a2 = (m2 - n2 )2 = m4 - 2m2n2 + n4, b2 = (m2 + n2 )2 = m4 + 2m2n2 + n4, c2 = (2mn )2 = 4m2n2又∵m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2 = m4 + 2m2n2 + n4 ∴ a2 + c2 = b2即: 三角形是直角三角形
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，解得x=3.∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得
12.如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．