【寒假提升训练】人教版 初中数学 七年级上册 提升训练 第09讲 角度及其运算（原卷版+解析版）

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寒假作业09 角度及其运算
1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边．或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的．
2.平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角．
3.角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等．
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等．
③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等．
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等．
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧．
4.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°的角.
5.角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”．
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“”．
把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“”．
即1°=， =.
6.角的性质
①角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关.
②角的大小可以度量，可以比较.
③角可以参与运算.
7.角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
8.余角和补角
①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角．用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°.
②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角．用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来，如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°.
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
9.对顶角
①一对角，如果它们的顶点重合，两条边互为反向延长线，我们把这样的两个角叫做互为对顶角，其中一个角叫做另一个角的对顶角．
注意：对顶角是成对出现的，它们有公共的顶点；只有两条直线相交时才能形成对顶角．
②对顶角的性质：对顶角相等
1．下列说法中正确的是（ ）
A．平角就是一条直线B．小于平角的角是钝角
C．平角的两条边在同一条直线上D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是
【答案】C
【解析】A、一条射线绕它的端点旋转半周后，两条射线刚好在一条直线上，这个角就是平角，选项说法错误，不符合题意；
B、小于平角的角是钝角或直角或锐角，选项说法错误，不符合题意；
C、平角的两条边在同一条直线上，选项说法正确，符合题意；
D、周角的终边与始边重合，所以周角的度数是，选项说法错误，不符合题意.
故选C.
2．下列图形中，能用和表示同一个角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、因为顶点O处只有一个角，所以这个角能用和表示，符合题意；
B、因为顶点O处不止一个角，所以这里的所有角均不能用表示，不符合题意；
C、因为顶点O处不止一个角，所以这里的所有角均不能用表示，不符合题意；
D、因为顶点O处不止一个角，所以这里的所有角均不能用表示，不符合题意.
故选A．
3．下列各角中，是钝角的是（ ）
A．周角B．平角C．2锐角D．直角
【答案】B
【解析】A、周角，是直角，故此选项不符合题意；
B、平角，是钝角，故此选项符合题意；
C、∵锐角，∴当锐角时，2锐角，2锐角是锐角；当锐角时，2锐角，2锐角是直角；当锐角时，2锐角，2锐角是钝角.故此选项不符合题意；
D、∵直角，是锐角，故此选项不符合题意.
故选B．
4．等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，故选C．
5．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】根据直角三角板每个角的度数，可以判断出图①中，
由同角的余角相等可得图②中，
由等角的补角相等可得图③中，
在图④中，不相等，
因此的图形是①②③，共3个．故选C．
6．若，则的补角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴的补角为．故选C．
7．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么 ．

【答案】/141度
【解析】如图：

∵A在北偏西，∴，∴，
∵B在南偏东，∴，∴．故答案为：．
8．如图，是直角，平分，平分，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】平分，，，
是直角，．
又平分，，
．故答案为：．
9．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ：
（4） ．
【答案】
【解析】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
故答案为：，，，．
10．将一副三角尺叠放在一起．
(1)如下图，若，求的度数；
(2)如下图，若，求的度数．

【解析】（1）解：，
，
，
；
（2）设，则，
，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．

11．甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，

甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，
，
，
．故选C．
12．实验中学上午时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】时钟上每一大格是，
∵时时针与分针之间有四个大格，且此时时针转动，
∴此时时针与分针所夹的角是，故选C．
13．如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）

A．只有①④B．只有①③④
C．只有③④D．①②③④
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴与互为余角，故①正确．
∵平分，∴，但无法推断得到，故②错误．
∵平分，∴，∴，
∵，∴，故③正确．
∵，∴．
∵平分，∴，故④正确．
综上：正确的有①③④．故选B．
14．已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时，我们称、、组成的图形为“角分图形”．
如图（1），当平分时，图（1）为角分图形．
如图（2），点O是直线上一点，，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转至，设时间为s，当t为何值时，图中存在角分图形．小明认为，小亮认为，
你认为正确的答案为（ ）

A．小明B．小亮C．两人合在一起才正确D．两人合在一起也不正确
【答案】D
【解析】∵，
∴，
当平分时，，
∵，∴，解得：，
当平分时，，
∴，解得：，
当平分时，，
∴，解得：，
当平分时，，
∴，解得：．
综上：的值为：，，，.故选D．
15．如图，直线，交于点，射线平分，若，则等于 ．
【答案】/156度
【解析】根据对顶角相等，得：，
射线平分，，
，，故答案为：．
16．如图，若是直线上一点，，，则 ．
【答案】/80度
【解析】，，，
，且，．故答案为：．
17．有一题目：“已知，，平分，求的度数．”嘉嘉的解答过程为：如图，，．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”

甲、乙、丙、丁四位同学对嘉嘉和淇淇的评论如下：
甲：淇淇说的对，且的另一个值是．
乙：淇淇说的不对，就是．
丙：嘉嘉求的结果不对，应得．
丁：两人都不对，应有3个不同的值．
那么你认为的值有 个，度数为 ．
【答案】两 或
【解析】如图，当在外部时，

由，平分得到，，
又，
∴；
当在内部时，
由，平分得到，，
又，
∴，
故答案为：两；或．
18．在同一平面内，，与互余，则为 ．
【答案】90或40
【解析】分两种情况：
当在和之间时，如图：

与互余，；
当在和之间时，如图：

与互余，，
，
.
综上可知，为或，故答案为：90或40．
19．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
【解析】设这个角为度，则它的补角为,余角为，由题意得：
，解得．
答：这个角的度数为．
20．如图，已知射线在的外部，，，平分，平分．求的度数．
【解析】因为，，
所以.
因为平分，平分，
所以，．
所以．
21．如图，为直线，是的平分线，在内，，，求．

【解析】，
设，则，
，
是的平分线，
，
，
，
，解得：，
，，
．
22．如图，O是直线上一点，OD平分，．

(1)若，求的度数；
(2)若，则______（用含的代数式表示）．
【解析】（1）是直线上一点，
，
，
，
平分，
，
，，
；
（2）是直线上一点，
，
，
，
平分，
，
，，
．故答案为：．
23．如图，一渔船在海上点开始绕点航行，开始时点在点的北偏东，然后绕点航行到，测得，继续绕行，最后到达点且．
(1)求的度数；
(2)说明该渔船最后到达的点在点的什么方向？
【解析】（1）∵开始时点在点的北偏东，
∴，，
∴
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴点在点的北偏西的方向．
24．直线、相交于点O，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若平分，，求的度数．
【解析】（1）平分，
，
；
（2）设，
平分，
，
平分，
，
由题意得，，解得，，
．
25．如图，.

(1)直接写出图中一组相等的锐角；
(2)设，，求与之间的关系式；
(3)请在备用图中，仅利用三角板画出，使.（不写作法，保留作图痕迹）
【解析】（1）解：，
，，
；
（2）解：设，，则，
，
，
；
（3）解：如图所示，即为所求．
，，
，
．

26．如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接OA，，，，，OD，下列结论：①以为顶点的角有15个；②若平分，平分，，则；③若为的中点，为的中点，则；④若，，则．其中正确的个数有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】∵以O为顶点的角的边有6条，∴角的个数为：，①正确；
，
设，则，，
平分，平分，，，
，②正确；
为中点，N为中点，，，
，③正确；
，，
，
，，得不出，④错误.故选C．
27．如图，点在直线上，，，将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转一周（如图），当旋转到第秒时，所在的直线平分，则的值为 ．

【答案】或秒
【解析】∵，∴，
∵，∴，
如图，当逆时针旋转到时，

∵平分，∴，则逆时针旋转了，
∴，
如图，当逆时针旋转到时，

由得：，，∴，
∴，则逆时针旋转了，
∴，
综上可知：的值为或秒，故答案为：或秒．
28．已知：如图，在的内部，平分，平分．
(1)当时，___________；
(2)当时，___________；
(3)当时，___________；
(4)猜想：不论和的度数是多少，的度数总等于________的度数的一半．
【答案】(1)45(2)40(3)40(4)
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
故答案为：45；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
故答案为：40；
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
故答案为：40；
（4）解：由以上（1）（2）（3）得出结论，
即不论和的度数是多少，的度数总等于的度数的一半．
故答案为：．
29．如图1，已知长方形的纸片．
操作1：如图2，把纸片沿折叠，使落在边上，则______；
操作2：如图3，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数：
操作3：如图4，把纸片沿、折叠，使、的对应边、重合，求的度数．
【解析】（1）由折叠知，
由题意得：，
；
故答案为：；
（2）由折叠可知： ，
，
，
，
，
，
；
（3）由折叠知：，，
，
，
．
30．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线．
(1)如图1，若，，、分别是、的平分线，求的度数；
(2)如图2，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
【解析】（1）解：，，、分别是、的平分线，
，，
；
（2）解：，理由如下，
，
设，则，
设，
平分，
，
，
，
，解得：，
则，
．
31．熟悉又陌生的三角尺．

(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，．
①若，则______；若，则_______；
②猜想与的数量关系并验证．
(2)如图2，两个同样的直角三角尺的锐角的顶点重合在一起，则与的数量关系为_______；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点重合在一起，请直接写出与的数量关系．
【解析】（1）①∵
∴
∵ ∴
∵ ∴
∵ ∴
故答案为：，；
②猜想得（或与互补）.
理由：∵
∴
∴.故答案为：.
（2）.
理由如下：由于，
故；
故答案为：.
（3）。
理由：∵
∴ ，即，
∴．故答案为：.
32．（2023·山东临沂·统考中考真题）下图中用量角器测得的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，可得，故选C．
33．（2022·甘肃武威·统考中考真题）若，则的余角的大小是（ ）
A．50°B．60°C．140°D．160°
【答案】A
【解析】∵，∴的余角=，故选A.
34．（2023·北京·统考中考真题）如图，，，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∵，∴．故选C．
35．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．

【答案】/20度
【解析】∵，∴，
∵是的平分线，∴，故答案为：．
36．（2023·湖北十堰·统考中考真题）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则 ．

【答案】/100度
【解析】如图，，，
∵，∴，．

故答案为：．